高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第10講平面向量的應(yīng)用(原卷版+解析)

這是一份高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第10講平面向量的應(yīng)用(原卷版+解析)，共61頁(yè)。試卷主要包含了用向量法解決平面幾何問(wèn)題，向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。
知識(shí)點(diǎn)1 向量在平面幾何中的應(yīng)用
1．用向量法解決平面幾何問(wèn)題
用向量法解決平面幾何問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)方向：
（1）幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕祝ūM量用已知?；驃A角的向量作為基底），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；
（2）坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法．
2．向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用
3．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)2 向量在物理中的應(yīng)用
向量方法解決物理問(wèn)題的步驟
用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)分為四個(gè)步驟：
(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.
(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.
(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.
(4)回答問(wèn)題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題.
考點(diǎn)一 向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用
解題方略：
用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路
(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：
①選取基底；
②用基底表示相關(guān)向量；
③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；
④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．
(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：
①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；
②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；
③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；
④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題．
（一）用向量證明線段垂直問(wèn)題
【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.
（二）用向量證明線段平行問(wèn)題
【例2】如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．
（三）用向量解決夾角問(wèn)題
【例3】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值．
變式1：直徑所對(duì)的圓周角為直角.
（四）用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題
【例4】試用向量方法證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于其各邊平方的和．
考點(diǎn)二 平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題
解題方略：
利用向量法解決長(zhǎng)度問(wèn)題的策略
向量法求平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，即向量長(zhǎng)度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
變式1：若平行四邊形兩鄰邊的長(zhǎng)分別是4和4，它們的夾角是45°，則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的那條對(duì)角線的長(zhǎng)是________．
變式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.
(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，求AF的長(zhǎng)度(用m，n表示)．
變式3：已知，，，，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)三 判斷三角形的形狀
【例6】在中，若，則的形狀一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．銳角三角形D．鈍角三角形
變式1：在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
變式2：四邊形中，，，則這個(gè)四邊形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
考點(diǎn)四 平面幾何中的最值問(wèn)題
【例7】在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若，，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
變式1：在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
變式2：已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．5D．4
變式3：半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【例8】已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式1：已知平面向量、滿足，且與的夾角為，若，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
考點(diǎn)五 向量在物理中的應(yīng)用
解題方略：
用向量方法解決物理問(wèn)題的“三步曲”

【例9】在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h. 渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？
變式1：長(zhǎng)江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【例10】物體受到一個(gè)水平向右的力及與它成60°角的另一個(gè)力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（ ）
A．3NB．C．2ND．
變式1：如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個(gè)重為的物體，則邊上點(diǎn)處的受力情況是___________.
【例11】已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0)，求F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．(力的單位：牛頓，位移單位：米)
考點(diǎn)六 奔馳定理與三角形的四心
解題方略：
奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別記作則.
（一）三角形的四心
【例12】已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
變式1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \(AP,\s\up6(→))，λ∈R，則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
變式2：在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（ ）
A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心
變式3：非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形
變式4：已知非零向量與滿足且，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形
變式5：中，點(diǎn)滿足，則一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形
（二）奔馳定理的應(yīng)用
【例13】點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
變式1：點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
變式2：已知O為正內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為3，則的值為（ ）
A．B．C．2D．3
變式3：【多選】已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B. 直線必過(guò)邊中點(diǎn)
C. D. 若，且，則
變式4：設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若則（ ）
A． B． C． D．
變式5：設(shè)H是△ABC的垂心，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
練習(xí)一 向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用
1、用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，BD是其對(duì)角線．求證：AC⊥BD．
2、如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.
3、已知向量OA，OB，OC滿足條件，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求證：△是正三角形．
4、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，AB?BC=0，證明：四邊形ABCD是矩形．
5、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，AC?BD=0，求證：四邊形ABCD是菱形．
6、用向量的方法證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于一組鄰邊平方和的兩倍．
7、用向量的方法證明：在中，BC2=AB2+AC2?2AB?ACcsA．
8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：EF=BC?AD2.
