第6章 平面向量及其應(yīng)用 章末重難點(diǎn)歸納總結(jié) 考點(diǎn)一 平面向量的概念 【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題： ①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同； ②若，則； ③若，則四邊形ABCD是平行四邊形； ④若，，則； ⑤若，，； ⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段； ⑦任何一個(gè)非零向量都可以平行移動． 其中，假命題的個(gè)數(shù)是（????） A．2 B．3 C．4 D．5 【一隅三反】 1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是平行向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?③（為實(shí)數(shù)），則必為零； ④為實(shí)數(shù)，若，則與共線； ⑤向量的大小與方向有關(guān)． 其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（????） A． B． C． D． 2．（2023廣東深圳）（多選）給出下列命題正確的是（????） A．空間中所有的單位向量都相等 B．長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量 C．若滿足，且同向，則 D．對于任意向量，必有 3．（2022福建福州）（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（　　?。?A．若 ，則 或 B．若向量 是向量 的相反向量，則 C．在正方體 中， D．若空間向量 ， ， 滿足 ， ，則 考點(diǎn)二 平面向量的運(yùn)算 【例2-1】（2022甘肅甘南）已知的重心為O，則向量（????） A． B． C． D． 【例2-2】（2023·四川綿陽）如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對于非零向量與，下列不等式中恒成立的是（????） A．； B．； C．； D．． 2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）己知，，且與的夾角為，則________． 3．（2022·四川德陽）已知,是單位向量，且，若，那么當(dāng)時(shí)，______． 4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的個(gè)數(shù)為________． 考點(diǎn)三 平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 【例3-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列結(jié)論不正確的是（????） A． B． C． D． 【例3-2】（2023·安徽）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（????） A． B．若，則的值為 C．若，則的值為 D．若，則與的夾角為銳角 【例3-3】（廣東省佛山市2023屆）（多選）已知點(diǎn)、、、，則（????） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知，則（????） A． B． C． D． 2．（2022秋·廣西）（多選）下列命題正確的是（????） A．已知，則向量在方向上的投影向量的長度為4 B．若向量的夾角為鈍角，則 C．若向量滿足，則或 D．設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若，則可作為該平面的一個(gè)基底 3．（2023江蘇南京）（多選）已知向量，，則下列命題正確的是（????） A．若，則 B．若在上的投影向量為，則向量與夾角為 C．與共線的單位向量只有一個(gè)為 D．存在，使得 考點(diǎn)四 平面向量的基本定理 【例4-1】（2023·四川綿陽）如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（????） A．1 B．2 C． D． 【例4-2】（2022重慶南岸）如圖，在中，，，，M是邊上的中點(diǎn)，P是上一點(diǎn)，且滿足，則（????）． A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023河北石家莊）中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（????）. A． B． C． D． 2（2023·湖南永州）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（????） A． B． C． D． 3．（2023·鄭州）在中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，若，則（????） A． B． C． D． 4．（2022上海）在中，為直線上的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（????） A． B． C． D． 5．（2022秋·河南）如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 考點(diǎn)五 正余弦定理 【例5-1】（2022廣東深圳）（多選）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B． C． D．的面積為 【例5-2】（2022春·廣西百色·高一?？计谥校ǘ噙x）在中，角的對邊分別為.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（????） A．，有唯一解 B．，無解 C．，有兩解 D．，有唯一解 【一隅三反】 1．（2022秋·河北張家口）（多選）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（????） A． B． C． D． 2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是的內(nèi)角，分別是其對邊長，向量，，． (1)求角的大??； (2)若，，求的長． 3．（2022山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎娜齻€(gè)角所對的邊分別為，且． (1)求角的大??； (2)若，求的面積的最大值． 第6章 平面向量及其應(yīng)用 章末重難點(diǎn)歸納總結(jié) 考點(diǎn)一 平面向量的概念 【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題： ①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同； ②若，則； ③若，則四邊形ABCD是平行四邊形； ④若，，則； ⑤若，，； ⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段； ⑦任何一個(gè)非零向量都可以平行移動． 其中，假命題的個(gè)數(shù)是（????） