第一章　特殊平行四邊形 1　菱形的性質(zhì)與判定 第1課時(shí)　菱形的定義和性質(zhì) 1．經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出圖形的過程，了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系． 2．體會(huì)菱形的軸對(duì)稱性，經(jīng)歷利用折紙等活動(dòng)探索菱形性質(zhì)的過程，發(fā)展合情推理的能力． 3．在證明菱形的性質(zhì)和運(yùn)用性質(zhì)定理解決問題的過程中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力． 重點(diǎn) 理解并掌握菱形的概念與性質(zhì)定理． 難點(diǎn) 菱形性質(zhì)定理的證明及運(yùn)用． 一、情境導(dǎo)入 課件出示教材第2頁情境圖，提出問題： 你能從這幾幅圖中發(fā)現(xiàn)你熟悉的圖形嗎？你認(rèn)為它們有什么樣的共同特征呢？ 學(xué)生：圖片中有八年級(jí)學(xué)過的平行四邊形． 教師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，這些平行四邊形與下圖的平行四邊形ABCD相比較，還有什么不同點(diǎn)嗎？ 學(xué)生：這些平行四邊形不僅對(duì)邊相等，而且任意兩條鄰邊也相等． 教師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)．像這樣，有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形． 二、探究新知 1．菱形的性質(zhì) 教師：菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)．你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？ 學(xué)生：菱形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分． 教師：同學(xué)們，你認(rèn)為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？請(qǐng)你與同伴交流． 學(xué)生討論交流后，教師點(diǎn)評(píng)． 教師：請(qǐng)同學(xué)們用菱形紙片折一折，回答下列問題： (1)菱形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱軸？對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系？ (2)菱形中有哪些相等的線段？ 學(xué)生分小組進(jìn)行折紙活動(dòng)后討論交流，回答問題，教師點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步講解： ①菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸．對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，兩條對(duì)角線互相垂直．②菱形的四條邊相等． 2．證明菱形的性質(zhì) 教師：通過折紙活動(dòng)，同學(xué)們已經(jīng)對(duì)菱形的性質(zhì)有了初步的理解，下面我們要對(duì)菱形的性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明． 課件出示： 已知：如圖，在菱形ABCD中，AB＝AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 求證：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD. 分析：①菱形不僅對(duì)邊相等，而且鄰邊相等，這樣就可以證明菱形的四條邊都相等． ②因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?，所以點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)；又因?yàn)樵诹庑沃锌梢缘玫降妊切危@樣就可以利用“三線合一”來證明結(jié)論． 學(xué)生寫出證明過程，進(jìn)行組內(nèi)交流對(duì)比，教師點(diǎn)評(píng)． 證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的對(duì)邊相等)． 又∵AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD. (2)∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形． 又∵四邊形ABCD是菱形， ∴OB＝OD(菱形的對(duì)角線互相平分)． 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD. 三、舉例分析 例　如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的邊長AB和對(duì)角線AC的長． 分析：①因?yàn)榱庑蔚泥忂呄嗟?，一個(gè)內(nèi)角是60°，所以可以得到等邊△ABD，BD＝6，菱形的邊長也是6. ②由菱形的對(duì)角線互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的對(duì)角線互相平分，可以得到OB＝3，根據(jù)勾股定理可以求出OA的長度；再一次根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分，即AC＝2OA，求出AC的長． 解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝AD(菱形的四條邊相等)， AC⊥BD(菱形的對(duì)角線互相垂直)， OB＝OD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×6 ＝3(菱形的對(duì)角線互相平分)． 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等邊三角形． ∴AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝eq \r(AB2－OB2)＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3). ∴AC＝2OA＝6eq \r(3)(菱形的對(duì)角線互相平分)． 