本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第四節(jié)《平面向量的應(yīng)用》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
正弦定理是學(xué)生在已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了用余弦定理解三角形，三角函數(shù)，平面向量等知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行的。雖然對(duì)于學(xué)生來說，有一定觀察、分析、解決問題的能力，但正弦定理的發(fā)現(xiàn)，探索、證明還是有一定的難度，教師恰當(dāng)引導(dǎo)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，注重前后知識(shí)間的聯(lián)系，激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望，發(fā)現(xiàn)并探索正弦定理。
1.能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系并掌握正弦定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題。
2.難點(diǎn)：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明。
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
古埃及時(shí)代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運(yùn)行的規(guī)律，準(zhǔn)備測(cè)量各種數(shù)據(jù).當(dāng)尼羅河漲水時(shí)，古埃及人想測(cè)量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過測(cè)量得到了AB的長(zhǎng)度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD.古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計(jì)算的呢？
2.探索交流，解決問題
【問題1】 如圖，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？
【提示】 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c.
【問題2】 在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)還成立嗎？課本是如何說明的？你還有其他方法嗎？
【提示】 在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)仍然成立，課本借助直角三角形和向量的數(shù)量積來證明.還可借助外接圓或向量的投影來證明.

（二）正弦定理
1.正弦定理的表示
(1)文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)。
拓展：該比值為該三角形外接圓的直徑.
2.正弦定理的變形形式
設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C).
【思考1】正弦定理的主要功能是什么？
提示 實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.
【思考2】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C對(duì)嗎？
提示 不對(duì).根據(jù)正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
【做一做】1.在△ABC中，下列等式總能成立的是( )
A.acs C＝ccs A B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
解析 由正弦定理易知，選項(xiàng)D正確.
答案 D
2.在△ABC中，a＝7，c＝5，則sin A∶sin C的值是( )
A.eq \f(7,5) B.eq \f(5,7) C.eq \f(7,12) D.eq \f(5,12)
解析 由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5.
答案 A
3.已知△ABC外接圓半徑是2，A＝60°，則BC的長(zhǎng)為________.
解析 因?yàn)閑q \f(BC,sin A)＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2eq \r(3).
答案 2eq \r(3)
（三）典型例題
1.已知兩角及一邊解三角形
【例1】 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解 根據(jù)正弦定理，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10×sin 105°,sin 30°)＝20sin 75°＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2)).
【類題通法】1.正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè).
2.解決已知兩角及一邊類型的解題方法：
(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊．
(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊．
【鞏固練習(xí)1】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短邊的邊長(zhǎng).
解 因?yàn)锽＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b為最短邊，
由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(sin 45°,sin 60°)＝eq \f(\r(6),3)，故所求的最短邊長(zhǎng)為eq \f(\r(6),3).
2.已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，求A，C和c.
解 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，知sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3),2)，
∵ba，∴C＝60°或C＝120°.
當(dāng)C＝60°時(shí)，B＝75°，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)＋1；
當(dāng)C＝120°時(shí)，B＝15°，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)－1.
3.判斷三角形形狀
【例3】 已知在△ABC中，bsin B＝csin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，試判斷△ABC的形狀．
解 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R得sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
∵bsin B＝csin C，∴b·eq \f(b,2R)＝c·eq \f(c,2R)，∴b2＝c2，∴b＝c.
∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(eq \f(a,2R))2＝(eq \f(b,2R))2＋(eq \f(c,2R))2，
∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，
∴△ABC為等腰直角三角形．
【類題通法】利用正弦定理判斷三角形形狀的方法：
(1)化邊為角.將題目中的所有條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀；
(2)化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，進(jìn)而確定三角形的形狀.
【鞏固練習(xí)3】(1)若acs B＝bcs A，則△ABC是________三角形；
(2)若acs A＝bcs B，則△ABC是________三角形.
解析 (1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
又acs B＝bcs A，所以eq \f(a,b)＝eq \f(cs A,cs B)，
所以eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(cs A,cs B)，所以sin A·cs B＝sin B·cs A，
即sin A·cs B－sin B·cs A＝0，故sin(A－B)＝0，
∵A，B是三角形內(nèi)角，
所以A－B＝0，則A＝B，故△ABC是等腰三角形.
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
又acs A＝bcs B，所以eq \f(a,b)＝eq \f(cs B,cs A)，
所以eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(cs B,cs A)，所以sin A·cs A＝sin B·cs B，
所以2sin A·cs A＝2sin B·cs B，即sin 2A＝sin 2B，
∵A，B為三角形內(nèi)角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案 (1)等腰 (2)等腰或直角
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，則sin B＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D.1
2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq \r(2)，則AC＝( )
A.4eq \r(3) B.2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(\r(3),2)
3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，則△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
4.在△ABC中， a＝5，b＝5eq \r(3)，A＝30°，則B＝________.
答案 1.B 2.B 3. A 4. 60°或120°
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第48頁 練習(xí) 第1，2，3題
第52 頁 習(xí)題6.4 第7,10題









6.4 平面向量的應(yīng)用
課時(shí)內(nèi)容
平面幾何中的向量方法
向量在物理中的應(yīng)用舉例
余弦定理、正弦定理
所在位置
教材第38頁
教材第40頁
教材第42頁
新教材
內(nèi)容
分析
本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí)，更好地體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性。對(duì)于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用”向量和向量運(yùn)算“來替代”數(shù)和數(shù)的運(yùn)算“。
物理學(xué)家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已發(fā)現(xiàn)這些量之間可以進(jìn)行某種運(yùn)算。數(shù)學(xué)家在物理家使用向量的基礎(chǔ)上，對(duì)向量又進(jìn)行了深入研究，使向量成為研究數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的有力工具。本節(jié)將舉例說明向量在解決物理問題中的應(yīng)用。
余弦、正弦定理是研究任意三角形邊角之間關(guān)系的重要開端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代數(shù)的方法來解決的幾何問題的類型；在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用又十分廣泛
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過對(duì)用向量法解決平面幾何問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).
通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用向量方法解決物理中的速度、力學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
通過對(duì)余弦定理、正弦定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
教學(xué)主線
平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算及其坐標(biāo)表示

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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