知識(shí)點(diǎn) 1 利用正方形的性質(zhì)求解與線段有關(guān)的問題


1．如圖1－3－1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝4，EC＝2，則AE的長為________．


圖1－3－1


圖1－3－2


2．如圖1－3－2，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在邊DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F(xiàn)為垂足，那么FC＝________．


3．2017·廣安如圖1－3－3，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的一點(diǎn)，且BF⊥CE，垂足為G.求證：AF＝BE.





圖1－3－3











知識(shí)點(diǎn) 2 利用正方形的性質(zhì)求解與角有關(guān)的問題


4．如圖1－3－4，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為( )


A．10° B．12.5° C．15° D．20°


圖1－3－4


圖1－3－5


5．如圖1－3－5，E為正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE＝BC，則∠DCE＝________°.


6．2017·懷化如圖1－3－6，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．


(1)求證：△ABE≌△DCE；


(2)求∠AED的度數(shù)．





圖1－3－6














知識(shí)點(diǎn) 3 利用正方形的性質(zhì)求解與面積有關(guān)的問題


7．若正方形的一條對(duì)角線長為4，則這個(gè)正方形的面積是( )


A．8 B．4 eq \r(2) C．8 eq \r(2) D．16





圖1－3－7


8．如圖1－3－7，三個(gè)邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是________．


9．如圖1－3－8，正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)．


(1)求證：△ADE≌△ABF；


(2)求△AEF的面積．





圖1－3－8




















知識(shí)點(diǎn) 4 正方形對(duì)稱性的應(yīng)用


10．如圖1－3－9，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O，B的坐標(biāo)分別是(0，0)，(2，0)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是( )


A．(1，1) B．(－1，－1)


C．(1，－1) D．(－1，1)


圖1－3－9


圖1－3－10


11.如圖1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值是________．





12．如圖1－3－11，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為( )


A．45° B．55° C．60° D．75°


圖1－3－11


圖1－3－12


13.如圖1－3－12，正方形ABCD的邊長為eq \r(2)，連接AC，AE平分∠CAD，交BC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)A⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)F，則EF的長為________．


14．如圖1－3－13，將邊長為8 cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長是________．


圖1－3－13 圖1－3－14


15．如圖1－3－14，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對(duì)角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，則正方形OB2017B2018C2018的頂點(diǎn)B2018的坐標(biāo)是________．


16．如圖1－3－15，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.


求證：AM⊥DF.





圖1－3－15

















17．在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.


(1)將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG(如圖1－3－16①)，求證：△AEG≌△AEF；


(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N(如圖1－3－16②)，求證：EF2＝ME2＋NF2.





圖1－3－16



































1．2eq \r(13)


2.eq \r(2)－1


3．證明：∵四邊形ABCD是正方形，


∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.


∵BF⊥CE，


∴∠BCE＋∠CBG＝90°.


∵∠ABF＋∠CBG＝90°，


∴∠BCE＝∠ABF.


在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，


∴△BCE≌△ABF(ASA)，


∴AF＝BE.


4．C


5．22.5


6．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，


∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，


∴∠ABE＝∠ECD＝30°.


在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，


∴△ABE≌△DCE(SAS)．


(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，


∴∠BAE＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°.


∵∠BAD＝90°，


∴∠EAD＝90°－75°＝15°，


同理可得∠ADE＝15°，


∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.


7．A


8．2


9．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，


∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.


∵E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，


∴DE＝eq \f(1,2)DC，BF＝eq \f(1,2)BC，


∴DE＝BF.


在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，


∴△ADE≌△ABF(SAS)．


(2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝eq \f(1,2)×4＝2，CE＝CF＝eq \f(1,2)×4＝2，


∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝


4×4－eq \f(1,2)×4×2－eq \f(1,2)×4×2－eq \f(1,2)×2×2＝6.


10．C





11．10 12.C


13．4


14．3 cm


15．(0，21009)


16．證明：∵四邊形ABCD是正方形，


∴OD＝OC.


又∵DE＝CF，


∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.


在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，


∴△AOE≌△DOF(SAS)，


∴∠OAE＝∠ODF.


∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，


∴∠ODF＋∠DEM＝90°，


即AM⊥DF.


17．證明：(1)∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，


∴AG＝AF，∠GAF＝90°.


∵∠EAF＝45°，


∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，


即∠GAE＝∠EAF.


在△AEG和△AEF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AG＝AF，,∠GAE＝∠EAF，,AE＝AE，))


∴△AEG≌△AEF(SAS)．


(2)把△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，如圖，連接GM，則△ADF≌△ABG，


∴DF＝BG.





由(1)知△AEG≌△AEF，


∴EG＝EF.


∵∠CEF＝45°，


∴△BME，△DNF，△CEF均為等腰直角三角形，


∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝eq \r(2)DF，


∴BE＝DF，


∴BE＝BM＝DF＝BG，


∴∠BMG＝45°，


∴∠GME＝45°＋45°＝90°，


∴EG2＝ME2＋MG2.


又∵EG＝EF，MG＝eq \r(2)BM＝eq \r(2)DF＝NF，


∴EF2＝ME2＋NF2.

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