四、練習(xí)鞏固 教材第4頁“隨堂練習(xí)”． 五、小結(jié) 1．什么叫做菱形？ 2．菱形有哪些性質(zhì)？ 六、課外作業(yè) 教材第4～5頁習(xí)題1.1第1～4題． 本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為菱形的定義和性質(zhì)．學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)，這是本節(jié)課的知識(shí)基礎(chǔ)．關(guān)于菱形的定義和性質(zhì)，就是在平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步強(qiáng)化條件得到的．課堂上通過折紙活動(dòng)，讓學(xué)生直觀地感知圖形的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考，抓住表面現(xiàn)象中的本質(zhì)．在性質(zhì)的證明和應(yīng)用過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索新穎獨(dú)特的證明思路和方法，提倡證明方法的多樣性，并引導(dǎo)學(xué)生在與其他同學(xué)的交流中進(jìn)行證明方法的比較，優(yōu)化證明方法，有利于提高學(xué)生的邏輯思維水平． 第2課時(shí)　菱形的判定 1．探索證明菱形的判定方法，掌握證明的基本要求、方法及思路． 2．經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維． 3．經(jīng)歷實(shí)際操作，探索菱形判定定理的證明過程，發(fā)展合情推理的能力． 4．在具體問題的證明過程中，有意識(shí)地滲透試驗(yàn)論證、逆向思維的思想，提高學(xué)生解決問題的能力． 重點(diǎn) 菱形判定定理的證明及應(yīng)用． 難點(diǎn) 菱形的判定方法的綜合運(yùn)用． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1．菱形的定義是什么？ 2．菱形有哪些性質(zhì)？ 教師：同學(xué)們對(duì)菱形的性質(zhì)都掌握得很好，那么怎樣判定一個(gè)四邊形是菱形呢？這就是我們這節(jié)課所要研究的內(nèi)容． 二、探究新知 1．菱形的判定方法一 教師：根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．這可以作為菱形的第一種判定方法． 2．菱形的判定方法二 課件出示：用一長一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)四邊形． 教師轉(zhuǎn)動(dòng)木條，提出問題： (1)轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形總有什么特征？ (2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)木條，什么時(shí)候橡皮筋圍成的四邊形變成菱形？ 引導(dǎo)學(xué)生猜想：當(dāng)木條互相垂直時(shí)，平行四邊形的一組鄰邊相等，此時(shí)四邊形為菱形． 教師：你能證明你的猜想嗎？ 學(xué)生獨(dú)立完成，指名板演，教師點(diǎn)評(píng)． 已知：如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD. 求證： ?ABCD是菱形． 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是線段AC的垂直平分線． ∴BA＝BC. ∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義)． 3．菱形的判定方法三 教師：已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD，使AC為菱形的一條對(duì)角線嗎？ 學(xué)生獨(dú)立嘗試作圖，教師點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步講解用尺規(guī)作菱形的方法： 如圖，分別以A，C為圓心，以大于eq \f(1,2)AC的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B，D，依次連接A，B，C，D. 教師：你能說明得到的四邊形為什么是菱形嗎？ 學(xué)生小組討論交流，找到原因：該四邊形四邊相等． 教師：你能證明四邊相等的四邊形是菱形嗎？ 學(xué)生獨(dú)立完成，指名板演，教師點(diǎn)評(píng)． 已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA. 求證： 四邊形ABCD是菱形． 證明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 又∵AB＝BC， ∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義). 教師：你能用折紙等辦法得到一個(gè)菱形嗎？ 學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)． 三、舉例分析 例　已知：如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝eq \r(5)，OA＝2，OB＝1. 求證：?ABCD是菱形． 思考：(1)觀察題目中的數(shù)據(jù)，AB，OA，OB有什么數(shù)量關(guān)系？ (2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？ (3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一個(gè)判定定理進(jìn)行判斷？ 四、練習(xí)鞏固 1．教材第7頁“隨堂練習(xí)”． 2．教材第7頁習(xí)題1.2第1題． 五、小結(jié) 1．怎樣判定一個(gè)四邊形是菱形？ 2．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還學(xué)到了哪些知識(shí)？ 六、課外作業(yè) 教材第7頁習(xí)題1.2第2，3題． 在本節(jié)課中，課前復(fù)習(xí)為本節(jié)課的探究作了有效的鋪墊．