一、選擇題(本大題共7小題，共28分)


1．已知eq \f(x,y)＝eq \f(3,2)，那么下列等式中，不一定正確的是( )


A.eq \f(x＋2,y＋2)＝eq \f(3,2) B．2x＝3y


C.eq \f(x＋y,y)＝eq \f(5,2) D.eq \f(x,x＋y)＝eq \f(3,5)


2．如圖4－Z－1，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，則線段B1C1的長為( )


A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm


圖4－Z－1


圖4－Z－2


3．如圖4－Z－2所示，在△ABC中，D，E分別為AC，BC邊上的點，AB∥DE，CF為AB邊上的中線．若AD＝5，CD＝3，DE＝4，則BF的長為( )


A.eq \f(32,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(10,3) D.eq \f(8,3)





圖4－Z－3


4．如圖4－Z－3，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：①eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)；②eq \f(S△DOE,S△COB)＝eq \f(1,2)；③eq \f(AD,AB)＝eq \f(OE,OB)；④eq \f(S△ODB,S△BDC)＝eq \f(1,3).其中正確的個數(shù)為( )


A．1 B．2 C．3 D．4


5．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列條件中不能判定這兩個三角形相似的是( )


A．∠A＝55°，∠D＝35°


B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8


C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8


D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9


6．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比．已知這本書的長為20 cm，則它的寬約為( )


A．12.36 cm B．13.64 cm


C．32.36 cm D．7.64 cm


7．如圖4－Z－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒eq \r(2) cm的速度向終點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1 cm的速度向終點C運動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應(yīng)點為點P′.設(shè)點Q運動的時間為t s，若四邊形QPCP′為菱形，則t的值為( )





圖4－Z－4


A.eq \r(2) B．2 C．2 eq \r(2) D．3


二、填空題(本大題共6小題，共24分)


8．有一塊三角形的草地，它的一條邊長為25 m．在圖紙上，這條邊的長為5 cm，其他兩條邊的長都為4 cm，則其他兩邊的實際長度都是________ m.


9．若eq \f(a,5)＝eq \f(b,7)＝eq \f(c,8)，且3a－2b＋c＝3，則2a＋4b－3c＝________．


10．已知甲、乙兩個相似三角形對應(yīng)中線之比為1∶2，甲三角形的面積為5 cm2，則乙三角形的面積為__________．


11．如圖4－Z－5，在兩個直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝eq \r(6)，AD＝2.當(dāng)AB＝________時，△ABC∽△ACD.


圖4－Z－5


圖4－Z－6


12．如圖4－Z－6，數(shù)學(xué)興趣小組想測量電線桿AB的高度，他們發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD與地面成30°角，且此時測得高1 m的標(biāo)桿的影長為2 m，則電線桿的高度為________m(結(jié)果保留根號)．





圖4－Z－7





13．如圖4－Z－7，將邊長為6 cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在點Q處，EQ與BC相交于點G，則△EBG的周長是________ cm.


三、解答題(共48分)


14．(10分)如圖4－Z－8，矩形ABCD是臺球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E的位置，AE＝60 cm，如果小寶瞄準(zhǔn)BC邊上的點F將球打過去，經(jīng)過反彈后，球剛好彈到點D的位置．


(1)求證：△BEF∽△CDF；


(2)求CF的長．





圖4－Z－8








15．(12分)如圖4－Z－9，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到△A′B′C′.


(1)在圖中的第一象限內(nèi)畫出符合要求的△A′B′C′(不要求寫畫法)；


(2)求△A′B′C′的面積．





圖4－Z－9














16．(12分)如圖4－Z－10，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝12 cm，高AD＝8 cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，這個正方形零件的邊長是多少？





圖4－Z－10























17．(14分)如圖4－Z－11，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，M為AD的中點，連接CM交BD于點N，且ON＝1.


(1)求BD的長；


(2)若△CND的面積為2，求四邊形ABNM的面積．





圖4－Z－11
































詳解


1．A


2．D [解析] ∵l1∥l2∥l3，∴eq \f(A1B1,B1C1)＝eq \f(AB,BC).


∵AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，


∴eq \f(4,B1C1)＝eq \f(6,3)，∴B1C1＝2(cm)．故選D.


3．B 4.C


5．C [解析] A項，∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△EDF；B項，∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴eq \f(AC,DF)＝eq \f(BC,EF)＝eq \f(3,2).又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；C項，有一組角相等、兩邊對應(yīng)成比例，但該組角不是這兩邊的夾角，故不相似；D項，易得AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE＝15，DF＝12，EF＝9，∴eq \f(AC,DF)＝eq \f(BC,EF)＝eq \f(2,3).又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF.故選C.