練習(xí)二 平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題
1、在平行四邊形中，點(diǎn)，滿足，，且，設(shè)，則（ ）
A．B．C．2D．
2、已知中，，點(diǎn)P滿足,則的最小值為_(kāi)______．
3、如圖，，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，，，，，則線段的長(zhǎng)是___________.
練習(xí)三 判斷三角形的形狀
1、已知在四邊形ABCD中，AB=DC，且||=||，tan D=，判斷四邊形ABCD的形狀.
2、P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形
3、在中，，非零向量與滿足AB·AC|AB|·|AC|=12，可判斷的形狀為_(kāi)__________.
練習(xí)四 平面幾何中的最值問(wèn)題
1、騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動(dòng)?能有效地鍛煉大腦?心臟等人體器官機(jī)能，它帶給人們的不僅是簡(jiǎn)單的身體上的運(yùn)動(dòng)鍛煉，更是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過(guò)程中，的最小值為（ ）
A．B．12C．D．24
2、如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
3、已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則PA?PB+PC的取值范圍是___________.
練習(xí)五 向量在物理中的應(yīng)用
1、已知一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W=______J．
2、如圖所示，一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東的方向移動(dòng)了8m，其中F1=2N，方向?yàn)楸逼珫|30° ；F2=4N，方向?yàn)楸逼珫|；F3=6N，方向?yàn)楸逼?0°，求合力F所做的功.
3、某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為2a時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)速的大小和方向.
4、某人在靜水中游泳時(shí)速度為4km/h，水的流向是由西向東，水流速度為2km/h，此人必須沿與水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).
5、一個(gè)物體在大小為10 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50 m，且力F所做的功J，則F與s的夾角等于_____.
練習(xí)六 奔馳定理與三角形的四心
1、點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．
2、在中，，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．三邊均不相等的三角形D．等腰非等邊三角形
3、已知點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)2PA+3PB+5PC=0，若F為AC中點(diǎn)，G為BC中點(diǎn)，|PF||PG|=___________．△APB, △APC, △BPC的面積之比為_(kāi)____________．
4、已知O為△內(nèi)部一點(diǎn)，且OA+OB+2OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1，則△的面積為_(kāi)_________
已知．
證明線段平行、點(diǎn)共線問(wèn)題及相似問(wèn)題
常用向量共線的條件：
．
證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等
常用向量垂直的條件：
（其中為非零向量）．
求夾角問(wèn)題，若向量與的夾角為
利用夾角公式：
（其中為非零向量）．
求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等
可以用向量的模：
，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如載體是長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決綜合問(wèn)題．
奔馳定理在三角形四心中的具體形式
是的重心
是的內(nèi)心
是的外心
是的垂心
備注：奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用．
第10講 平面向量的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)1 向量在平面幾何中的應(yīng)用
1．用向量法解決平面幾何問(wèn)題
用向量法解決平面幾何問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)方向：
（1）幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕祝ūM量用已知?；驃A角的向量作為基底），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；
（2）坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法．
2．向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用
3．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)2 向量在物理中的應(yīng)用
向量方法解決物理問(wèn)題的步驟
用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)分為四個(gè)步驟：
(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.
(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.
(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.
(4)回答問(wèn)題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題.
考點(diǎn)一 向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用
解題方略：
用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路
(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：
①選取基底；
②用基底表示相關(guān)向量；
③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；
④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．
(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：
①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；
②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；
③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；
④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題．
（一）用向量證明線段垂直問(wèn)題
【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.
【證明】法一：設(shè)eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，
則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))＝－a＋eq \f(1,2)b，
eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BF,\s\up7(―→))＝b＋eq \f(1,2)a，
所以eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,2)b))
＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(1,2)b2＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up7(―→))⊥eq \(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.
