本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第四節(jié)《平面向量的應(yīng)用》。以下是本節(jié)的課時安排：
本節(jié)課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過全等三角形，三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本節(jié)課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理思路，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。知識結(jié)構(gòu)上，學(xué)生會解直角三角形，知道銳角三角函數(shù)和勾股定理，這為用幾何法證明余弦定理奠定了基礎(chǔ)；學(xué)生知道三角形回路可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，向量的模與長度有關(guān)，向量的夾角與角度有關(guān)，這為向量法證明余弦定理奠定了基礎(chǔ)；學(xué)生還知道在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式和三角函數(shù)的定義，這為解析法證明余弦定理奠定了基礎(chǔ)。
1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
3.借助于向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，體會邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
1.重點(diǎn)：掌握余弦定理及其推論。
2.難點(diǎn)：掌握余弦定理的綜合應(yīng)用。
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
如圖，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°.
【問題1】 我們知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知兩條直角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的結(jié)論？
【提示】 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcs C.這個公式是余弦定理的形式之一.當(dāng)C＝90°時，則cs C＝0，將cs C＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.
【問題2】你能通過上面的問題1的結(jié)論計(jì)算求出山腳的長度BC嗎？
【提示】利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A可求出BC的長.
2.探索交流，解決問題
【探究1】已知一個三角形的兩條邊及其它們的夾角，這個三角形的大小、形狀能完全確定嗎？
【提示】根據(jù)三角形全等的判斷方法可知，這個三角形的大小、形狀是完全確定的．
【探究2】在△ABC中，如果已知邊a，b和角C，那么從向量的角度考慮，邊c的長度可視為什么？向量eq \(AB,\s\up6(→))如何用已知邊所對應(yīng)的向量表示？如何求出|eq \(AB,\s\up6(→))|？
【提示】邊c的長度可視為|eq \(AB,\s\up6(→))|；eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))；通過向量的數(shù)量積求|eq \(AB,\s\up6(→))|．
（二）余弦定理
1.余弦定理：
文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
符號語言：a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs__B，c2＝a2＋b2－2abcs__C.
【探究3】在△ABC中，已知三條邊，如何求出其三個內(nèi)角？
【提示】可將余弦定理中的三個公式變形為cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)。
推論：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
2.解三角形
一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
【做一做】1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcs C B.c2＝a2－b2－2bccs A
C.b2＝a2－c2－2bccs A D.cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
解析：注意余弦定理形式，特別是正負(fù)號問題.
答案：A
2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，則c＝________.
解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C
＝12＋12－2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝3，
∴c＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，則B＝________.
解析：由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq \f(\r(3),2).
又0°

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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