6．A


7．B [解析] 連接PP′交BC于點O，∵四邊形QPCP′為菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ＝90°.∵∠ACB＝90°，∴PO∥AC，∴eq \f(AP,AB)＝eq \f(CO,CB).∵點Q運動的時間為t s，∴AP＝eq \r(2)t，QB＝t，∴QC＝6－t，∴CO＝3－eq \f(t,2).∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6 eq \r(2)，∴eq \f(\r(2)t,6 \r(2))＝eq \f(3－\f(t,2),6)，解得t＝2.


8．20 [解析] 設(shè)其他兩邊的實際長度都是x m，由題意，得eq \f(x,4)＝eq \f(25,5)，解得x＝20.即其他兩邊的實際長度都是20 m.


9.eq \f(14,3) [解析] 設(shè)eq \f(a,5)＝eq \f(b,7)＝eq \f(c,8)＝x，則a＝5x，b＝7x，c＝8x.因為3a－2b＋c＝3，所以15x－14x＋8x＝3，解得x＝eq \f(1,3)，所以2a＋4b－3c＝10x＋28x－24x＝14x＝eq \f(14,3).


10．20 cm2 11.3





12．(7＋eq \r(3))


[解析] 如圖，過點D作DE⊥BC交其延長線于點E，連接AD并延長交BC的延長線于點F，∵CD＝4 m，CD與地面成30°角，


∴DE＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)×4＝2(m)，CE＝eq \r(CD2－DE2)＝2 eq \r(3) m．∵高1 m的標(biāo)桿的影長為2 m，∴eq \f(DE,EF)＝eq \f(1,2)，eq \f(AB,BF)＝eq \f(1,2)，∴EF＝2DE＝2×2＝4(m)，∴BF＝BC＋CE＋EF＝10＋2 eq \r(3)＋4＝(14＋2 eq \r(3))m，∴AB＝eq \f(1,2)×(14＋2 eq \r(3))＝(7＋eq \r(3))m.


13．[全品導(dǎo)學(xué)號：52652189]12 [解析] 根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠FEG＝90°，設(shè)AF＝x cm，則EF＝(6－x)cm.在Rt△AEF中，AF2＋AE2＝EF2，即x2＋32＝(6－x)2，解得x＝eq \f(9,4)，所以AF＝eq \f(9,4) cm，EF＝eq \f(15,4) cm，根據(jù)△AFE∽△BEG，可得eq \f(AF,BE)＝eq \f(AE,BG)＝eq \f(EF,EG)，即eq \f(\f(9,4),3)＝eq \f(3,BG)＝eq \f(\f(15,4),EG)，所以BG＝4 cm，EG＝5 cm，所以△EBG的周長為3＋4＋5＝12(cm)．


14．解：(1)證明：由題意，得∠EFG＝∠DFG.


∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD.


又∵∠B＝∠C＝90°，


∴△BEF∽△CDF.


(2)∵△BEF∽△CDF，


∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(BF,CF)，即eq \f(70,130)＝eq \f(260－CF,CF)，


∴CF＝169(cm)．


15．解：(1)△A′B′C′如圖所示．





(2)圖中每個小正方形的邊長為1個單位長度，由勾股定理可得AC＝eq \r(2)，AB＝CB＝eq \r(5)，AC邊上的高＝eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3,2) eq \r(2)，


所以△ABC的面積S＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(3,2) eq \r(2)＝eq \f(3,2).


設(shè)△A′B′C′的面積為S′，





因為△ABC∽△A′B′C′，所以eq \f(S,S′)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，


得S′＝4S＝4×eq \f(3,2)＝6，即△A′B′C′的面積為6.


16．解：如圖，∵四邊形EFHG是正方形，


∴EF∥BC，


∴△AEF∽△ABC，而AD⊥BC，


∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(AK,AD).


設(shè)正方形EFHG的邊長為x cm，則AK＝(8－x)cm，


∴eq \f(x,12)＝eq \f(8－x,8)，解得x＝4.8.


答：這個正方形零件的邊長為4.8 cm.





17．解：(1)∵在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，


∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，


∴△MND∽△CNB，


∴eq \f(MD,CB)＝eq \f(DN,BN).


∵M(jìn)為AD的中點，


∴MD＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)BC，即eq \f(MD,CB)＝eq \f(1,2)，


∴eq \f(DN,BN)＝eq \f(1,2)，即BN＝2DN.


設(shè)OB＝OD＝x，則BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝OD－ON＝x－1，


∴x＋1＝2(x－1)，解得x＝3，


∴BD＝2x＝6.


(2)∵△MND∽△CNB，且相似比為1∶2，


∴MN∶CN＝DN∶BN＝1∶2，


∴S△MND＝eq \f(1,2)S△CND＝1，S△CNB＝2S△CND＝4，


∴S△ABD＝S△BCD＝S△CNB＋S△CND＝4＋2＝6，


∴S四邊形ABNM＝S△ABD－S△MND＝6－1＝5.


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