法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up7(―→))＝(1，－2)．
因?yàn)閑q \(AF,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以eq \(AF,\s\up7(―→))⊥eq \(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.
（二）用向量證明線段平行問(wèn)題
【例2】如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．
證明：由題意，，，∴．
設(shè)，則．
同理．
于是．
∴，∴．
（三）用向量解決夾角問(wèn)題
【例3】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值．
【解析】如圖所示，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)A(2a,0)，B(0,2a)，則D(a,0)，C(0，a)，從而可求eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－2a，a)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(a，－2a)．不妨設(shè)eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))的夾角為θ，則cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up7(―→))·\(BD,\s\up7(―→)),|\(AC,\s\up7(―→))||\(BD,\s\up7(―→))|)＝eq \f(?－2a，a?·?a，－2a?,\r(5)a·\r(5)a)＝eq \f(－4a2,5a2)＝－eq \f(4,5).
故所求鈍角的余弦值為－eq \f(4,5).
變式1：直徑所對(duì)的圓周角為直角.
證明：如圖，設(shè)圓心為，圓半徑為，是圓的一條直徑，點(diǎn)是圓上不同于，的一點(diǎn)，則是直徑所對(duì)的圓周角.
由，，其中，
得.
則，即為直角.
所以直徑所對(duì)的圓周角為直角.
（四）用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題
【例4】試用向量方法證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于其各邊平方的和．
【證明】如圖所示，在?OACB中，設(shè)eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，
則eq \(OC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up7(―→))＝a－b.
由于eq \(OC,\s\up7(―→))2＝eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
eq \(BA,\s\up7(―→))2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，
所以O(shè)C2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.
由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，
所以O(shè)C2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.
考點(diǎn)二 平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題
解題方略：
利用向量法解決長(zhǎng)度問(wèn)題的策略
向量法求平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，即向量長(zhǎng)度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
【解析】設(shè)eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，則eq \(BD,\s\up7(―→))＝a－b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又|eq \(AC,\s\up7(―→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
變式1：若平行四邊形兩鄰邊的長(zhǎng)分別是4和4，它們的夾角是45°，則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的那條對(duì)角線的長(zhǎng)是________．
【解析】如圖所示：設(shè)平行四邊形中，，，，則為平行四邊形中較長(zhǎng)的對(duì)角線，由于，且，，
．
∴
，故答案為.
變式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.
(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，求AF的長(zhǎng)度(用m，n表示)．
【解析】(1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D為AB的中點(diǎn)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2)))，
∴|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2) eq \r(n2＋m2)，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(m2＋n2)，
∴|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2) |eq \(AB,\s\up7(―→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB.
(2)∵E為CD的中點(diǎn)，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4)))，
設(shè)F(x,0)，則eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(x，－m)．
∵A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴eq \(AF,\s\up7(―→))＝λeq \(AE,\s\up7(―→)).
即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))
故λ＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(n,3)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0))，
∴|eq \(AF,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2)，即AF＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2).
變式3：已知，，，，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由題設(shè)，四邊形為矩形，構(gòu)建以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如下圖，
若，則，設(shè)，
∴，且，
又，
∴，即.
故選：B
考點(diǎn)三 判斷三角形的形狀
【例6】在中，若，則的形狀一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．銳角三角形D．鈍角三角形
【解析】因?yàn)?，所以為鈍角，所以一定是鈍角三角形.
故選；D
變式1：在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【解析】，，
則，
，，則△ABC為直角三角形.
故選：B.
變式2：四邊形中，，，則這個(gè)四邊形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
【解析】由題意，
即，且
故四邊形為平行四邊形
又
故
即四邊形為菱形
故選：A
考點(diǎn)四 平面幾何中的最值問(wèn)題
【例7】在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若，，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)橹苯翘菪沃?，，，，，?br>所以，則
，，，，，
所以，，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以，則，，
因?yàn)?，所以，得，則，
設(shè)，則，
，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故選：D
變式1：在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】如圖，以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系．
作，，垂足分別為，，
在中，因?yàn)?，所以，?br>在中，因?yàn)椋?，所以，?br>則，．設(shè)，，
則，，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，且.
