典例精講
考點(diǎn)一 線線平行
【例1-1】（2022廣西）若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．且方向相同B．，方向可能不同
C．OB與不平行D．OB與不一定平行
【例1-2】（2022云南）如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條B．4條
C．5條D．6條
【一隅三反】
1．（2022山東）如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào)).
2（2022黑龍江）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：,,,四點(diǎn)共面.
3．（2022甘肅）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．
考點(diǎn)二 等角性質(zhì)
【例2-1】（2022北京）已知，，，則（ ）
A．B．或
C．D．或
【例2-2】（2022廣東省連平縣）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）求證：．
【一隅三反】
1．（2022湖南）下列結(jié)論，其中正確的是________(填序號(hào)).
①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.
②如果兩個(gè)角的兩邊都平行于一個(gè)平面，那么這兩角相等或互補(bǔ).
③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.
2．（2022浙江）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn).求證：.

3．（2022江蘇）長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求證：.
考點(diǎn)三 線面平行
【例3-1】（2022四川）如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線與交于點(diǎn)O，底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)若三棱錐的體積為，求的長(zhǎng)．
【例3-2】（2022河北）如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分別為棱AD、、AB的中點(diǎn)．證明：直線平面．
【例3-3】（2022山東?。┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).
(1)證明：AF平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.
【一隅三反】
1．（2022吉林）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
2．（2022上海）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022山東省）如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長(zhǎng)均為13，M為PA上的點(diǎn)，且PM∶MA=5∶8.
(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).
4．（2022山東?。┤鐖D，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時(shí)，平面.
考點(diǎn)四 面面平行
【例4-1】（2022陜西?。┤鐖D，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，．求證：
(1)平面；
(2)平面平面．
【例4-2】．（2022海南）（多選）在正方體中，下列四組面中彼此平行的有（ ）
A．平面與平面B．平面與平面
C．平面與平面D．平面與平面
【一隅三反】
1．（2022北京）如圖，在長(zhǎng)方體中，寫出滿足條件的一個(gè)平面：
（1）與平面平行的平面為______；
（2）與平面平行的平面為______；
（3）與平面平行的平面為______．
2．（2022山東?。┤鐖D：在正方體中，為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.
3（2022山東?。┯伤睦庵厝ト忮F后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面；
(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．
考點(diǎn)五 判斷定理與性質(zhì)定理辨析
【例5-1】（2022廣東）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．
C．直線，且D．內(nèi)任何直線都與平行
【例5-2】（2022山東?。┮阎獮槿龡l不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)說法：
①，則；
②，則；
③，則；
④，則.
其中正確的是（ ）
A．①④B．①②C．②④D．③④
【一隅三反】
1．（2022陜西?。┫铝袟l件中能推出平面平面的是（ ）
A．存在一條直線，，
B．存在一條直線， ，
C．存在兩條平行直線，，，，，
D．存在兩條異面直線，，，，，
2．（2022湖北?。┮阎猘，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題（ ）
①，；②，；③，；④，；
⑤，，．
A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤
3．（2022天津）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面．給出下列四個(gè)命題：
①； ②
③； ④．
其中真命題是．
A．①②③B．①③C．①④D．①③④
考點(diǎn)六 距離相關(guān)問題
【例6】（2022山西）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023安徽）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是平面的中心，點(diǎn)是平面的對(duì)角線上一點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
2（2022甘肅）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若平面AMN，則PA1的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
3（2023黑龍江）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（ ）
A．B．C．D．
8.5 空間直線、平面的平行（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 線線平行
【例1-1】（2022廣西）若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．且方向相同B．，方向可能不同
C．OB與不平行D．OB與不一定平行
【答案】D
【解析】如圖，
；
當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1時(shí)，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，
OB與O1B1是不一定平行． 故選：D．
【例1-2】（2022云南）如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條B．4條
C．5條D．6條
【答案】B
【解析】由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，
因?yàn)榕c棱B1C1平行的棱還有3條：AD, BC，A1D1，所以共有4條.故選：B.
【一隅三反】
1．（2022山東）如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào)).
【答案】①②
【解析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得①②中RS與PQ均是平行直線，④中RS和PQ是相交直線，③中RS和PQ是是異面直線.故答案為：①②.
2（2022黑龍江）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：,,,四點(diǎn)共面.
【答案】證明見解析
【解析】證明：∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是A1B1C1的中位線，∴GHB1C1，
又∵B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.
3．（2022甘肅）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．
【答案】證明見解析
【解析】由于分別是長(zhǎng)方體的中點(diǎn)，
設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知且，
所以四邊形是平行四邊形.
