知識點(diǎn) 1 直接開平方法


1．一元二次方程x2－16＝0的根是( )


A．x＝2 B．x＝4


C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4


2．對于形如(x＋m)2＝n的方程，下列說法正確的是( )


A．可以直接開平方得x＝－m±eq \r(n)


B．可以直接開平方得x＝－n±eq \r(m)


C．當(dāng)n≥0時(shí)，直接開平方得x＝－m±eq \r(n)


D．當(dāng)n≥0時(shí)，直接開平方得x＝－n±eq \r(m)


3．一元二次方程(x＋6)2－9＝0的解是( )


A．x1＝6，x2＝－6


B．x1＝x2＝－6


C．x1＝－3，x2＝－9


D．x1＝3，x2＝－9


4．已知關(guān)于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是( )


A．m≥－eq \f(3,4) B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2


5．若一元二次方程(x＋6)2＝5可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程，其中一個(gè)一次方程是x＋6＝ eq \r(5)，則另一個(gè)一次方程是________________．


6．用直接開平方法解下列方程：


(1)(2x＋1)2－6＝0；




















(2)(x－2)2＋4＝0.


























知識點(diǎn) 2 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程


7．用配方法解方程x2＋2x－5＝0時(shí)，原方程應(yīng)變形為( )


A．(x－1)2＝6 B．(x＋1)2＝6


C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9


8．將x2＋49配成完全平方式，需加上的一次項(xiàng)為( )


A．7x B．14x


C．－14x D．±14x


9．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，則p，q的值分別是( )


A．p＝4，q＝2 B．p＝4，q＝－2


C．p＝－4，q＝2 D．p＝－4，q＝－2


10．一元二次方程a2－4a－7＝0的解為_____________．


11．用配方法解下列方程：


(1)x2＋4x－2＝0；

















(2)x2－x－1＝0；




















(3)x2－3x＝3x＋7；

















(4)x2＋2x＋2＝6x＋4.




















12．若把x2＋2x－2＝0化為(x＋m)2＋k＝0的形式(m，k為常數(shù))，則m＋k的值為( )


A．－2 B．－4 C．2 D．4


13．用配方法解關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0時(shí)，方程可變形為( )


A．(x＋eq \f(p,2))2＝eq \f(p2－4q,4) B．(x＋eq \f(p,2))2＝eq \f(4q－p2,4)


C．(x－eq \f(p,2))2＝eq \f(p2－4q,4) D．(x－eq \f(p,2))2＝eq \f(4q－p2,4)


14．代數(shù)式x2＋4x＋7的最小值是________．


15．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的兩個(gè)根分別是m＋1與2m－4，則eq \f(b,a)＝________．


16．小明用配方法解一元二次方程x2－4x－1＝0的過程如下所示：


解：x2－4x＝1，①


x2－4x＋4＝1，②


(x－2)2＝1，③


x－2＝±1，④


x1＝3，x2＝1.⑤


(1)小明解方程的方法是________，他的求解過程從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步的運(yùn)算依據(jù)應(yīng)該是____________________；


(2)解這個(gè)方程．


























17．若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．
































18．在寬為20 m，長為32 m的矩形耕地上修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向、一條橫向，橫向與縱向互相垂直(如圖2－2－1)，把耕地分成大小相等的六塊作試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田面積為570 m2，求道路的寬．





圖2－2－1


























19．定義一種運(yùn)算“*”：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b＝a2＋b2；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝a2－b2，則方程x*2＝12的解是________．


20．將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成兩行兩列，兩邊各加一條豎直線記成eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))，我們將其稱為二階行列式，并定義eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋1 1－x,x－1 x＋1))＝6，則x＝________．





























詳解


1．D 2.C


3．C [解析] (x＋6)2＝9，∴x＋6＝±3，


∴x1＝－3，x2＝－9.故選C.


4．B


5．x＋6＝－eq \r(5) [解析] 直接開平方，得x＋6＝±eq \r(5).


6．解：(1)移項(xiàng)，得(2x＋1)2＝6，


直接開平方，得2x＋1＝±eq \r(6)，即2x＝－1±eq \r(6)，


解得x1＝eq \f(－1＋\r(6),2)，x2＝eq \f(－1－\r(6),2).