學(xué)生資源的靈活運(yùn)用提高了學(xué)生參與探究的興趣，證明思路的分析過程讓學(xué)生體會(huì)了逆向思維、一題多解等數(shù)學(xué)思想．另外，學(xué)生通過經(jīng)歷試驗(yàn)—猜想—證明—應(yīng)用的探索過程提高了自身的科學(xué)素養(yǎng)． 第3課時(shí)　菱形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用 1．能靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理及判定定理解決一些相關(guān)問題，并掌握菱形面積的求法． 2．經(jīng)歷菱形的性質(zhì)定理及判定定理的應(yīng)用過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法． 重點(diǎn) 菱形的性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用及菱形面積的求法． 難點(diǎn) 等寬紙條交叉部分為菱形的證明及菱形面積的綜合應(yīng)用． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1．如圖①，在菱形ABCD中，AB＝6. (1)求AD，DC，BC的長． (2)對(duì)角線AC與BD有什么位置關(guān)系？ (3)若∠ADC＝120°，求AC的長． 圖① 　　　　圖② 2．如圖②，在?ABCD中添加一個(gè)條件使其成為菱形． 添加方式1：________________________________________________________________________. 添加方式2：________________________________________________________________________. 二、探究新知 1．課件出示： 如圖，四邊形ABCD是邊長為13 cm的菱形，其中對(duì)角線BD長10 cm.求： (1)對(duì)角線AC的長度； (2)菱形ABCD的面積． 解：(1)∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠AED＝90°(菱形的對(duì)角線互相垂直)， DE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×10＝5(cm)(菱形的對(duì)角線互相平分)． ∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得： AE＝eq \r(AD2－DE2)＝eq \r(132－52)＝12(cm)． ∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的對(duì)角線互相平分)． (2)S菱形ABCD＝ S△ABD＋ S△CBD ＝2×S△ABD ＝2×eq \f(1,2)×BD×AE ＝BD×AE ＝10×12 ＝120( cm2)． 注意：學(xué)生對(duì)于第一個(gè)問題的解決比較容易，但是學(xué)生的書寫過程不規(guī)范；對(duì)于第二個(gè)問題，學(xué)生很容易求一邊上的高，經(jīng)過討論、交流、點(diǎn)撥后學(xué)生能接受這種方法．在實(shí)際過程中教師應(yīng)追問學(xué)生菱形的面積和對(duì)角線有什么關(guān)系，引起學(xué)生的思考，進(jìn)而突破這一教學(xué)難點(diǎn)． 2．課件出示教材第87頁圖1－7，提出問題：兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？ 分析：由圖可知，重疊部分為平行四邊形，且相鄰的兩邊對(duì)應(yīng)的高相等，由平行四邊形的面積，可證平行四邊形ABCD為菱形． 三、舉例分析 例　(變式訓(xùn)練)如上圖，四邊形ABCD是菱形，其中對(duì)角線BD長12 cm，AC長16 cm.求： (1)菱形的邊長； (2)菱形一條邊上的高． 分析：靈活運(yùn)用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求出面積進(jìn)而求出一邊上的高． 教師：同學(xué)們，在我們剛才完成的例題及變式訓(xùn)練中你有什么感悟或經(jīng)驗(yàn)？ 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生形成解題思路． 四、練習(xí)鞏固 1．教材第9頁“隨堂練習(xí)”第1，2題． 2．教材第10頁習(xí)題1.3第5題． 五、小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有什么疑問？ 六、課外作業(yè) 1．教材第9頁習(xí)題1.3第1～4題． 2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點(diǎn)，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點(diǎn)F.當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時(shí)，四邊形AECD是菱形？請(qǐng)說明理由，并求出此時(shí)菱形AECD的面積． 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是菱形的性質(zhì)定理與判定定理的綜合運(yùn)用．通過課前復(fù)習(xí)，加深學(xué)生對(duì)菱形的性質(zhì)定理及判定定理的記憶．在教學(xué)中，通過例題講解，幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并形成解題思路．學(xué)生對(duì)于幾何題的規(guī)范答題是在課堂上需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的，這是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)手段．同時(shí)，在教學(xué)中應(yīng)注意學(xué)生解題的反思過程，例如由例題及變式訓(xùn)練完成反思過程后，學(xué)生的思維得到了升華，同時(shí)對(duì)于同類題目的突破方式有了初步的框架，能促進(jìn)以后的學(xué)習(xí)，從本質(zhì)上講學(xué)習(xí)就是在學(xué)生不斷反思中完成的． 2　矩形的性質(zhì)與判定 第1課時(shí)　矩形的定義和性質(zhì) 1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性質(zhì)定理． 