故選：C
變式2：已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．5D．4
【解析】如圖，延長(zhǎng)到D，使得．
因?yàn)?，所以點(diǎn)P在直線上．
取線段的中點(diǎn)O，連接，
則．
顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，
因?yàn)?，則，所以，
所以的最小值為．
故選：C.
變式3：半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解析】如圖所示，
設(shè)與交于點(diǎn)，
由，
得四邊形是菱形，且，則，，
由圖知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，
所以，
即的取值范圍為，
故選：A.
【例8】已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解析】設(shè)，如圖所示：
則，
因?yàn)榕c的夾角為120°，
所以，
因?yàn)?，且的起點(diǎn)相同，
所以其終點(diǎn)共線，即在直線AB上，
所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，無(wú)最大值，
所以的取值范圍為，
故選；A
變式1：已知平面向量、滿足，且與的夾角為，若，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【解析】如圖所示，設(shè)，，則，可令，
則，點(diǎn)在上，
因?yàn)榕c的夾角為，則，
當(dāng)時(shí)，線段最短，此時(shí)取最小值，即.
故選：C.
考點(diǎn)五 向量在物理中的應(yīng)用
解題方略：
用向量方法解決物理問(wèn)題的“三步曲”

【例9】在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h. 渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？
【解析】如圖，設(shè)eq \(AB,\s\up7(―→))表示水流的速度，eq \(AD,\s\up7(―→))表示渡船的速度，eq \(AC,\s\up7(―→))表示渡船實(shí)際垂直過(guò)江的速度．
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq \(DC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝12.5，|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)為北偏西30°.
變式1：長(zhǎng)江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，
要使得游船正好到達(dá)處，則，即，
又因?yàn)椋裕?br>故選：D.
【例10】物體受到一個(gè)水平向右的力及與它成60°角的另一個(gè)力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（ ）
A．3NB．C．2ND．
【解析】由題得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都為2.
故選：C
變式1：如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個(gè)重為的物體，則邊上點(diǎn)處的受力情況是___________.
【解析】如圖，在點(diǎn)處進(jìn)行受力分析，由已知條件有，
根據(jù)平衡條件有，，
則，方向水平向右.
則邊上點(diǎn)處的受力情況是大小為，方向與相同.
故答案為：大小為，方向與相同.
【例11】已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0)，求F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．(力的單位：牛頓，位移單位：米)
【解析】設(shè)物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為W＝F·s.
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
考點(diǎn)六 奔馳定理與三角形的四心
解題方略：
奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別記作則.
（一）三角形的四心
【例12】已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
【解析】由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，可得eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(PB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→))，同理可證eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.
變式1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \(AP,\s\up6(→))，λ∈R，則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＝eq \(OM,\s\up6(→))，則有eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋λeq \(AP,\s\up6(→))，即eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(AP,\s\up6(→)).
∴P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心.
變式2：在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（ ）
A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心
【解析】設(shè)的中點(diǎn)是，
，
即，所以，
所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的外心，
故選：C.
變式3：非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形
【解析】，，分別為單位向量，
的角平分線與垂直，，
，，
，
為等邊三角形．
故選：D．
變式4：已知非零向量與滿足且，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形
【解析】中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等邊三角形.
故選：D.
變式5：中，點(diǎn)滿足，則一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形
【解析】，設(shè)是中點(diǎn)，則，
，故點(diǎn)在三角形的中線所在直線上.
，，即，即.
即，故三角形的邊上的中線與高線重合，
所以，三角形是等腰三角形，其中.
故選：B.
（二）奔馳定理的應(yīng)用
【例13】點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
【解析】根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
變式1：點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
【解析】根據(jù)奔馳定理，得3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，故選A.
