典例精講
考點(diǎn)一 線(xiàn)面垂直
【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體，求證：平面．
【例1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四棱柱中，各棱長(zhǎng)都為，底面是正方形，頂點(diǎn)在平面上的射影是正方形的中心，求證：平面．
【例1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在圓柱中，是圓柱的母線(xiàn)，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．求證：平面．
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，，且，．求證：平面．
3．（2022春·全國(guó)·高一期末）如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，．
(1)證明：平面平面；
(2)求三棱錐的體積．
考點(diǎn)二 面面垂直
【例2】（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【一隅三反】
1．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).求證：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
2．（2022陜西榆林·高一陜西省榆林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分別是的中點(diǎn).求證：
(1)平面PCE
(2)平面平面
3．（2022春·湖南郴州·高一安仁縣第一中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)求四棱錐的體積．
考點(diǎn)三 線(xiàn)線(xiàn)垂直
【例3-1】（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.
【例3-2】（2022陜西咸陽(yáng)）已知四棱錐的底面是菱形，平面.
(1)設(shè)平面平面，求證：；
(2)求證：.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．證明：AD⊥C1E.
2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．
3．（2022春·廣西玉林·高一校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求三棱錐的體積．
考點(diǎn)四 判斷與性質(zhì)定理的辨析
【例4-1】（2022河北唐山）若m、n、l表示不同的直線(xiàn)，?、?表示不同的平面，則下列推理正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【例4-2】（2021秋·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)市第三十九中學(xué)校考期末）已知為三個(gè)不同的平面，為一條直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題
①若，則； ②若，則
③若，； ④若，，則；
其中，是假命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【一隅三反】
1．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知為不同的直線(xiàn)，為不同的平面，以下四個(gè)命題
① ②
③ ④
其中正確的序號(hào)為（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
2．（2022遼寧）已知三個(gè)互不重合的平面，，，且，，，給出下列命題：
①若，，則；
②若，則；
③若，，則；
④若，則．
其中正確命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．（2022春·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知不同直線(xiàn)l、m、n與不同平面、，下列推論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則或
8.6.1 空間直線(xiàn)、平面的垂直（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 線(xiàn)面垂直
【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體，求證：平面．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：∵平面，平面∴
∵四邊形是正方形∴
又平面，平面，∴平面．
∵平面∴．
同理可證：．
又平面，平面，，∴平面．
【例1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四棱柱中，各棱長(zhǎng)都為，底面是正方形，頂點(diǎn)在平面上的射影是正方形的中心，求證：平面．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：在正方形中，，則為、的中點(diǎn)，且，
平面，平面，，則，
，，，
在四棱柱中，，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
，、平面，因此，平面.
【例1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因?yàn)镸N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在圓柱中，是圓柱的母線(xiàn)，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．求證：平面．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：由已知可知，是圓柱的母線(xiàn)，所以平面，平面，∴．
∵點(diǎn)是上異于、的點(diǎn)，是的直徑，所以．
又，平面∴平面．
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，，且，．求證：平面．
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】∵在中，D是AB的中點(diǎn)，，∴,
∵E是PB的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，∴，∴，
又，，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又，，平面，平面，∴平面．
3．（2022春·全國(guó)·高一期末）如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，．
(1)證明：平面平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1
【解析】(1)證明：平面，平面，
，
又平面，平面，
平面，
在矩形中，，且平面，平面，
平面，
又，
∴平面平面．
(2)平面，
∴點(diǎn)到平面的距離為，
∵四邊形是矩形，，，
，
．
考點(diǎn)二 面面垂直
【例2】（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，.
為棱的中點(diǎn)，，且.
又為棱的中點(diǎn)，且底面為正方形，
，且，
，且，
四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，
平面.
（2）為棱的中點(diǎn)，，.
底面，平面，，
又，，平面，
平面，
平面，.
，平面，
平面.
平面，平面平面.
【一隅三反】
1．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).求證：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）∵底面ABCD為矩形，∴.
∵底面ABCD，底面ABCD ∴.
又∵，平面PAB，
∴平面PAB.
（2）∵平面PAB，平面PAB，
∴.
∵，E是PB的中點(diǎn)，∴.
又∵，平面PBC，
∴平面PBC.
又∵平面AEC，
∴平面平面PBC.