2．經(jīng)歷探索矩形的概念和性質(zhì)定理的過程，發(fā)展學(xué)生合情推理的意識(shí)． 3．培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Γ莆諑缀嗡季S方法，體會(huì)邏輯推理的思維價(jià)值． 重點(diǎn) 矩形的性質(zhì)定理的理解及應(yīng)用． 難點(diǎn) 矩形的性質(zhì)定理的應(yīng)用． 一、情境導(dǎo)入 課件出示教材第11頁情境圖，提出問題： 這三幅圖片中都含有一些特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？ 學(xué)生討論交流后匯報(bào)，教師點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步講解： 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形． 教師：你還能舉出一些生活中矩形的例子嗎？ 二、探究新知 1．探究矩形的性質(zhì)定理 教師出示一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架，完成以下探究． (1)改變平行四邊形活動(dòng)框架，將框架夾角∠α變?yōu)?0°，平行四邊形成為一個(gè)矩形，這說明平行四邊形與矩形具有怎樣的從屬關(guān)系？ 學(xué)生：矩形是平行四邊形的特例，屬于平行四邊形，因此它具有平行四邊形所有的性質(zhì)． (2)用橡皮筋做出兩條對(duì)角線，這兩條對(duì)角線有什么關(guān)系？ 學(xué)生：橡皮筋的長度相等，因此矩形的兩條對(duì)角線相等． (3)矩形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱軸？ 學(xué)生：矩形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸． (4)你認(rèn)為矩形還具有哪些特殊性質(zhì)？ 學(xué)生：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等． 教師：你能證明這些結(jié)論嗎？ 學(xué)生獨(dú)立完成，指名板演，教師點(diǎn)評(píng)，得到如下定理： 矩形的四個(gè)角都是直角． 矩形的對(duì)角線相等． 2．探究直角三角形的性質(zhì)定理 課件出示教材第12頁圖1－9，提出問題： 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，那么BE是Rt△ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論？ 學(xué)生觀察、思考后發(fā)現(xiàn)：AE＝eq \f(1,2)AC，BE＝eq \f(1,2)BD，BE是Rt△ABC的中線． 由此歸納直角三角形的一個(gè)性質(zhì)定理： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 三、舉例分析 例1　如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求這個(gè)矩形對(duì)角線的長． 分析：利用矩形對(duì)角線相等且平分得到OA＝OB，由于∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，則OA＝AB＝4 cm，∴AC＝BD＝2OA＝8 cm. 例2　如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中點(diǎn)，求證：DE＝eq \f(1,2)AC. 分析：本題可從E是AB的中點(diǎn)切入，考慮應(yīng)用三角形中位線定理．應(yīng)用三角形中位線必需找到另一個(gè)中點(diǎn)．可以取BC的中點(diǎn)F，也可以取AC的中點(diǎn)G. 學(xué)生分四人小組，合作探究不同的證法． 證法一：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，如圖①. ∵E為AB中點(diǎn)，∴EF∥AC.∴∠FEB＝∠A. ∵∠A＝2∠B，∴∠FEB＝2∠B.∵DF＝eq \f(1,2)BC＝BF，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2. ∴∠1＝∠2.∴DE＝EF＝eq \f(1,2)AC. 證法二：取AC的中點(diǎn)G，連接DG，EG，如圖②. ∵CD是△ABC的高， ∴在Rt△ADC中，DG＝eq \f(1,2)AC＝AG. ∵E是AB的中點(diǎn)，∴GE∥BC.∴∠1＝∠B. ∴∠GDA＝∠A＝2∠B＝2∠1. 又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1. ∴∠2＝∠1.∴DE＝DG＝eq \f(1,2)AC. 四、練習(xí)鞏固 1．教材第13頁“隨堂練習(xí)”． 2．如圖，從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與∠BAD的平分線相交于點(diǎn)E.求證：AC＝CE. 分析：要證AC＝CE，可以考慮證明∠E＝∠CAE.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，且∠CAE＝∠DAE－∠DAC. 另外一個(gè)條件是CE⊥BD，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，則AF∥CE，可以將∠E轉(zhuǎn)化為∠FAE，∠FAE＝∠BAE－∠FAB.現(xiàn)在只要證明∠BAF＝∠DAC即可，而實(shí)際上，∠BAF＝∠BDA＝∠DAC，問題迎刃而解． 五、小結(jié) 1．什么叫矩形？ 2．矩形有哪些性質(zhì)？ 3．矩形有幾條對(duì)稱軸？ 六、課外作業(yè) 教材第13～14頁習(xí)題1.4第1～4題． 本節(jié)課依據(jù)新課標(biāo)的要求，設(shè)計(jì)的每個(gè)環(huán)節(jié)都是以學(xué)生為主體，在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己動(dòng)手探究完成，提高學(xué)生的探索創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力．