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】對于①，兩個(gè)相等向量時(shí)，它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確； 對于②，若，方向不確定，則不一定相同，∴②錯(cuò)誤； 對于③，若，、不一定相等，∴四邊形不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤； 對于④，若，，則，④正確； 對于⑤，若，，，當(dāng)時(shí)，不一定成立，∴⑤錯(cuò)誤； 對于⑥，向量沒有固定的起點(diǎn)，所以向量不是有向線段，但向量可以用有向線段表示，∴⑥錯(cuò)誤； 對于⑦，任何一個(gè)非零向量都可以平行移動，∴⑦正確； 綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個(gè)， 故選：C. 【一隅三反】 1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是平行向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③（為實(shí)數(shù)），則必為零； ④為實(shí)數(shù)，若，則與共線； ⑤向量的大小與方向有關(guān)． 其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】對于①，兩個(gè)向量具有公共終點(diǎn)，但兩向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)可能不共線，則兩向量不是平行向量，①錯(cuò)誤； 對于②，向量有大小和方向兩個(gè)維度，無法比較大?。坏蛄磕ｉL僅有大小一個(gè)維度，可以比較大小，②正確； 對于③，當(dāng)時(shí)，可以為任意實(shí)數(shù)，③錯(cuò)誤； 對于④，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以不共線，④錯(cuò)誤； 對于⑤，向量的大小即向量的模長，與方向無關(guān)，⑤錯(cuò)誤. 故選：A. 2．（2023廣東深圳）（多選）給出下列命題正確的是（????） A．空間中所有的單位向量都相等 B．長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量 C．若滿足，且同向，則 D．對于任意向量，必有 【答案】BD 【解析】對于A：向量相等需要滿足兩個(gè)條件： 長度相等且方向相同，缺一不可，故A錯(cuò)； 對于B：根據(jù)相反向量的定義可知B正確； 對于C：向量是矢量不能比較大小，故C錯(cuò)； 對于D：根據(jù)三角形三邊關(guān)系知正確； 故選：BD. 3．（2022福建福州）（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（　　　） A．若 ，則 或 B．若向量 是向量 的相反向量，則 C．在正方體 中， D．若空間向量 ， ， 滿足 ， ，則 【答案】BCD 【解析】對于選項(xiàng)A：若，即向量與的模相等，但方向不確定，故A錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個(gè)向量，故B正確； 對于選項(xiàng)C：在正方體中，與大小相等，方向相同，故，所以C正確； 對于選項(xiàng)D：若 ，，則方向相同大小相等，故，若中有零向量結(jié)論也正確，所以D正確. 故選：BCD. 考點(diǎn)二 平面向量的運(yùn)算 【例2-1】（2022甘肅甘南）已知的重心為O，則向量（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)， 由于是三角形的重心， 所以. 故選：C. 【例2-2】（2023·四川綿陽）如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，，， 所以. 由已知是的中點(diǎn)，所以， ，. 所以， ， 所以，. 故選：B. 【一隅三反】 1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對于非零向量與，下列不等式中恒成立的是（????） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【解析】設(shè)非零向量與的夾角為，則，， 則 故選： 2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）己知，，且與的夾角為，則________． 【答案】 【解析】.故答案為：. 3．（2022·四川德陽）已知,是單位向量，且，若，那么當(dāng)時(shí)，______． 【答案】 【解析】因?yàn)?是單位向量，所以， 當(dāng)時(shí)，， 所以， 所以， 所以， 所以，解得. 故答案為：. 4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的個(gè)數(shù)為________． 【答案】 【解析】對于①，，①正確； 對于②，，，②正確； 對于③，，③錯(cuò)誤； 對于④，，④正確； 等式成立的個(gè)數(shù)為. 故答案為：. 考點(diǎn)三 平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 【例3-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列結(jié)論不正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】設(shè)， 因?yàn)橄蛄?，?則，解得，所以， 對于A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤； 對于B，因?yàn)?，故與不共線，故B錯(cuò)誤； 對于C，，所以， 所以，故C正確； 對于D，，，所以，故D錯(cuò)誤. 故選：ABD.. 【例3-2】（2023·安徽）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（????） A． B．若，則的值為 C．若，則的值為 D．若，則與的夾角為銳角 【答案】AC 【解析】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A說法正確； 因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)B說法不正確； 因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)C說法正確； 當(dāng)時(shí)，，所以，因此選項(xiàng)D說法不正確， 故選：AC 【例3-3】（廣東省佛山市2023屆）（多選）已知點(diǎn)、、、，則（????） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】對于A選項(xiàng)，，，則，故，A對； 對于B選項(xiàng)，，所以，，B對； 對于C選項(xiàng)，，所以，，C對； 對于D選項(xiàng)，，則，D錯(cuò). 故選：ABC. 【一隅三反】 1．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知，則（????） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 對于A，，，與不垂直，A不正確； 對于B，，有，B正確； 對于C，，有，C不正確； 對于D，，由選項(xiàng)C知，，D正確. 故選：BD 2．（2022秋·廣西）（多選）下列命題正確的是（????） A．已知，則向量在方向上的投影向量的長度為4 B．若向量的夾角為鈍角，則 C．若向量滿足，則或 D．