前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的概念和運(yùn)算，并通過(guò)平面向量基本定理，把向量的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算.本節(jié)我們將學(xué)習(xí)運(yùn)用向量方法解決平面幾何、物理中的問(wèn)題，感受向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用.同時(shí)我們還將借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，把解直角三角形問(wèn)題拓展到解任意三角形問(wèn)題. 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此平面幾何中的許多問(wèn)題都可以用向量運(yùn)算的方法加以解決.下面通過(guò)兩個(gè)具體實(shí)例，說(shuō)明向量方法在平面幾何中的應(yīng)用.
平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長(zhǎng)度)和角度問(wèn)題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決某些幾何問(wèn)題.用向量方法解決幾何問(wèn)題時(shí)，通常先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素，然后通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系，最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，便得到幾何問(wèn)題的結(jié)論. 用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
下面，我們?cè)賮?lái)感受一下向量在物理中的應(yīng)用.例3.在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？
例3.在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？
方法技巧：平面幾何中利用向量證明的常見(jiàn)問(wèn)題及方法(1)常見(jiàn)的利用向量證明的問(wèn)題①利用共線向量定理證明線段平行或點(diǎn)共線；②利用向量的模證明線段相等；③利用向量的數(shù)量積為0證明線段垂直.(2)常用的兩個(gè)方法①基向量法：選取已知的不共線的兩個(gè)向量作為基向量，用基向量表示相關(guān)向量，用基向量表示相關(guān)向量，轉(zhuǎn)化為基向量之間的向量運(yùn)算進(jìn)行證明.②坐標(biāo)法：先建立直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明.
方法技巧：用向量方法解決物理問(wèn)題的四個(gè)步驟
1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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