本小節(jié)內容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應用》的第四節(jié)《平面向量的應用》。以下是本節(jié)的課時安排：
前面學生學習了平面向量的運算，初中就已經有了平面幾何的知識，本節(jié)課是探討平面幾何中的向量方法，讓學生學會用向量的方法去解決幾何問題。
1.會用向量方法解決簡單的幾何問題,培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；
2.體會向量在解決幾何問題中的作用，提升數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。
1.重點：用向量方法解決幾何問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”。
2.難點：能夠將幾何問題轉化為平面向量問題。
（一）新知導入
1. 創(chuàng)設情境，生成問題
向量理論的發(fā)展有著深刻的幾何背景.這一源泉最早可追溯到萊布尼茲的位置幾何的概念.萊布尼茲認為代數(shù)僅僅能表達未定的數(shù)或量值，不能直接表達位置、角度和運動，利用代數(shù)運算來分析一個圖形的特點、尋找方便的幾何證明和構造有時是很困難的.鑒于此，他提出了一個“新代數(shù)”，其中幾何實體可以用符號來表示，并且這些符號可以直接進行運算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多點和線.這就是向量.
2.探索交流，解決問題
【問題1】要判斷AB⊥CD,從向量的角度如何證明?
[提示]證明 ,即=0即可.
【問題2】怎樣用向量的方法證明AB∥CD?
[提示]要證明AB∥CD,證明 即可,同時注意AB,CD是否共線.
【問題3】如何利用向量方法求直線AB與CD所成角?
[提示]根據(jù)數(shù)量積公式先求出 與所成角,若是銳角或直角即為直線AB,CD所成角,若是鈍角,其補角即為直線AB,CD所成角.
【問題4】如何利用向量的方法求線段的長度?
【提示】根據(jù)向量的有關運算,求出對應向量的模,即為線段的長度.
（二）平面向量在幾何中的應用
1.用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：
①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；
③把運算結果“翻譯”成幾何關系．
2.用向量方法解決平面幾何問題的兩個基本方法：
①幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算．
②坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行、夾角等問題轉化為代數(shù)運算．
【做一做】1．已知A(－1，－eq \f(7,3))，B(1，eq \f(1,3))，C(－eq \f(1,2)，2)，D(－eq \f(7,2)，－2)，則直線AB與直線CD( )
A．垂直 B．平行 C．相交D．重合
2.已知A，B，C，D四點的坐標分別是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，則四邊形ABCD為( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形D．正方形
答案：（1）B （2）A
（三）典型例題
1.利用平面向量證明垂直問題
【例1】 如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
求證：AF⊥DE.
證明：法一：設eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0.
又eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
法二：如圖所示，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，
則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，
則eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(1，－2).
因為eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.
所以eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
【類題通法】利用向量解決垂直問題的方法和途徑
方法：對于線段的垂直問題，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件，即向量的數(shù)量積為0.
途徑：可以考慮向量關系式的形式，也可以考慮坐標的形式.
【鞏固練習1】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，
求證：AC⊥BC.
證明：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，
故可設eq \(AD,\s\up6(→))＝e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝e2，|e1|＝|e2|，則eq \(AB,\s\up6(→))＝2e2，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝e1＋e2，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2，而eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即AC⊥BC.
2.利用平面向量求幾何中的長度、角度問題
【例2】（1） 如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長.
(2)已知矩形ABCD，AB＝eq \r(3)，AD＝1，E為DC上靠近D的三等分點，求∠EAC的大?。?br>解：（1） 設eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，則eq \(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
（2）如圖，建立平面直角坐標系．則A(0,0)，C(eq \r(3)，1)，E(eq \f(\r(3),3)，1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \f(\r(3),3)，1)，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝2.
cs∠EAC＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AE,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AE,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,2×\f(2\r(3),3))＝eq \f(\r(3),2).
∵0

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6.4 平面向量的應用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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