變式2：已知O為正內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為3，則的值為（ ）
A．B．C．2D．3
【解析】由奔馳定理得，解之得，選C．
變式3：【多選】已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B. 直線必過(guò)邊中點(diǎn)
C. D. 若，且，則
【解析】對(duì)于A，插入點(diǎn)A，，所以；
對(duì)于B，若直線過(guò)邊的中點(diǎn)，則，由上知，不成立；
對(duì)于C，由奔馳定理知；
對(duì)于D，由得，兩邊平方得
.
故選ACD
變式4：設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若則（ ）
A． B． C． D．
【解析】O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，BC＝a
則，所以，
所以，所以.
又，所以，，所以.
變式5：設(shè)H是△ABC的垂心，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解析】因?yàn)?，由三角形垂心的向量定理?br>設(shè)，，
由代入得，解之得
所以，又因?yàn)椋?
故選D
練習(xí)一 向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用
1、用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，BD是其對(duì)角線．求證：AC⊥BD．
【解析】證明：設(shè)AB=a， AD=b．
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詀＝b，
又AC=AB+AD=a+b,BD=AD?AB=b?a
則AC→?BD→=a→+b→·b→?a→=b→2?a→2=b→2?a→2=0，故AC⊥BD．
所以AC⊥BD.
2、如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.
【解析】證明：AD?CE=AC+CD?CA+AE=AC+12CB?CA+23AB
=AC+12CB?CA+23CB?23CA=AC+12CB?13CA+23CB=?13CA2+13CB2
因?yàn)镃A=CB，所以?13CA2+13CB2=0，即AD?CE=0，故AD⊥CE.
3、已知向量OA，OB，OC滿足條件，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求證：△是正三角形．
【解析】證明：由題設(shè)，OA+OB=?OC，則OA2+2OA?OB+OB2=OC2，又|OA|=|OB|=|OC|=1，
∴2cs=?1，即cs=?12，而∈[0,π]，
∴=2π3，同理可得==2π3，
又△AOB、△、△BOC都是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=π6，即∠ABC=∠BAC=∠ACB=π3.
∴△是正三角形．
4、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，AB?BC=0，證明：四邊形ABCD是矩形．
【解析】由AB=?CD，即且AB=CD，故ABCD為平行四邊形，
由AB?BC=0，即，而AB,BC是ABCD的一對(duì)鄰邊，
∴四邊形ABCD是矩形，得證.
5、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，AC?BD=0，求證：四邊形ABCD是菱形．
【解析】證明:由AB=?CD，即且AB=CD，故ABCD為平行四邊形，
由AC?BD=0，即，而AC,BD是ABCD的對(duì)角線，
∴四邊形ABCD是菱形，得證.
6、用向量的方法證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于一組鄰邊平方和的兩倍．
【解析】如下圖，BD=BC+CD，AC=AD+DC，
∴BD2=(BC+CD)2=BC2+2BC?CD+CD2，
AC2=(AD+DC)2=AD2+2AD?DC+DC2，
∴BD2+AC2=BC2+2BC?CD+CD2+AD2+2AD?DC+DC2，
又BC?CD=|BC||CD|cs，AD?DC=|AD||DC|cs，且+=π，BC=AD，
∴BC?CD=?AD?DC，故BD2+AC2=2(BC2+CD2)，得證.
7、用向量的方法證明：在中，BC2=AB2+AC2?2AB?ACcsA．
【解析】證明:∵＝BA＋AC，
∴()2＝(BA＋AC)2＝(BA)2＋(AC)2＋2BA·AC，即||2＝|BA|2＋|AC|2＋2|BA||AC|cs(180°－A)，
∴BC2=AB2+AC2?2AB?ACcsA.
8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：EF=BC?AD2.
【解析】證明：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
所以EB=12DB，CF=12CA.
所以EF=EB+BC+CF=12DB+BC+12CA.
