典例精講
考點(diǎn)一 平面向量在物理上應(yīng)用
【例1】（2023·哈爾濱）在日常生活中，我們會看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的范圍為
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
【一隅三反】
1．（2022·山東）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高一）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時(shí)，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（ ）
A．船受到的拉力不斷增大B．船受到的拉力不斷變小
C．船受到的浮力不斷變小D．船受到的浮力保持不變
考點(diǎn)二 平面向量在幾何中的應(yīng)用
【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運(yùn)動，且，則的最小值為（ ）
A．5B．C．4D．
【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，邊的中點(diǎn)為D，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．5C．D．7
2．（2022·貴州）是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川雅安）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．6
考點(diǎn)三 正余弦定理在實(shí)際生活應(yīng)用
【例3】（2022·湖南）一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時(shí)的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時(shí)輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（ ）
A．2海里B．3海里C．4海里D．5海里
【一隅三反】
1．（2022·黑龍江）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點(diǎn)，從、兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點(diǎn)之間的距離為，則樹的高度為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·安徽）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點(diǎn)A測得的仰角為（單位：），點(diǎn)在同一水平地面上，則大跳臺最高高度（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山東臨沂·高一期末）一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（ ）
A．25mB．30mC．35mD．40m
考點(diǎn)四 正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)
【例4】（2022·新疆）設(shè)函數(shù)，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.
【一隅三反】
1．（2022·廣東揭陽）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．
2．（2022·青海）已知向量，，函數(shù).
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.
3．（2022·甘肅）已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.
考點(diǎn)五 正余弦定理的最值問題
【例5-1】（2022·山東）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．
(1)求角的大??；
(2)求的取值范圍．
【例5-2】（2022·江蘇）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，△ABC的面積為，求CD的最小值.
【一隅三反】
1．（2022·廣東）請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．
①；
②；
③．
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若 ．
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周長的取值范圍．
2．（2022·北京）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，是的面積,．
(1)證明：A＝2C；
(2)若a＝2，且為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．
3．（2022·廣東）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．己知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范圍．
考點(diǎn)六 正余弦定理在幾何中應(yīng)用
【例6】（2022·甘肅）如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足．
(1)證明：；
(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．
【一隅三反】
1．（2022·山西）在平面四邊形中，，，．
(1)若，求的長；
(2)求四邊形周長的最大值．
2（2022·廣東）如圖，在平面四邊形中，，．
(1)若平分，證明：；
(2)記與的面積分別為和，求的最大值．
3．（2022·安徽）如圖，在梯形中，，．
(1)若，求周長的最大值；
(2)若，，求的值．
6.4.2 平面向量的應(yīng)用（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 平面向量在物理上應(yīng)用
【例1】（2023·哈爾濱）在日常生活中，我們會看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的范圍為
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
【答案】B
【解析】如圖，對于選項(xiàng)A：當(dāng)、方向同向時(shí)，有，此時(shí)取得最小值，且最小值為，A正確；
對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，有，行李包不會處于平衡狀態(tài)，即，B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：當(dāng)行李包處于平衡時(shí)，，若，
則有，變形得，，即，正確；
對于D選項(xiàng)：若，則有則有，變形可得則有，D正確，故選：B．
【一隅三反】
1．（2022·山東）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：
，，在中，有，
所以，，，所以，
所以，
所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.
2．（2022·全國·高一）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為，因?yàn)辄c(diǎn)在A的正北方向，所以，
所以.故選：D.
3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時(shí)，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（ ）
A．船受到的拉力不斷增大B．船受到的拉力不斷變小
C．船受到的浮力不斷變小D．船受到的浮力保持不變
【答案】AC
【解析】設(shè)水的阻力為，船受到的拉力為 ，與水平方向的夾角為，
則 ，故 ，因?yàn)椴粩嘣龃?，所以不斷減小，
故 不斷增大.因?yàn)?不斷增大，所以船受到的浮力不斷減小；故選：AC.
考點(diǎn)二 平面向量在幾何中的應(yīng)用
【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運(yùn)動，且，則的最小值為（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】D
【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則,設(shè),則,且,
故當(dāng)時(shí),的最小值為,故選：D.
【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，邊的中點(diǎn)為D，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，在中，邊的中點(diǎn)為D
由，可得：，
，可得：，，
，可得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）
則的最大值為4.故選：D.
【一隅三反】
1．（2022·黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．5C．D．7
【答案】D
【解析】如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，因?yàn)?，?br>所以，，，所以，，
，所以，所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，的最小值為7，故選：D．
2．（2022·貴州）是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以所在的邊為x軸、垂直平分線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，則，
所以，則
則的最小值為，故選：D.
