2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊 第一章特殊平行四邊形微專題——含輔助線壓軸證明題 1．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接對角線AC． ?? (1)如圖1，E為AD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為DC邊延長線上一點(diǎn)，且AE=CF，連接AF，BE交于點(diǎn)G． ①求證：BE=AF； ②過點(diǎn)C作CH⊥BE，垂足為H，求證：CH=32BG； (2)如圖2，已知AB=4，將△ACD沿射線AC平移，得到△A'C'D'，連接BA'，BD'，請直接寫出BA'+BD'的最小值． 2．如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰RtΔCMN中，∠CMN=90°，CM=MN，點(diǎn)M在CD邊上，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE． (1)若CM=2，AB=6，求AE的值； (2)求證：2BE=AC+CN； (3)當(dāng)?shù)妊黂tΔCMN的點(diǎn)M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE，延長NM交AC于點(diǎn)F．請?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 3．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是經(jīng)過點(diǎn)B且與AC平行的直線上一點(diǎn)，且∠BAF=∠ADB，點(diǎn)E在線段OD上，且滿足AE=CD，連接CE． (1)若∠BAF=35°，求∠EAC的度數(shù)； (2)若BF=2OE，求證：CE⊥BD． 4．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE=CF，AE與BF交于點(diǎn)G． (1)如圖1，求證△ABE≌△BCF； (2)如圖2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：①△AGN是等腰直角三角形；②CN+AN=2BN． 5．如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E重合），連接BF，過點(diǎn)F作直線BF的垂線，與線段CE交于點(diǎn)G，連接BG，點(diǎn)H是線段BG的中點(diǎn)． (1)若CE=22，求矩形ABCD的面積； (2)求證：BF=2EH. 6．在正方形ABCD中，連接對角線AC，在AC上截取AE=BC，連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，延長AF交BC于點(diǎn)M． (1)如圖1，連接ME并延長交AD的延長線于點(diǎn)Q，若BC=5，求△AQM的面積； (2)如圖2，過點(diǎn)A作AP⊥AM于點(diǎn)A，交CD的延長線于點(diǎn)P，求證：AP-2FM=BE． 7．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在AB的延長線上，連接EC，EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF、AF，CF與對角線BD交于點(diǎn)G． (1)若BE=2，求AF的長度； (2)求證：AF+2BG=2AD． 8．已知，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD上的兩點(diǎn)，連接BE、CF，并延長交于點(diǎn)G，連接DG，H為CF上一點(diǎn)，連接BH、DH，∠GBH+∠GED=90° (1)如圖1，若H為CF的中點(diǎn)，且AF=2DF，DH=102，求線段AB的長； (2)如圖2，若BH=BC，過點(diǎn)B作BI⊥CH于點(diǎn)I，求證：BI+22DG=CG； (3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點(diǎn)A、D）上一動點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q，將△BCQ沿BC翻折得△BCM，N為直線AB上一動點(diǎn)，連接MN，當(dāng)△BCM面積最大時，直接寫出22AN+MN的最小值． 9．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E為對角線BD上一動點(diǎn)，連接AE． (1)如圖1，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，若BE=AE，求∠FAD的度數(shù)； (2)如圖2，△BEM是等邊三角形，連接DM，H為DM的中點(diǎn)，連接AH，猜想線段AH與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． (3)在（2）的條件下，N為AD的中點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊△AMP，連接PN，若AD=23，直接寫出PN的最小值． 10．如圖，正方形ABCD的邊長為6， 點(diǎn)E在邊AB上，連接ED，過點(diǎn)D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點(diǎn)F， 連接EF與邊CD相交于點(diǎn)G、與對角線BD相交于點(diǎn)H． (1)若BD＝BF，求BE的長； (2)若∠2＝2∠1，求證：HF＝HE＋HD． 11．如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一動點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G，AB＝3，AD＝4． (1)如圖1，當(dāng)∠DAG＝30°時，求BE的長； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時，求線段GC的長； (3)如圖3，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，當(dāng)△CFE的周長最小時，直接寫出BE的長． 12．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段BC上的動點(diǎn)，H為線段DF上任意一點(diǎn)，連接AC和BD． （1）如圖1，當(dāng)DF⊥BC時，求DF的長． （2）如圖2，作FG//DE交AC于點(diǎn)G，H為DF的中點(diǎn)，連接HG，HB，BG．猜想線段HG與HB存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論． （3）在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中，當(dāng)HB+HC+HD的值最小時，請直接寫出HF的長． 13．在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，將過點(diǎn)A的直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，交射線CD于點(diǎn)E，BF⊥l于點(diǎn)F，DG⊥l于點(diǎn)G，連接OF，OG （1）如圖①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，請直接寫出線段OF、OG的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，OF與OG有什么數(shù)量關(guān)系？請說明你的結(jié)論； （3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時，OF與OG有什么數(shù)量關(guān)系？請說明你的結(jié)論． 14．如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC． （1）如圖1，探究PG與PC的位置關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明； （2）如圖1，若PG=PC，BE=2，求菱形BEFG的面積． （3）如圖2，將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，若∠ABC=∠BEF=60°，請直接寫出PG與PC的數(shù)量關(guān)系． 15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，點(diǎn)E為AB上一動點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)G，CH⊥DE，垂足為H，CH的延長線與AB相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在邊AB上 （1）若DG=10，AG=1，求AB的長 （2）求證DG=CF+FG （3）若AP=1，AD=42，請直接寫出PH的最小值 16．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，P為菱形ABCD內(nèi)對角線BD右側(cè)一點(diǎn)． （1）如圖1，連接AP,BP,DP，若∠BPD=2∠BAD，求證：AP=BP+DP； （2）如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PG⊥BC于點(diǎn)G．連接EF,FG,EG，若AB=6，求ΔEFG面積的最大值．

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版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級上冊

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