人教A版 (2019)必修 第二冊6.4 平面向量的應(yīng)用一課一練

這是一份人教A版 (2019)必修 第二冊6.4 平面向量的應(yīng)用一課一練，共14頁。試卷主要包含了平面向量在物理上的應(yīng)用，平面向量在幾何中的應(yīng)用，正余弦定理在實際中的應(yīng)用，正余弦定理在幾何中的運用等內(nèi)容，歡迎下載使用。
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
二．向量方法解決物理問題的步驟
用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：
(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.
(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.
(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.
知識簡用
題型一 平面向量在物理上的應(yīng)用
【例1-1】（2022·山東）若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（ ）．
A．7B．C．D．1
【例1-2】（2022·全國·課時練習(xí)）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（ ）
A．B．61C．75D．60
題型二 平面向量在幾何中的應(yīng)用
【例2-1】（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）在中，為中線上的一個動點，若，則的取值范圍是_____．
【例2-2】（2022·安徽）如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點（包含端點），O為AC的中點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型三 正余弦定理在實際中的應(yīng)用
【例3-1】（2022·江西贛州）如圖，從無人機上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機的高度是，則此時峽谷的寬度是（ ）
A．60B．C．30D．
【例3-2】（2022·北京）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，1小時后到達處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離約為（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【例3-3】．（2022·安徽）某漁船由于引擎故障滯留在海上的C位置，一艘快艇負責(zé)救援，快艇從A島出發(fā)，沿南偏西30°行駛了300海里到達B位置，發(fā)現(xiàn)偏航后及時調(diào)整，沿北偏西30°行駛了100海里到達C位置，則A島與漁船發(fā)生故障的C位置間距離為（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【例3-4】（2022·安徽）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
題型四 正余弦定理在幾何中的運用
【例4-1】（2022·河北）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD為的平分線，試求BD．
【例4-2】（2022·廣東）如圖，在中，，，且點在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
【例4-3】（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面積為，求AC；
(2)若，，求.
6.4.2 平面向量的應(yīng)用（學(xué)案） 知識自測
一． 向量方法解決平面幾何問題的步驟
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
二．向量方法解決物理問題的步驟
用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：
(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.
(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.
(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.
知識簡用
題型一 平面向量在物理上的應(yīng)用
【例1-1】（2022·山東）若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（ ）．
A．7B．C．D．1
【答案】D
【解析】根據(jù)三力平衡得，即，
兩邊同平方得，即
即,解得故選：D.
【例1-2】（2022·全國·課時練習(xí)）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（ ）
A．B．61C．75D．60
【答案】D
【解析】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，
，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．
題型二 平面向量在幾何中的應(yīng)用
【例2-1】（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）在中，為中線上的一個動點，若，則的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】因為是的中線，所以，
故，
因為，設(shè)，則，
所以，
故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
當(dāng)或3時，.
故答案為：.
【例2-2】（2022·安徽）如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點（包含端點），O為AC的中點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一：設(shè)，
因為O為AC的中點，所以，
所以．又，
所以，
因為，所以，
所以；
法二：以A為坐標(biāo)原點，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，
所以，，所以．
因為，所以，
即.
故選：A．
題型三 正余弦定理在實際中的應(yīng)用
【例3-1】（2022·江西贛州）如圖，從無人機上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機的高度是，則此時峽谷的寬度是（ ）
A．60B．C．30D．
【答案】A
【解析】由已知得，得到
，，故選：A
【例3-2】（2022·北京）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，1小時后到達處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離約為（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】C
【解析】由題設(shè)，，且海里，
在△中，則海里.
故選：C
【例3-3】．（2022·安徽）某漁船由于引擎故障滯留在海上的C位置，一艘快艇負責(zé)救援，快艇從A島出發(fā)，沿南偏西30°行駛了300海里到達B位置，發(fā)現(xiàn)偏航后及時調(diào)整，沿北偏西30°行駛了100海里到達C位置，則A島與漁船發(fā)生故障的C位置間距離為（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【解析】如圖，由已知，，所以，又,
所以，又，,
由余弦定理可得，
所以（海里）故選：A.
【例3-4】（2022·安徽）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】C
【解析】如圖，作出，由題意可知，
海里，，則，
因為，
所以海里，
即B，C兩點間的距離是海里.
故選：C.
題型四 正余弦定理在幾何中的運用
【例4-1】（2022·河北）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD為的平分線，試求BD．
【答案】(1)5(2)8
【解析】（1）由正弦定理得，∴＝∴.
（2）由，可得，
又，為的平分線，
∴A，B，C，D四點共圓，，
由余弦定理得，即∴.
【例4-2】（2022·廣東）如圖，在中，，，且點在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：，，則，
，解得，，
，，
在中，由正弦定理可知得.
（2）解：由得，所以，
因為，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，得，所以，
.
【例4-3】（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面積為，求AC；
(2)若，，求.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，.
（2）設(shè)，則，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.