因?yàn)锽C+CA+AD+DB=0，
所以 DB+CA=DA+CB，
所以EF=12(CB+DA)+BC=BC?AD2.
因?yàn)锽C>AD，AD//BC，且AD與同向，
所以|EF|=BC?AD2=|BC|?|AD|2，
即EF=BC?AD2.
練習(xí)二 平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題
1、在平行四邊形中，點(diǎn)，滿足，，且，設(shè)，則（ ）
A．B．C．2D．
【解析】由得是的中點(diǎn)，
又由得，所以.
故選：B.
2、已知中，，點(diǎn)P滿足,則的最小值為_(kāi)______．
【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，則，
由,得．
所以點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為的圓，．
由圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為．
故答案為：．
3、如圖，，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，，，，，則線段的長(zhǎng)是___________.
【解析】依題意，，，因，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，
則，
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG//CD交BC于點(diǎn)G，則，而，則有，
于是得，則
.
所以的長(zhǎng)為.
故答案為：.
練習(xí)三 判斷三角形的形狀
1、已知在四邊形ABCD中，AB=DC，且||=||，tan D=，判斷四邊形ABCD的形狀.
【解析】∵在四邊形ABCD中，AB=DC，
∴AB//DC，且AB=DC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵tan D=，由于D∈0,π，∴∠B=∠D=60°.
又||=||，∴△ABC是等邊三角形.
∴AB=BC，故四邊形ABCD是菱形.
2、P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形
【解析】由，可得，即，
等式兩邊平方，化簡(jiǎn)得，，
因此，是直角三角形.
故選：B.
3、在中，，非零向量與滿足AB·AC|AB|·|AC|=12，可判斷的形狀為_(kāi)__________.
【解析】由題意可得csA=AB·AC|AB|·|AC|=12，又A∈(0,π)，可得，
因?yàn)椋?br>所以的形狀為等邊三角形.
故答案為：等邊三角形.
練習(xí)四 平面幾何中的最值問(wèn)題
1、騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動(dòng)?能有效地鍛煉大腦?心臟等人體器官機(jī)能，它帶給人們的不僅是簡(jiǎn)單的身體上的運(yùn)動(dòng)鍛煉，更是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過(guò)程中，的最小值為（ ）
A．B．12C．D．24
【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)閳A（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形
所以點(diǎn)，，，
所以，
所以，
所以當(dāng)， 的最小值為.
故選：B
2、如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【解析】由題可知，和互相垂直平分，如圖所示，分別以、所在的直線為和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
直線的方程為，即，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，為3．
故選：D．
3、已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則PA?PB+PC的取值范圍是___________.
【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，DA為軸建立直角坐標(biāo)系，
則D0,0,B?1,0,C1,0,A0,3，設(shè)P0,x,0≤x≤3，
所以PA=0,3?x,PB=?1,?x,PC=1,?x，
因此PB+PC=0,?2x，
所以PA?PB+PC=?2x3?x=2x2?23x=2x?322?32，
因此當(dāng)x=0或x=3時(shí)，PA??PB?+PC?max=0，當(dāng)x=32時(shí)，PA??PB?+PC?min=?32，所以PA?PB+PC的取值范圍是?32,0，
故答案為：?32,0.
練習(xí)五 向量在物理中的應(yīng)用
1、已知一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W=______J．
【解析】W=F?s=F?scsF,s=6×100×cs60°=300.
故答案為：300.
2、如圖所示，一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東的方向移動(dòng)了8m，其中F1=2N，方向?yàn)楸逼珫|30° ；F2=4N，方向?yàn)楸逼珫|；F3=6N，方向?yàn)楸逼?0°，求合力F所做的功.
【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
由題意可得F1=1,3，F(xiàn)2=23,2，F(xiàn)3=?3,33，位移s=42,42，
所以F=F1+F2+F3=23?2,2+43，
所以合力F所做的功為W=F?s=23?2×42+2+43×42=246J，
3、某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為2a時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)速的大小和方向.