首先，從矩形的定義和平行四邊形的性質(zhì)引入，提出問題，讓學(xué)生猜想矩形應(yīng)具有的性質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，激發(fā)探究欲望．教學(xué)過程中，先利用平行四邊形活動(dòng)框架，讓學(xué)生通過觀察、測(cè)量、思考、討論等活動(dòng)，得出矩形的性質(zhì)．在解決問題的過程中發(fā)展了學(xué)生的合情推理意識(shí)．再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理證明及應(yīng)用，通過探索證明，發(fā)展了學(xué)生的思維能力，幫助他們?cè)谧灾魈剿髋c合作交流過程中真正理解和掌握矩形的性質(zhì)定理，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的探索性、挑戰(zhàn)性以及推理的嚴(yán)謹(jǐn)性．第2課時(shí)　矩形的判定 1．理解和掌握矩形的判定定理． 2．經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過程，發(fā)展學(xué)生的推理論證能力． 3．通過對(duì)比已學(xué)的知識(shí)，體會(huì)證明過程中所運(yùn)用的歸納、概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法． 重點(diǎn) 理解和掌握矩形的判定定理． 難點(diǎn) 矩形的判定定理的應(yīng)用． 一、情境導(dǎo)入 課前準(zhǔn)備小木板和橡皮筋，制作一個(gè)如圖所示的平行四邊形活動(dòng)框架．用兩根橡皮筋分別套在兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)上，拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)時(shí)，平行四邊形的形狀會(huì)發(fā)生什么變化？ 二、探究新知 1．矩形的判定定理1 根據(jù)上面的實(shí)踐活動(dòng)提出問題： (1)隨著∠α的變化，兩條對(duì)角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？ (2)當(dāng)兩條對(duì)角線的長度相等時(shí)，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個(gè)怎樣的猜想？ 學(xué)生討論交流后回答，教師點(diǎn)評(píng)，并歸納： 矩形的判定定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形． 矩形的判定定理1的證明過程： (1)學(xué)生獨(dú)立畫出圖形，在教師引導(dǎo)下寫出已知、求證； (2)對(duì)比平行四邊形和菱形的判定定理的證明，對(duì)已知、求證進(jìn)行分析； (3)請(qǐng)學(xué)生交流大體思路； (4)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言寫出證明過程； (5)同學(xué)之間進(jìn)行交流，找出自己還存在的問題． 2．矩形的判定定理2 教師：我們知道，矩形的四個(gè)角都是直角．反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流． 學(xué)生討論交流后回答，教師點(diǎn)評(píng)，并引導(dǎo)學(xué)生歸納： 矩形的判定定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形． 矩形的判定定理2的證明過程： (1)學(xué)生獨(dú)立畫出圖形，在教師引導(dǎo)下寫出已知、求證； (2)對(duì)比平行四邊形和菱形的判定定理的證明，對(duì)已知、求證進(jìn)行分析； (3)請(qǐng)學(xué)生交流大體思路； (4)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言寫出證明過程； (5)同學(xué)之間進(jìn)行交流，找出自己還存在的問題． 三、舉例分析 例1　實(shí)際問題： (1)如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形？ (2)如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個(gè)四邊形是菱形？ (3)如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個(gè)四邊形是矩形？ 學(xué)生分小組討論后回答，教師點(diǎn)評(píng)，并總結(jié)： 先利用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證明是平行四邊形，再由“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”得證． 例2　如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△ABO是等邊三角形，AB＝4，求?ABCD的面積． 學(xué)生獨(dú)立完成，指名板演，教師點(diǎn)評(píng)． 四、練習(xí)鞏固 1．教材第16頁“隨堂練習(xí)”． 2. 已知：如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O, CM∥BD，DM∥AC. 求證：四邊形OCMD是矩形． 五、小結(jié) 1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 2．矩形的判定定理有哪些？ 六、課外作業(yè) 教材第16頁習(xí)題1.5第1～3題． 對(duì)于本節(jié)課的知識(shí)，不能機(jī)械地照搬教材內(nèi)容，而應(yīng)該對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行再加工，靈活運(yùn)用，使教材內(nèi)容得到升華．課堂是學(xué)生展示自己的一個(gè)舞臺(tái)，在課堂教學(xué)中，給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間展示自己，不僅有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，更有利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的獨(dú)到見解和新思維、新想法，同時(shí)還能發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，這對(duì)于課堂教學(xué)是非常有利的．