3．（2022·四川雅安）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【解析】因?yàn)樵诘妊苯侵?，斜邊，所以?br>因?yàn)椤?，所以，設(shè)，則，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B
考點(diǎn)三 正余弦定理在實(shí)際生活應(yīng)用
【例3】（2022·湖南）一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時(shí)的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時(shí)輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（ ）
A．2海里B．3海里C．4海里D．5海里
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)A為輪船原來的位置，B為輪船10分鐘后的位置，C為燈塔的位置，
由題意知，，．
由余弦定理得，
所以，化簡得，
解得或（舍去），
所以燈塔與輪船原來的距離為2海里，
故選：A
【一隅三反】
1．（2022·黑龍江）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點(diǎn)，從、兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點(diǎn)之間的距離為，則樹的高度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在，，，，
又，
由正弦定理得：，，
樹的高度為(m).故選：A．
2．（2022·安徽）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點(diǎn)A測得的仰角為（單位：），點(diǎn)在同一水平地面上，則大跳臺最高高度（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在中，，則，
∴
，
由正弦定理可得，則，
在Rt中，，
∵，則.故選：A．
3．（2022·山東臨沂·高一期末）一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（ ）
A．25mB．30mC．35mD．40m
【答案】B
【解析】 如圖所示，
設(shè)水柱CD的高度為h，
在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，
∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，
又∵B，A，C在同一水平面上，
∴是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
在中，∠CBD=30°，∴BC=，
在中，由余弦定理可得，
∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故選：B.
考點(diǎn)四 正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)
【例4】（2022·新疆）設(shè)函數(shù)，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由題設(shè)，，
所以，當(dāng)時(shí)的最小值為.
(2)由，得：，則，又，
所以，故，則.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，所以.
由，則.
【一隅三反】
1．（2022·廣東揭陽）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）據(jù)圖象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由題意得的面積為，解得，
由余弦定理得，解得：.
2．（2022·青海）已知向量，，函數(shù).
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由條件可得：，
∴，
所以函數(shù)零點(diǎn)滿足，
則，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化簡得：
，
又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.
∴.
3．（2022·甘肅）已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）最小正周期為，，；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由題意，函數(shù)，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因?yàn)?，可得?br>由正弦定理可知，所以，，
由及為銳角三角形，解得，
則
.
因?yàn)?，可得，所以?br>所以.
考點(diǎn)五 正余弦定理的最值問題
【例5-1】（2022·山東）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．
(1)求角的大??；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，
即，即，
又，所以，因?yàn)?，所以?br>（2），
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，
所以，所以，即的取值范圍為．
【例5-2】（2022·江蘇）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，△ABC的面積為，求CD的最小值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C，即，
由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得，
又，故可得.
（2）由三角形面積可得，解得；
又，故
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.
故CD的最小值為.
【一隅三反】
1．（2022·廣東）請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．
①；
②；
③．
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若 ．
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周長的取值范圍．
【答案】(1)(2)．
【解析】（1）選①，由得：，
即，所以，因?yàn)?，故角?br>選②，由得：，
，所以，
因?yàn)?，，所以，解得：?br>選③，因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，∴，
∵，∴，∴，因?yàn)?，所以?br>（2）根據(jù)（1）可知：，又因?yàn)椋?br>由余弦定理得：，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，
又因?yàn)楦鶕?jù)三角形的三邊關(guān)系有：所以，所以△ABC周長的取值范圍為．
2．（2022·北京）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，是的面積,．
(1)證明：A＝2C；
(2)若a＝2，且為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）證明：由，即，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴B＝π－3C，
∵為銳角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，則，且，
設(shè),，設(shè)，則，
∴，， 所以,為減函數(shù)，
∴．
3．（2022·廣東）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．己知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，得：
由正弦定理得：
又，所以，
故，即，則；
（2）由正弦定理得：
所以
又因?yàn)?，所以，又，故?br>故，則，所以故的取值范圍為．
考點(diǎn)六 正余弦定理在幾何中應(yīng)用
【例6】（2022·甘肅）如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足．
(1)證明：；
(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．
【答案】(1)見解析(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
又，故，
由于，所以，因此，
（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,
由于為三角形內(nèi)角,所以，由(1)知,故
因此,
進(jìn)而得
【一隅三反】
1．（2022·山西）在平面四邊形中，，，．
(1)若，求的長；
(2)求四邊形周長的最大值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）解：連接，
因?yàn)?，，故為等邊三角形，?br>，則，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
因此，四邊形周長的最大值為.
2（2022·廣東）如圖，在平面四邊形中，，．
(1)若平分，證明：；
(2)記與的面積分別為和，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）平分，，則，
由余弦定理得：，
即，解得：；
，
，
，又，，
（2），
，整理可得：；
，
，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
3．（2022·安徽）如圖，在梯形中，，．
(1)若，求周長的最大值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：在中，
，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
故周長的最大值是．
（2）解：設(shè)，則，．
在中，，
在中，．
兩式相除得，，，
因?yàn)椋?br>，
，故．

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這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊6.4 平面向量的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)，共21頁。試卷主要包含了在平面四邊形中，，，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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