2．（2022陜西榆林·高一陜西省榆林中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分別是的中點(diǎn).求證：
(1)平面PCE
(2)平面平面
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且.
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.
所以，，即四邊形為平行四邊形，即.
因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以平面.
（2）因?yàn)槠矫?，平面，所?
因?yàn)?，，，平面，所以平?
又因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以.
因?yàn)?，，，平面，所以平?
又因?yàn)椋云矫?
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
3．（2022春·湖南郴州·高一安仁縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】（1）證明：由題意，，
，
平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
，所以是等腰三角形，
，即是梯形底邊上的高，，
由題意知，，所以，
是的中點(diǎn)，到底面的距離為，
四棱錐的體積為；
綜上，四棱錐的體積為．
考點(diǎn)三 線(xiàn)線(xiàn)垂直
【例3-1】（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線(xiàn)AC與BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿(mǎn)足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線(xiàn)AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.
【例3-2】（2022陜西咸陽(yáng)）已知四棱錐的底面是菱形，平面.
(1)設(shè)平面平面，求證：；
(2)求證：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
.
（2）平面平面，
四棱錐的底面是菱形，，
平面，
平面，
又平面.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．證明：AD⊥C1E.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②
BC，BB1為平面BB1C1C內(nèi)兩條相交直線(xiàn)由①②得AD⊥平面BB1C1C.
由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.
2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H．
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，F(xiàn)H=1．
所以∠EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)AD，BC所成的角．
因?yàn)镋F=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，
所以∠EHF=90°，即AD與BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
3．（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】（1）平面，平面，；
四邊形為矩形，，又，平面，
平面，又平面，.
（2）平面，平面，，又為中點(diǎn)，
，
由（1）知：平面，.
考點(diǎn)四 判斷與性質(zhì)定理的辨析
【例4-1】（2022河北唐山）若m、n、l表示不同的直線(xiàn)，?、?表示不同的平面，則下列推理正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】B
【解析】在正方體中，記平面為平面，平面為平面
，為，為，為，
對(duì)于A選項(xiàng)，，，但和相交，所以A錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，但和相交，所以C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，，但與相交，所以D錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知B對(duì)；
故選：B
【例4-2】（2021秋·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)市第三十九中學(xué)?？计谀┮阎獮槿齻€(gè)不同的平面，為一條直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題
①若，則； ②若，則
③若，； ④若，，則；
其中，是假命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】對(duì)于①②③，在正方體中，
平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以①不正確；
平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以②不正確；
對(duì)于③因?yàn)?，則可能平行，故③不正確；
對(duì)于④因?yàn)?，過(guò)任作平面與相交，設(shè)，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得
又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故④錯(cuò)誤.
綜上假命題的有①②③④故選：D
【一隅三反】
1．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知為不同的直線(xiàn)，為不同的平面，以下四個(gè)命題
① ②
③ ④
其中正確的序號(hào)為（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】C
【解析】①或，故錯(cuò)誤；
②由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理知，正確；
③由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理知，正確；
④，m，n相交或異面，故錯(cuò)誤；
故選：C
2．（2022遼寧）已知三個(gè)互不重合的平面，，，且，，，給出下列命題：
①若，，則；
②若，則；
③若，，則；
④若，則．
其中正確命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解析】對(duì)于①，當(dāng)三條交線(xiàn)交于一點(diǎn)時(shí)，若，，則b，c夾角不確定，故①不正確，
對(duì)于②，若，則，，即，，所以，所以，故②正確，
對(duì)于④，若又，，所以，
又，且，所以，故④正確，
對(duì)于③，由④可同理得若，則，與矛盾，故不平行，
故，，與相交，則，
又，得到，故③正確，
綜上可知三個(gè)命題正確，
故選：C．
3．（2022春·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)校考期末）（多選）已知不同直線(xiàn)l、m、n與不同平面、，下列推論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則或
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，根據(jù)直線(xiàn)平行的傳遞性可知，A正確；
對(duì)于B，根據(jù)平面與平面垂直的判斷定理可知，B正確；
對(duì)于C，若，，與也可能相交，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理以及直線(xiàn)與平面垂直的概念可知，D正確.
故選：ABD.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.6 空間直線(xiàn)、平面的垂直

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