數(shù)學6.2 平面向量的運算精練

這是一份數(shù)學6.2 平面向量的運算精練，共20頁。試卷主要包含了平面向量的線性運算，共線定理，數(shù)量積，取值范圍等內(nèi)容，歡迎下載使用。

典例精講
考點一 平面向量的線性運算
【例1-1】（2022·全國·高一課時練習）化簡（1）
（2）；
（3）＋．
【例1-2】（2022·全國·高一課前預習）計算：
（1）；
（2）.
【一隅三反】
1．（2022·湖南·高一課時練習）化簡：
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6)．
2．（2022·全國·高一課時練習）化簡：
（1）；
（2）；
（3）．
3．（2022·全國·高一專題練習）已知向量，，，求作和.
考點二 共線定理
【例2】（2022·全國·高一課時練習）設，是兩個不共線的向量，如果，，.
(1)求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定的值，使和共線；
(3)若與不共線，試求的取值范圍.
【一隅三反】
1．（2022·浙江·高一期中）已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高一專題練習）判斷向量是否共線(其中,是兩個非零不共線的向量):
(1);(2);(3).
3．（2022·全國·高一課時練習）設兩個非零向量與不共線．
(1)若，，，求證：，，三點共線；
(2)試確定實數(shù)，使和同向．
考點三 數(shù)量積
【例3-1】（2022·湖北省天門中學高一階段練習）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2022·內(nèi)蒙古大學滿洲里學院附屬中學高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】．（2022·全國·高一課時練習）已知向量，滿足，，，則_________.
【例3-4】（2021·山東·高一階段練習）在中，，若D為BC中點，則為_________．
【一隅三反】
1．（2022·上海市）已知向量滿足的夾角為，則的值是_____．
2．（2022·上海市曹楊中學高一期末）已知向量與的夾角為，記且，則_____．
3．（2022·上海市控江中學高一期末）已知向量滿足且，則在方向上的數(shù)量投影為______.
4．（2022·全國·高一課時練習）已知單位向量，滿足，若向量，則＝
5．（2021·云南·昭通市昭陽區(qū)第一中學高二月考（文））已知向量與的夾角為，且，，設，，則向量在方向上的投影為___________．
考點四 取值范圍
【例4-1】（2022·湖北）若 ，則 的取值范圍是（ ）
A．[3，7]B． C．D．
【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的最小值是______.
【一隅三反】
1．（2022·上海崇明·）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，點P為其內(nèi)部或邊界上一點，則的取值范圍為______.
2．（2022·上海）如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1，點P是其內(nèi)部一點，（包括邊界），則的取值范圍為______
3．（2022·上海）設，為單位向量，非零向量，．若，的夾角為，則的最大值等于________．
6.2 平面向量的運算（精講）
思維導圖
典例精講
考點一 平面向量的線性運算
【例1-1】（2022·全國·高一課時練習）化簡（1）
（2）；
（3）＋．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)：
方法二(利用)：
（2）．
（3）
【例1-2】（2022·全國·高一課前預習）計算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
=.
（2）
=
【一隅三反】
1．（2022·湖南·高一課時練習）化簡：
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).
【解析】(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
2．（2022·全國·高一課時練習）化簡：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
3．（2022·全國·高一專題練習）已知向量，，，求作和.
【答案】詳見解析
【解析】由向量加法的三角形法則作圖：
由向量三角形加減法則作圖：
考點二 共線定理
【例2】（2022·全國·高一課時練習）設，是兩個不共線的向量，如果，，.
(1)求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定的值，使和共線；
(3)若與不共線，試求的取值范圍.
【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)
【解析】（1）證明：因為，所以與共線.
因為與有公共點B，所以A，B，D三點共線.
（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使.
因為，不共線，所以所以.
（3）假設與共線，則存在實數(shù)m，使.
因為，不共線，所以所以.因為與不共線，所以.
【一隅三反】
1．（2022·浙江·高一期中）已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為與平行，所以存在實數(shù)，使得，即，
又為不共線，所以，解得.故選：B.
