第1章 特殊平行四邊形初步章末拔尖卷 【北師大版】 參考答案與試題解析 選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分） 1．（3分）（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┰诹庑蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，再添加一個(gè)條件，仍不能判定四邊形ABCD是矩形的是 （　?。?A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC 【答案】A 【分析】根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解． 【詳解】A、AB＝AD，則?ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、OA＝OB，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，AC＝BD，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項(xiàng)正確； C、AC＝BD，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)正確； D、DC⊥BC，則∠BCD＝90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項(xiàng)正確． 故選：A． 【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定，熟記判定定理才可正確解答. 2．（3分）（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是同學(xué)們?cè)凇白霏h(huán)保護(hù)航者”的主題班會(huì)課上制作象征“健康快樂(lè)”的綠絲帶（絲帶的對(duì)邊平行且寬度相同），絲帶重疊的部分一定是（????） ?? A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無(wú)法判斷 【答案】B 【分析】先證明四邊形ABCD為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,AF⊥CD，證明△ABE≌△ADF，得到AB=AD，即可得出結(jié)論． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,AF⊥CD， ?? 由題意，得：AD∥BC,AB∥CD,AE=AF， ∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∴∠ABE=∠ADF， ∵∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AB=AD， ∴四邊形ABCD為菱形； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定．熟練掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，是解題的關(guān)鍵． 3．（3分）（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)E；②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，作射線BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若∠BCG=30°，AG=4，則菱形ABCD的面積為（????） ?? A．16 B．83 C．123 D．12 【答案】B 【分析】由作圖可知：BF⊥AD，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD∥BC,AB=BC=AD，從而可得BF⊥BC，然后設(shè)BG=x，利用勾股定理可得BC=3x，最后在Rt△ABG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，再利用菱形的面積公式進(jìn)行求解即可． 【詳解】解：由作圖可知：BF⊥AD， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC,AB=BC， ∴BF⊥BC， 設(shè)BG=x， ∵在Rt△BCG中，∠BCG=30°， ∴CG=2BG=2x,BC=CG2?BG2=3x， ∴AB=3x， 在Rt△ABG中，AG2+BG2=AB2，即42+x2=3x2， 解得x=22（負(fù)值已舍去），即：BG=22， ∴AB=3x=3×22=26， ∴AD=26， ∴菱形ABCD的面積為AD?BG=26×22=83； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、基本作圖—作垂線、含30度角的直角三角形，勾股定理，通過(guò)作圖方法，得到BF⊥AD，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 4．（3分）（2023春·安徽合肥·九年級(jí)校考期末）如圖，在直線l上依次擺放著四個(gè)正方形和三個(gè)等腰直角三角形，已知這三個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)從左到右依次為1，2，3，四個(gè)正方形的面積從左到右依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4的值為（????） ?? A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】將已知的等腰直角三角形翻折得到正方形，運(yùn)用勾股定理可知，每?jī)蓚€(gè)相鄰得正方形面積和等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答． 【詳解】解：如圖，已知的等腰直角三角形翻折得到正方形， ?? ∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°， ∴∠BAC=∠EBD， ∴△ABC≌△BDEAAS， ∴BC=ED， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2=AC2+ED2=S1+S2=1， 同理可得S3+S4=9， ∴ S1+S2+S3+S4=10 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和是之間的等腰直角三角形的面積的兩倍是解題的關(guān)鍵． 5．（3分）（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長(zhǎng)為20，BD為24，則四邊形ABCD的面積為（????） A．24 B．36 C．72 D．144 【答案】C 【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，證明四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長(zhǎng)AE，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據(jù)四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解． 【詳解】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O， ∵四邊形AECF是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF， 又∵點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ∴BE＝FD， ∴BO＝OD， ∵AO＝OC， ∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∵AC⊥BD， ∴四邊形ABCD為菱形； ∵四邊形AECF為菱形，且周長(zhǎng)為20， ∴AE＝5， ∵BD＝24，點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ∴EF＝8，OE＝12EF＝12×8＝4， 由勾股定理得，AO＝AE2?OE2＝52?42＝3， ∴AC＝2AO＝2×3＝6， ∴S四邊形ABCD＝12BD?AC＝12×24×6＝72； 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理以及利用菱形對(duì)角線求面積的方法，熟記菱形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵． 6．（3分）（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，DF⊥AE交AB于點(diǎn)F，以FD，F(xiàn)E為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP，連接CP，則∠FAE+∠EPC的度數(shù)的變化情況是（　　） ?? A．一直減小 B．一直減小后增大 C．一直不變 D．先增大后減小 【答案】C 【分析】作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，證明CP是∠DCH的角平分線，由∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH即可解決問(wèn)題． 【詳解】解：作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H， ?? ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=AB=BC，∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°， ∵DF⊥AE， ∴∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∴△ADF≌△BAEASA， ∴DF=AE， ∵四邊形DFEP是平行四邊形， ∴DF=PE，DF∥PE，∠DFE=∠DPE， ∴AE⊥PE，AE=PE， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°， ∴∠BAE=∠PEH， ∵∠ABE=∠H=90°，AE=PE， ∴△ABE≌△EHPAAS， ∴PH=BE，AB=EH=BC， ∴BE=CH=PH， ∴∠PCH=45°， ∵∠DCH=90°， ∴∠DCP=∠PCH， ∴CP是∠DCH的角平分線， ∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是∠DCH的角平分線， ∵∠BAE=∠PEH， ∴∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH， 而∠PCH=12∠DCH=45°， ∴∠FAE+∠EPC一直不變， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、余角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線構(gòu)造全等三角形以及得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵． 7．（3分）（2023春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，如果AB=3,AD=4，那么(　　) ?? A．PE+PF=125 B．125

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