考點(diǎn)二 等角性質(zhì)
【例2-1】（2022北京）已知，，，則（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】的兩邊與的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知或.
故選：B.
【例2-2】（2022廣東省連平縣）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）求證：．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】(1)∵為正方體．∴，且，
又，分別為棱，的中點(diǎn)，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，∴且．
又且，∴且，
∴四邊形為平行四邊形．
(2)法一：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．
同理可得四邊形為平行四邊形，∴．∵和方向相同，
∴．
法二：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．
同理可得四邊形為平行四邊形，∴．
又∵，∴，∴．
【一隅三反】
1．（2022湖南）下列結(jié)論，其中正確的是________(填序號(hào)).
①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.
②如果兩個(gè)角的兩邊都平行于一個(gè)平面，那么這兩角相等或互補(bǔ).
③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.
【答案】④
【解析】根據(jù)等角定理可知：
對(duì)于①：這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②、③：無法判定這兩個(gè)角的兩邊分別平行，所以無法確定這兩角的大小關(guān)系，②、③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：根據(jù)平行線的傳遞性，④正確；
故答案為：④．
2．（2022浙江）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn).求證：.

【答案】證明見解析
【解析】證明：因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，
又與方向相同，所以.
3．（2022江蘇）長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求證：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.
在矩形中，易得，
因?yàn)?，，所以?br>所以四邊形為平行四邊形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.
（2）因?yàn)?，，又與的對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以.
考點(diǎn)三 線面平行
【例3-1】（2022四川）如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線與交于點(diǎn)O，底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)若三棱錐的體積為，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）證明：連接．
∵點(diǎn)O，E分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，∴∥平面；
（2）取中點(diǎn)F，連接．
∵E為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，且．由菱形的性質(zhì)知，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．
又平面，∴平面，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，∴．
【例3-2】（2022河北）如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分別為棱AD、、AB的中點(diǎn)．證明：直線平面．
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，所以平面?br>因此，平面即為平面．
連接，，因?yàn)椋?br>所以四邊形為平行四邊形，
因此，又，所以，
而平面，平面，
故平面．
【例3-3】（2022山東?。┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).
(1)證明：AF平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，證明見解析
【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，.
為的中點(diǎn)，，
即四邊形為平行四邊形，.
平面平面平面.
（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則在中，
分別是的中點(diǎn)，
平面平面，
平面.
與相似，且相似比為，
為的三等分點(diǎn).
在點(diǎn)位置時(shí)滿足平面.
即點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時(shí)符合題意.
【一隅三反】
1．（2022吉林）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】C
【解析】如圖所示，連接和相交于點(diǎn)O，則O為，的中點(diǎn).
對(duì)于A，連接，則,因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，故A正確；
對(duì)于B，易知,因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?所以與平面相交，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，易知,因?yàn)槠矫?平面，
所以平面，故D正確.
故選:C.
2．（2022上海）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，連接CD，
因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以AB平面MNQ，
B選項(xiàng)不滿足題意；
對(duì)于選項(xiàng)C，如圖2，連接CD，
因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，
C選項(xiàng)不滿足題意；
對(duì)于選項(xiàng)D，如圖3，連接CD，
因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDNQ，
由于ABCD，所以ABNQ，
因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，
可知D不滿足題意；
如圖4，取BC的中點(diǎn)D，連接QD，
因?yàn)镼是AC的中點(diǎn)，
所以QDAB，
由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，
A正確.
故選：A
3.（2022山東?。┤鐖D所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長(zhǎng)均為13，M為PA上的點(diǎn)，且PM∶MA=5∶8.
(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).
【答案】(1)存在，(2)7
【解析】（1）存在，；理由如下：
連接并延長(zhǎng)，交于，連接.
因?yàn)檎叫沃?，，所?
又因?yàn)?，所以?br>平面，平面，所以平面.
（2）由（1）得，所以；
中，
，
所以；
因?yàn)?，所?br>所以.
4．（2022山東?。┤鐖D，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時(shí)，平面.
【答案】答案表述不唯一)
【解析】連接交于O，連接OE，
平面平面，平面平面 ，
.
又 底面為平行四邊形，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，
故為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn)，
故當(dāng)滿足條件: 時(shí)，面.