(2)移項(xiàng)，得(x－2)2＝－4，


∵(x－2)2≥0，－4＜0，


∴該方程無實(shí)數(shù)根．


7．B [解析] x2＋2x－5＝0，x2＋2x＝5，x2＋2x＋1＝5＋1，(x＋1)2＝6.故選B.


8．D


9．B [解析] 由x2－4x＋p＝(x＋q)2＝x2＋2qx＋q2，得2q＝－4，p＝q2，


解得p＝4，q＝－2.


10．a(chǎn)1＝2＋eq \r(11)，a2＝2－eq \r(11)


11．解：(1)移項(xiàng)，得x2＋4x＝2.


配方，得x2＋4x＋4＝6.


整理，得(x＋2)2＝6，


∴x＋2＝±eq \r(6)，


即x1＝－2＋eq \r(6)，x2＝－2－eq \r(6).


(2)移項(xiàng)，得x2－x＝1.


配方，得x2－x＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).


整理，得(x－eq \f(1,2))2＝eq \f(5,4)，


∴x－eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(5),2)，


即x1＝eq \f(1＋\r(5),2)，x2＝eq \f(1－\r(5),2).


(3)原方程可化為x2－6x＝7.


配方，得x2－6x＋9＝7＋9.


整理，得(x－3)2＝16，


∴x－3＝±4，


即x1＝7，x2＝－1.


(4)移項(xiàng)，得x2＋2x－6x＝4－2.


合并同類項(xiàng)，得x2－4x＝2.


配方，得x2－4x＋22＝2＋22.


整理，得(x－2)2＝6，


所以x－2＝eq \r(6)或x－2＝－eq \r(6)，


即x1＝2＋eq \r(6)，x2＝2－eq \r(6).


12．A [解析] x2＋2x＝2，x2＋2x＋1＝3，(x＋1)2＝3，所以m＝1，k＝－3，所以m＋k＝1－3＝－2.


故選A.


13．A [解析] 首先進(jìn)行移項(xiàng)，再進(jìn)行配方，方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可變形成左邊是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式．


14．3 [解析] x2＋4x＋7＝x2＋4x＋4＋3＝(x＋2)2＋3≥3，則原式的最小值為3.


15．4 [解析] 利用直接開平方法得到x＝±eq \r(\f(b,a))，得到方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，所以m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，則方程的兩個(gè)根分別是2與－2，則有eq \r(\f(b,a))＝2，然后兩邊平方得到eq \f(b,a)＝4.


16．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解過程從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步的運(yùn)算依據(jù)應(yīng)該是等式的基本性質(zhì)．


故答案為：配方法，②，等式的基本性質(zhì)．


(2)x2－4x＝1，


x2－4x＋4＝1＋4，


(x－2)2＝5，


x－2＝±eq \r(5)，


x＝2±eq \r(5)，


∴x1＝2＋eq \r(5)，x2＝2－eq \r(5).


17．解：∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，


∴(a2＋2a＋1)＋(b2－6b＋9)＝0，


即(a＋1)2＋(b－3)2＝0，


∴a＝－1，b＝3，


∴a2－b2＝(－1)2－32＝－8.


18．解：設(shè)道路的寬為x m，


由題意得(32－2x)(20－x)＝570，


整理，得x2－36x＋35＝0，


解得x1＝1，x2＝35.


∵x＝35＞20，∴不合題意，舍去．


答：道路的寬為1 m.


19．x1＝2 eq \r(2)，x2＝－4 [解析] 當(dāng)x≥2時(shí)，x*2＝x2＋22＝12，


解得x1＝2 eq \r(2)，x2＝－2 eq \r(2).


因?yàn)閤≥2，所以x＝2eq \r(2)；


當(dāng)x＜2時(shí)，x*2＝x2－22＝12，


解得x1＝4，x2＝－4.


因?yàn)閤＜2，所以x＝－4.


綜上可知，方程的解為x1＝2 eq \r(2)，x2＝－4.


20．±eq \r(2) [解析] 定義eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，


若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋1 1－x,x－1 x＋1))＝6，


則(x＋1)2－(x－1)(1－x)＝6，


化簡得x2＝2，


即x＝±eq \r(2).


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2 用配方法求解一元二次方程

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