2．（2022·全國·高一專題練習）判斷向量是否共線(其中,是兩個非零不共線的向量):
(1);(2);(3).
【答案】(1)共線；(2)共線；(3)不共線.
【解析】(1)因，則有，所以共線.
(2)因，，則，所以共線.
(3)假設，則，即，
因不共線，于是得，此方程組無解，因此不存在實數(shù)，使得，所以不共線.
3．（2022·全國·高一課時練習）設兩個非零向量與不共線．
(1)若，，，求證：，，三點共線；
(2)試確定實數(shù)，使和同向．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）證明：因為，，，
所以．所以，共線．
又因為，有公共點，所以，，三點共線．
（2）解：因為與同向，所以存在實數(shù)，使，
即．所以．
因為，是不共線的兩個非零向量，所以，解得，或，又因為，所以．
考點三 數(shù)量積
【例3-1】（2022·湖北省天門中學高一階段練習）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，所以，
所以，故選：A
【例3-2】（2022·內(nèi)蒙古大學滿洲里學院附屬中學高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，即，即，
又，，解得，，所以.故選：C
【例3-3】．（2022·全國·高一課時練習）已知向量，滿足，，，則_________.
【答案】
【解析】由可得，，即，解得：，所以．
故答案為：．
【例3-4】（2021·山東·高一階段練習）在中，，若D為BC中點，則為_________．
【答案】
【解析】，所以，故，
，兩式相減得 ，所以，
所以＝.故答案為：
【一隅三反】
1．（2022·上海市）已知向量滿足的夾角為，則的值是_____．
【答案】
【解析】，即，即，解得或（舍）.故答案為：3.
2．（2022·上海市曹楊中學高一期末）已知向量與的夾角為，記且，則_____．
【答案】
【解析】且，，即
又向量與的夾角為，，解得，
，，
又，所以
故答案為：
3．（2022·上海市控江中學高一期末）已知向量滿足且，則在方向上的數(shù)量投影為______.
【答案】
【解析】，，
所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：
4．（2022·全國·高一課時練習）已知單位向量，滿足，若向量，則＝
【答案】
【解析】因為，是單位向量，所以，
又因為，，所以，
，所以，
因為，所以
5．（2021·云南·昭通市昭陽區(qū)第一中學高二月考（文））已知向量與的夾角為，且，，設，，則向量在方向上的投影為___________．
【答案】2
【解析】與的夾角為，且， ,又，，設,在方向上的投影為在方向上的投影為故答案為：2
考點四 取值范圍
【例4-1】（2022·湖北）若 ，則 的取值范圍是（ ）
A．[3，7]B． C．D．
【答案】C
【解析】由題意知，且,
當同向時，取得最小值，；
當反向時，取得最大值，；
當不共線時，取得最小值，，
故 的取值范圍是，
故選：C
【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的最小值是______.
【答案】2
【解析】因為在方向上的數(shù)量投影為，
所以當最小時，數(shù)量投影取得最小值.
設，則.
因為，則當時，有最小值6.
所以，在方向上的數(shù)量投影的最小值是.故答案為：2.
【一隅三反】
1．（2022·上海崇明·）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，點P為其內(nèi)部或邊界上一點，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】正六邊形ABCDEF中，過點B作于，則
又
即，故的取值范圍為
故答案為：
2．（2022·上海）如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1，點P是其內(nèi)部一點，（包括邊界），則的取值范圍為______
【答案】
【解析】由正六邊形的性質(zhì)得： ，
則，，
，
而表示在上的投影，
當點P在C處時，投影最大為，當點P在F處時，投影最小為0，
所以的取值范圍為，
故答案為：
3．（2022·上海）設，為單位向量，非零向量，．若，的夾角為，則的最大值等于________．
【答案】2
【解析】，為單位向量，和的夾角等于，
，
當時，則；
非零向量，
，
當時，
，
故當時，取得最大值為2，
綜上，取得最大值為2．
故答案為：2．