設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若，則可作為該平面的一個(gè)基底 【答案】ABD 【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以向量在方向上的投影向量的長度為，A正確； 對于選項(xiàng)B，因?yàn)橄蛄康膴A角為鈍角，所以，所以 ，B正確； 對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，但且，C錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)D，假設(shè)共線，則，又，所以，因?yàn)椴还簿€，所以，方程組無解，故假設(shè)錯(cuò)誤，即不共線，所以可作為該平面的一個(gè)基底，D正確； 故選：ABD. 3．（2023江蘇南京）（多選）已知向量，，則下列命題正確的是（????） A．若，則 B．若在上的投影向量為，則向量與夾角為 C．與共線的單位向量只有一個(gè)為 D．存在，使得 【答案】BD 【解析】A選項(xiàng)，若，則， ，A選項(xiàng)錯(cuò)誤. B選項(xiàng)，在上的投影向量為， 所以， ， 由于，所以，B選項(xiàng)正確. C選項(xiàng)，與共線的單位向量可以是， 即和，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤. D選項(xiàng)，若，則， ， ，，其中， 所以，由于，，則當(dāng)時(shí)，， 所以存在，使得，D選項(xiàng)正確.故選：BD 考點(diǎn)四 平面向量的基本定理 【例4-1】（2023·四川綿陽）如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（????） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】在邊長為2的等邊中, BD為中線，則 故選：A 【例4-2】（2022重慶南岸）如圖，在中，，，，M是邊上的中點(diǎn)，P是上一點(diǎn)，且滿足，則（????）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)镻是上一點(diǎn)，故可設(shè)， 因?yàn)镸是邊上的中點(diǎn)，所以， 所以， ， 又，所以，故， 所以， 所以， 因?yàn)?，，，所以?所以， 故選：D. 【一隅三反】 1．（2023河北石家莊）中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（????）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以， 故，則， 故， 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在使得， 即，則， 所以，解得：. 故選：A 2（2023·湖南永州）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 依題意作上圖，則 ； 故選：D. 3．（2023·鄭州）在中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，若，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖，連接 則， ∴，，則. 故選：A. 4．（2022上海）在中，為直線上的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且， 所以 所以，且，，三點(diǎn)共線， 所以，則． 故選：A． 5．（2022秋·河南）如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，知，分別為，的中點(diǎn). 如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，易得， 所以， 所以. 因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以. 由，，三點(diǎn)共線知， 存在，滿足. 由，，三點(diǎn)共線知， 存在，滿足. 所以. 又因?yàn)椋瑸椴还簿€的非零向量， 所以，解得， 所以. 故選：. 考點(diǎn)五 正余弦定理 【例5-1】（2022廣東深圳）（多選）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B． C． D．的面積為 【答案】BC 【解析】由題設(shè)，則，即，故， 所以不為鈍角，否則、都為鈍角，則， 又，即， 整理得，故， ，且為三角形內(nèi)角，則， 綜上，的面積， 故A、D錯(cuò)誤，B、C正確. 故選：BC 【例5-2】（2022春·廣西百色·高一校考期中）（多選）在中，角的對邊分別為.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（????） A．，有唯一解 B．，無解 C．，有兩解 D．，有唯一解 【答案】AD 【解析】選項(xiàng)，已知三邊三角形確定，有唯一解，正確； 選項(xiàng)，由正弦定理得：，則，再由大邊對大角可得，故可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有兩解，B錯(cuò)誤； 選項(xiàng)C，由正弦定理得：，則，且，由大邊對大角可得，則只能為銳角，故三角形有唯一解，C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D，由正弦定理得：，，由于，則是銳角，有唯一解，D正確. 故選：AD. 【一隅三反】 1．（2022秋·河北張家口）（多選）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（????） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】對于A，因?yàn)?，所以，所以只有一解；故A錯(cuò)誤； 對于B，因?yàn)椋?所以由正弦定理得， 因?yàn)?，即，所以，所以有兩解（，或），故B正確； 對于C，因?yàn)椋?所以由正弦定理得，即， 因?yàn)?，所以有兩解（，或，），故C正確； 對于D，因?yàn)椋?所以由正弦定理得， 由于，故，所以只有一解，故D錯(cuò)誤； 故選：BC 2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是的內(nèi)角，分別是其對邊長，向量，，． (1)求角的大?。?(2)若，，求的長． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：，． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴， ∴． （2）解：在中，，，，又 ∴． 由正弦定理知：，∴， ∴． 3．（2022山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎娜齻€(gè)角所對的邊分別為，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面積的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由題意可得， 由正弦定理，得． 又， 則． ∵，∴． 又，∴． （2）∵，由余弦定理，得， 即 ∵，∴． ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立 ∴， 故的面積S的最大值為．

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