【解析】設(shè)實(shí)際風(fēng)速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時(shí)，感到的風(fēng)速為v?a，當(dāng)速度為2a時(shí)感到的風(fēng)速為v?2a，
如圖，設(shè)OA=?a，OB=?2a，PO=v.
∵PO+OA=PA，∴PA=v?a，這就是速度為時(shí)感到的由正北方向吹來(lái)的風(fēng)速.
∵PO+OB=PB，∴PB=v?2a，這就是速度為2a時(shí)感到的由東北方向吹來(lái)的風(fēng)速，
由題意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，∴△POB為等腰直角三角形，
∴∠APO=45°，PO=PB=2a，即v=2a.
∴實(shí)際風(fēng)速的大小是2a，為西北風(fēng).
4、某人在靜水中游泳時(shí)速度為4km/h，水的流向是由西向東，水流速度為2km/h，此人必須沿與水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).
【解析】設(shè)OA表示人游泳的速度，OB表示水速，
由題意可知，若人能沿正北方向前進(jìn)，則人游泳的速度與水速的合速度方向?yàn)檎保?br>因?yàn)镺A=4，OB=2，所以∠AOC=30°，所以∠AOB=120°，
即此人必須沿與水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).
故答案為：120.
5、一個(gè)物體在大小為10 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50 m，且力F所做的功J，則F與s的夾角等于_____.
【解析】設(shè)F與s的夾角為θ，
由，得，解得：.
又，.
故答案為：（或）
練習(xí)六 奔馳定理與三角形的四心
1、點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．
【解析】 ，即
同理可得：，
點(diǎn)為的垂心
本題正確結(jié)果：垂
2、在中，，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．三邊均不相等的三角形D．等腰非等邊三角形
【解析】在中，，
的角平分線與垂直，為等腰三角形；
又，，
，
為等腰非等邊三角形.
故選：D
3、已知點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)2PA+3PB+5PC=0，若F為AC中點(diǎn)，G為BC中點(diǎn)，|PF||PG|=___________．△APB, △APC, △BPC的面積之比為_(kāi)____________．
【解析】因?yàn)?PA+3PB+5PC=0，所以2(PA+PC)=?3(PB+PC)，
因?yàn)镕為AC中點(diǎn)，G為BC中點(diǎn)，
所以PA+PC=2PF,PB+PC=2PG，所以2PF=?3PG，
所以F、P、G三點(diǎn)共線，且PF=32PG
易知GF為三角形ABC的中位線，
設(shè)△APC中PC邊上的高為?1，△BPC中PC邊上的高為?2，
所以S△APCS△BPC=12×PC×?112×PC×?2=?1?2=PFPG=32，而S△APB=12S△ABC，
所以的面積之比為5:3:2
故答案為：，5: 3: 2
4、已知O為△內(nèi)部一點(diǎn)，且OA+OB+2OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1，則△的面積為_(kāi)_________
【解析】若是中點(diǎn)，連接，則OA→+OB→=2OD→，又OA+OB+2OC=0，
∴OC→=?2OD→，故C,O,D共線，又|OA|=|OB|=|OC|=1，
∴是△外接圓圓心，即CD⊥AB，且OD=22，則AB=2AD=2，CD=1+22，
∴S△ABC=12AB?CD=2+12.
故答案為：2+12
已知．
證明線段平行、點(diǎn)共線問(wèn)題及相似問(wèn)題
常用向量共線的條件：
．
證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等
常用向量垂直的條件：
（其中為非零向量）．
求夾角問(wèn)題，若向量與的夾角為
利用夾角公式：
（其中為非零向量）．
求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等
可以用向量的模：
，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如載體是長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決綜合問(wèn)題．
奔馳定理在三角形四心中的具體形式
是的重心
是的內(nèi)心
是的外心
是的垂心
備注：奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用．