故答案為: 答案表述不唯一)
考點(diǎn)四 面面平行
【例4-1】（2022陜西?。┤鐖D，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，．求證：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】（1）在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，
，
平面平面，
平面．
（2）平面，平面，
平面．
分別為的中點(diǎn)，，
，且．
四邊形是平行四邊形．
．
又平面平面，
平面．
又平面，
平面平面．
【例4-2】．（2022海南）（多選）在正方體中，下列四組面中彼此平行的有（ ）
A．平面與平面B．平面與平面
C．平面與平面D．平面與平面
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，
，平面，平面，則平面，
同理可證，平面，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面平面，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，
，平面，平面，則平面，
同理可證，平面，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面平面，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，
，平面，平面，則平面，
同理可證，平面，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面平面，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，
設(shè)，則平面且平面，
設(shè)，則平面且平面，
所以平面平面，故兩個(gè)平面相交，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【一隅三反】
1．（2022北京）如圖，在長(zhǎng)方體中，寫出滿足條件的一個(gè)平面：
（1）與平面平行的平面為______；
（2）與平面平行的平面為______；
（3）與平面平行的平面為______．
【答案】（1）平面 （2）平面 （3）平面
【解析】因?yàn)闉殚L(zhǎng)方體，所以平面∥平面，平面∥平面，同時(shí)∥，∥，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥面，∥平面，因?yàn)?，所以平面∥平?
故答案為：①平面；②平面；③平面.
2．（2022山東?。┤鐖D：在正方體中，為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】（1）證明：設(shè)，接，
在正方體中，四邊形是正方形，是中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，，
平面平面
平面；
（2）證明：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，
四邊形為平行四邊形，，
又平面平面平面，
由（1）知平面平面平面，
平面平面.
3（2022山東?。┯伤睦庵厝ト忮F后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面；
(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，
∵是四棱柱，∴，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
又平面平面，∴平面．
（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵平面平面，∴平面，
由（1）得平面且，平面，
∴平面平面．
（3）由（2）得：平面，
又平面，平面平面，∴．
考點(diǎn)五 判斷定理與性質(zhì)定理辨析
【例5-1】（2022廣東）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．
C．直線，且D．內(nèi)任何直線都與平行
【答案】D
【解析】對(duì)于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若直線，且，則與相交或平行，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若內(nèi)任何直線都與平行，則與平行，故D正確.
故選：D.
【例5-2】（2022山東?。┮阎獮槿龡l不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)說法：
①，則；
②，則；
③，則；
④，則.
其中正確的是（ ）
A．①④B．①②C．②④D．③④
【答案】C
【解析】對(duì)①，，則，可以平行、相交或異面，故①不正確；
對(duì)②，根據(jù)平行線的傳遞性，可知②正確；
對(duì)③，，則或，故③不正確；
對(duì)④，根據(jù)線面平行的判定定理，可知④正確．
故選：C
【一隅三反】
1．（2022陜西?。┫铝袟l件中能推出平面平面的是（ ）
A．存在一條直線，，
B．存在一條直線， ，
C．存在兩條平行直線，，，，，
D．存在兩條異面直線，，，，，
【答案】D
【解析】A.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；
B.如圖所示： ，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；
C. 如圖所示：，存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；
D.如圖所示：，在平面內(nèi)過b上一點(diǎn)作，則，又，且，所以，故正確；
故選：D
2．（2022湖北?。┮阎猘，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤
【答案】A
【解析】①，，由平行公理4得，正確；
②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯(cuò)誤；
③，則或，故錯(cuò)誤；
④，；則或，故錯(cuò)誤；
⑤，，，由線面平行的判定定理可得．
故選：A.
3．（2022天津）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面．給出下列四個(gè)命題：
①； ②
③； ④．
其中真命題是．
A．①②③B．①③C．①④D．①③④
【答案】C
【解析】,所以①正確；
位置關(guān)系不定，所以②錯(cuò)誤；
位置關(guān)系不定，所以③錯(cuò)誤；
，所以④正確選C.
考點(diǎn)六 距離相關(guān)問題
【例6】（2022山西）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如圖，分別作的中點(diǎn),連接
顯然,
且平面，；平面,
所以平面平面
平面平面
所以動(dòng)點(diǎn)在正方形的軌跡為線段
在三角形中，，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為等腰三角形在邊上的高為故選：B
【一隅三反】
1．（2023安徽）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是平面的中心，點(diǎn)是平面的對(duì)角線上一點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】連接，，則過點(diǎn).如圖所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故選：B.
2（2022甘肅）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若平面AMN，則PA1的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】
如圖所示，取的中點(diǎn),的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e是棱 的中點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)?,，
所以平面平面，平面，且點(diǎn)在右側(cè)面，
所以點(diǎn)的軌跡是，且，，
所以當(dāng)點(diǎn)位于中點(diǎn)處時(shí)，最小，
此時(shí)，.
故選：C
3（2023黑龍江）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，
作圖如下：
在正方體中，易知，，，
則共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
當(dāng)平面時(shí)，平面，
正方體的棱長(zhǎng)為，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
則中邊上的高，
即，
故選：D.

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8.5 空間直線、平面的平行

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