幾何教學(xué)對(duì)學(xué)生想象能力要求比較高，有些學(xué)生在這方面很有優(yōu)勢(shì)，而有些學(xué)生可能要差一點(diǎn)，課堂教學(xué)不能過急．此外，幾何教學(xué)中要合理把握學(xué)生的課堂興奮點(diǎn)，合理安排時(shí)間，力圖讓學(xué)生在注意力最集中時(shí)完成最重要的知識(shí)內(nèi)容，掌握本節(jié)課重要的學(xué)習(xí)方法．還要注意的是，不要讓思維活躍的學(xué)生的回答掩蓋了其他學(xué)生的疑問，應(yīng)該爭取關(guān)注每一個(gè)學(xué)生． 第3課時(shí)　矩形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用 1．能夠運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理和判定定理解決問題． 2．經(jīng)歷矩形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用過程，發(fā)展學(xué)生的推理論證能力． 3．通過學(xué)生獨(dú)立完成證明的過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性． 重點(diǎn) 矩形的性質(zhì)定理與判定定理的應(yīng)用． 難點(diǎn) 靈活地運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理與判定定理解決問題． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1．如圖①，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，已知∠AOD＝ 120°，AB＝2.5 cm，則∠DAO＝__________，AC＝__________ cm，S矩形ABCD＝__________ cm2. 2. 如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個(gè)條件________________，可使它成為矩形． 二、探究新知 課件出示：如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE.求AE的長． 學(xué)生小組合作完成本題的求解，教師點(diǎn)評(píng)并板書： 解：∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝DO＝eq \f(1,2)BD(矩形的對(duì)角線相等且互相平分)， ∠BAD＝90°(矩形的四個(gè)角都是直角)． ∵ED＝3BE， ∴BE＝OE. 又∵ AE⊥BD， ∴AB＝AO. ∴AB＝AO＝BO. 即 △ABO是等邊三角形． ∴∠ABO＝60°. ∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°. 在Rt△AED中， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×6＝3. 注意：本題的解法不唯一，采取小組合作時(shí)，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生提出自己不同的意見． 三、舉例分析 例　如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形． 證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAC，∠CAN＝eq \f(1,2)∠CAM. ∴∠DAE ＝∠CAD＋∠CAN ＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠CAM) ＝eq \f(1,2)×180° ＝90°. 在△ABC中， ∵AB＝AC，AD為∠BAC的平分線， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA＝90°. ∴四邊形ADCE為矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)． 四、練習(xí)鞏固 1．在上一題中，條件不變，連接DE，交AC于點(diǎn)F(如圖①)． (1)試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論． (2)線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 圖① 　　　圖② 2．如圖②，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的等邊△ABD和△CBD組成，點(diǎn)M，N分別是BC和AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形． 五、小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？還有哪些疑問？ 六、課外作業(yè) 教材第18～19頁習(xí)題1.6第1～5題． 本課時(shí)，是綜合運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理和判定定理，應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間展示自己，不僅有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，更有利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的獨(dú)到見解和新思維、新想法，同時(shí)還能發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，這對(duì)于課堂教學(xué)是非常有利的．在教學(xué)過程中，不應(yīng)加大習(xí)題量，題目在精不在多，扎實(shí)地講解和學(xué)習(xí)比大量練習(xí)要有效果得多．把關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng)提到首位，達(dá)到本節(jié)課所要完成的真正目標(biāo)． 3　正方形的性質(zhì)與判定 第1課時(shí)　正方形的定義和性質(zhì) 1．