一、選擇題(本大題共6小題，共24分)


1．下列關(guān)于?ABCD的敘述中，正確的是( )


A．若AB⊥BC，則?ABCD是菱形


B．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形


C．若AC＝BD，則?ABCD是矩形


D．若AB＝AD，則?ABCD是正方形


2．如圖1，在△ABC中，D是邊BC上的點(與B，C兩點不重合)，過點D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，下列說法正確的是( )


A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形


B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形


C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形


D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形


圖1


圖2


3．如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，作OE⊥AB，垂足為E，若∠ADC＝130°，則∠AOE的度數(shù)為( )


A．75° B．65° C．55° D．50°


4．如圖3，P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，矩形的兩條邊AB，BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是( )


A.eq \f(12,5) B.eq \f(6,5) C.eq \f(24,5) D．不確定


圖3


圖4


5．如圖4，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是( )


A．2.5 B.eq \r(5) C.eq \f(3,2) eq \r(2) D．2


6．如圖5，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A的坐標是(4，0)，P為邊AB上一點，∠CPB＝60°，沿CP折疊正方形OABC，折疊后，點B落在平面內(nèi)的點B′處，則點B′的坐標為( )





圖5


A．(2，2 eq \r(3)) B．(eq \f(3,2)，2－eq \r(3))


C．(2，4－2 eq \r(3)) D．(eq \f(3,2)，4－2 eq \r(3))


二、填空題(本大題共6小題，共30分)


7．已知菱形的邊長為6，一個內(nèi)角為60°，則菱形的較短對角線的長是________．


8．如圖6所示，在矩形紙片ABCD中，AB＝2 cm，點E在BC上，且AE＝EC.若將紙片沿AE折疊，點B恰好與AC上的點B′重合，則AC＝________ cm.


圖6


圖7


9．如圖7所示，若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，則點D的坐標為________．


10．如圖8，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠BED的度數(shù)是________．


圖8


圖9


11．如圖9所示，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為O，E，F(xiàn)，G，H分別為AD，AB，BC，CD的中點．若AC＝8，BD＝6，則四邊形EFGH的面積為________．





圖10


12．如圖10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，則△BOF的面積為________．


三、解答題(共46分)


13．(10分)如圖11，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，且AE＝CF.


(1)求證：四邊形BEDF是菱形；


(2)若正方形ABCD的邊長為4，AE＝eq \r(2)，求菱形BEDF的面積．





圖11

















14．(10分)如圖12，已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，兩動點E，F(xiàn)同時以2 cm/s的速度分別從點A，C出發(fā)在線段AC上相對運動，點E到點C，點F到點A時停止運動．


(1)求證：當(dāng)點E，F(xiàn)在運動過程中不與點O重合時，以點B，E，D，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形；


(2)當(dāng)點E，F(xiàn)的運動時間t為何值時，四邊形BEDF為矩形？





圖12









































15．(12分)如圖13，△ABC是以BC為底的等腰三角形，AD是邊BC上的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．


(1)求證：四邊形AEDF是菱形；


(2)如果四邊形AEDF的周長為12，兩條對角線的和等于7，求四邊形AEDF的面積S.





圖13




















16．(14分)如圖14，四邊形ABCD是正方形，E是直線CD上的點，將△ADE沿AE對折得到△AFE，直線EF交邊BC于點G，連接AG.


(1)求證：△ABG≌△AFG；


(2)當(dāng)DE是線段CD的一半時，請你在備用圖中利用尺規(guī)作圖畫出符合題意的圖形(保留作圖痕跡，不寫作法)；


(3)在(2)的條件下，求∠EAG的度數(shù)．





圖14


























1．C 2.D 3.B 4.A





5．B ．


6．C


7．6 .


8．4


9．(2＋eq \r(2)，eq \r(2))


10．45° .


11．12 12.eq \f(75,8)


13．解：(1)證明：連接BD交AC于點O，


∵四邊形ABCD為正方形，


∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.


∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，


即OE＝OF，


∴四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，


∴四邊形BEDF為菱形．


(2)∵正方形ABCD的邊長為4，


∴BD＝AC＝4 eq \r(2).


∵AE＝CF＝eq \r(2)，∴EF＝AC－2 eq \r(2)＝2 eq \r(2)，


∴S菱形BEDF＝eq \f(1,2)BD·EF＝eq \f(1,2)×4 eq \r(2)×2 eq \r(2)＝8.


14．解：(1)證明：連接DE，EB，BF，F(xiàn)D.


∵兩動點E，F(xiàn)同時以2 cm/s的速度分別從點A，C出發(fā)在線段AC上相對運動，


∴AE＝CF.


∵平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，


∴OD＝OB，OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)，


∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，


∴四邊形BEDF為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)，


即以點B，E，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．


(2)當(dāng)點E在OA上，點F在OC上，EF＝BD＝12 cm時，四邊形BEDF為矩形．


∵運動時間為t，


∴AE＝CF＝2t，


∴EF＝20－4t＝12，


∴t＝2；


當(dāng)點E在OC上，點F在OA上時，


EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，


∴t＝8.


因此，當(dāng)點E，F(xiàn)的運動時間t為2 s或8 s時，四邊形BEDF為矩形．


15．解：(1)證明：∵AD⊥BC，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，


∴在Rt△ABD中，DE＝eq \f(1,2)AB＝AE，


在Rt△ACD中，DF＝eq \f(1,2)AC＝AF.


又∵AB＝AC，


∴AE＝AF＝DE＝DF，


∴四邊形AEDF是菱形．


(2)如圖，∵菱形AEDF的周長為12，


∴AE＝3.





設(shè)EF＝x，AD＝y(tǒng)，則x＋y＝7，


∴x2＋2xy＋y2＝49.①


由四邊形AEDF是菱形得AD⊥EF，


∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，


∴(eq \f(1,2)y)2＋(eq \f(1,2)x)2＝32，


即x2＋y2＝36.②


把②代入①，可得2xy＝13，


∴xy＝eq \f(13,2)，


∴菱形AEDF的面積S＝eq \f(1,2)xy＝eq \f(13,4).


16．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，


∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.


∵將△ADE沿AE對折得到△AFE，


∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.


在Rt△ABG和Rt△AFG中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AF，,AG＝AG，))∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．


(2)如圖所示：





(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，


∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.


∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，


∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝eq \f(1,2)×90°＝45°.


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