理解正方形的概念和性質(zhì)定理，通過由一般到特殊的研究方法，分析平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念及性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系． 2．在探索正方形的性質(zhì)定理的過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、團(tuán)結(jié)協(xié)作交流的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性． 重點(diǎn) 理解正方形的定義和性質(zhì)． 難點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q有關(guān)正方形的問題． 一、情境導(dǎo)入 教師：大家小時(shí)候都做過風(fēng)車嗎？在準(zhǔn)備材料的時(shí)候，我們往往會(huì)先折一張正方形的紙片．那么大家能用一張長方形的紙片折出一個(gè)正方形嗎？ 學(xué)生動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作中對(duì)正方形產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，并感知正方形與矩形的關(guān)系． 教師：結(jié)合菱形和矩形的定義，想一想，什么樣的四邊形是正方形？ 學(xué)生思考后回答，教師點(diǎn)評(píng)，并歸納： 有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形． 說明：其定義包括了兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形 (菱形)；②有一個(gè)角是直角的平行四邊形 (矩形)．所以說正方形既是菱形又是矩形． 教師：這節(jié)課我們就來深入地了解正方形．(板書課題) 二、探究新知 教師：正方形都具有哪些性質(zhì)呢？ 學(xué)生：由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形．所以它應(yīng)該具備菱形和矩形的所有性質(zhì)． 教師：你能詳細(xì)說一說正方形的性質(zhì)嗎？ 學(xué)生：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等．正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分． 由學(xué)生的回答歸納出： 正方形的性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等． 正方形的性質(zhì)定理2：正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分． 教師：同學(xué)們能嘗試完成這兩個(gè)定理的證明嗎？ 學(xué)生獨(dú)立完成，并相互交流，教師點(diǎn)評(píng)． 教師：正方形有幾條對(duì)稱軸？ 學(xué)生思考或者畫圖驗(yàn)證． 三、舉例分析 例1　如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 CD 邊上一點(diǎn)，F(xiàn) 為 BC 延長線上一點(diǎn)，且 CE ＝ CF.BE 與 DF 之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由． 解：BE ＝ DF，且 BE⊥DF.理由如下： (1)∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ DC，∠ BCE ＝ 90°(正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角)． ∴ ∠ DCF ＝ 180°－ ∠ BCE ＝ 180°－ 90°＝ 90°. ∴ ∠ BCE ＝ ∠ DCF. 又∵ CE ＝ CF， ∴ △BCE ≌ △DCF. ∴ BE ＝ DF. (2)延長 BE 交 DF 于點(diǎn) M(如圖)． ∵ △BCE ≌ △DCF， ∴ ∠ CBE ＝ ∠ CDF. ∵ ∠ DCF ＝ 90°， ∴ ∠ CDF ＋ ∠ F ＝ 90°. ∴ ∠ CBE ＋ ∠ F ＝ 90°. ∴ ∠BMF＝ 90°. ∴ BE⊥DF. 例2　平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個(gè)圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流． 學(xué)生嘗試畫圖，教師點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步講解，課件出示如下圖： 四、練習(xí)鞏固 1．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，圖中有多少個(gè)等腰三角形？ 第1題圖　　　　第2題圖 2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AF，CF.你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明． 五、小結(jié) 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？學(xué)會(huì)了哪些方法？ 六、課外作業(yè) 教材第22頁習(xí)題1.7第1～4題． 本節(jié)課教學(xué)的主要內(nèi)容是探究并證明正方形的性質(zhì)定理．教材只是提供了最基本的教學(xué)素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整．讓學(xué)生通過搜集材料親自去感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值．培養(yǎng)學(xué)生善于觀察生活、搜集數(shù)學(xué)信息、對(duì)信息進(jìn)行整理的能力． 第2課時(shí)　正方形的判定 1．掌握正方形的判定定理，會(huì)運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算． 2．經(jīng)歷探究正方形的判定定理的過程，發(fā)展學(xué)生綜合推理的能力、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步掌握說理的基本方法． 3．理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證看問題的觀點(diǎn)． 重點(diǎn) 掌握正方形的判定定理． 難點(diǎn) 合理恰當(dāng)?shù)乩锰厥馄叫兴倪呅蔚男再|(zhì)與判定進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1．我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？ 2．讓學(xué)生回答以下問題： (1)怎樣判斷一個(gè)四邊形是矩形？ (2)怎樣判斷一個(gè)四邊形是菱形？ (3)怎樣判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形？ (4)怎樣判斷一個(gè)平行四邊形是矩形、菱形？ 教師：你有什么方法判定一個(gè)四邊形是正方形？這就是本節(jié)課要探究的內(nèi)容． 二、探究新知 1．正方形的判定定理 課件出示教材第22頁圖1－20，提出問題： 將一張長方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開．怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？ 學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)，并講解： 因?yàn)檎叫蔚膬蓷l對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，把折痕作對(duì)角線，這時(shí)只需剪一個(gè)等腰直角三角形，打開即是正方形，因此只要保證剪口線與折痕成45°角即可． 教師：滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？ 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出正方形的判定定理： 對(duì)角線相等的菱形是正方形． 對(duì)角線垂直的矩形是正方形． 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形． 教師：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間有什么關(guān)系？ 教師：同學(xué)們能嘗試完成這3個(gè)定理的證明嗎？ 學(xué)生獨(dú)立完成，教師點(diǎn)評(píng)． 2．中心四邊形 學(xué)生以小組的形式，在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中選擇一種自己感興趣的四邊形來研究中點(diǎn)四邊形，并驗(yàn)證結(jié)論的正確性． 平行四邊形 　　　　矩形 菱形 　　　　正方形 等腰梯形 　　　　直角梯形 梯形 引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論： 平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形； 矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形； 菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形； 正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形； 等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形； 直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形； 梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形． 三、舉例分析 例　如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形． 證明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四邊形BECF是平行四邊形． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°，∠ECB＝eq \f(1,2)∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC. ∴?BECF是菱形(菱形的定義)． 在△EBC中， ∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°. ∴菱形BECF是正方形(有一個(gè)角是直角的菱形是正方形)． 四、練習(xí)鞏固 1．教材第24頁“隨堂練習(xí)”． 2．完成下列問題： 圖① 　圖② 　圖③ (1)如圖①，在△ABC中，EF為△ABC的中位線． ①若∠BEF＝30°，則∠A＝________. ②若EF＝8 cm，則AC＝________． (2)如圖②，在AC的下方取一點(diǎn)D，連接AD，CD.取CD和AD的中點(diǎn)G、H，問EF和GH有怎樣的關(guān)系？EH和FG呢？ (3)如圖③，四邊形EFGH的形狀有什么特征？ 五、小結(jié) 1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？ 2．正方形的判定定理有哪些？ 六、課外作業(yè) 教材第25頁習(xí)題1.8第1～4題． 本節(jié)課采用了多媒體輔助教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)建了一個(gè)學(xué)習(xí)情境，通過圖形的變換，使學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律、找出解決方法，并且學(xué)生在老師的啟發(fā)下，一步一步地探索、歸納、學(xué)習(xí)，在探索的過程中培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和意識(shí)．在小組討論之前，應(yīng)該留給學(xué)生充分的獨(dú)立思考的時(shí)間，不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回答代替了其他學(xué)生的思考，掩蓋了其他學(xué)生的疑問．

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