1.會應(yīng)用余弦定理，掌握余弦定理的應(yīng)用條件.2.會應(yīng)用正弦定理，掌握正弦定理的應(yīng)用條件.3.能夠靈活應(yīng)用正余弦定理解決實際問題.
在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題. 解決這類問題，我們常會碰到一些測量專有概念：
與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角, 目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角, 目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角.
從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如北偏西60°，即以正北方向為始邊，逆時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°. (如圖所示)
具體測量時，我們常常遇到“不能到達(dá)”的困難，這就需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)臏y量方案.下面我們通過幾道例題來說明這種情況. 需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件.事實上，這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案.
例9 如圖, A, B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種 測量A, B兩點間距離的方法，并求出A, B 間的距離.
分析：若測量者在A, B兩點的對岸取定一點C （稱作測量基點），則在點C處只能測出∠ACB的大小，因而無法解決問題.為此，可以再取一點D，測出線段CD的長，以 及∠ACD, ∠CDB, ∠BDA，這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離了.
在△ADC中，由正弦定理，得
在△BDC中，由正弦定理，得
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A, B兩點間的距離
我們在地球上所能用的最長的基線是地球橢圓軌道的長軸.當(dāng)然，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們會不斷發(fā)現(xiàn)更加先進(jìn)的測量距離的方法.
下面看一個測量高度的問題.
例10 如圖, AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點. 設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.
分析：由銳角三角函數(shù)知識可知，只要獲得 一點C(點C到地面的距離可求）到建筑物的頂部A的距離CA,并測出由點C觀察A的仰角， 就可以計算出建筑物的高度.
為此，應(yīng)再選取一點D，構(gòu)造另一個含有CA的△ACD，并進(jìn)行相關(guān)的長度和角度的測量，然后通過解三角形的方 法計算出CA.
那么，在△ACD中，由正弦定理，得
例11 位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救. 甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西30°，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船. 那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)方向線（由觀測點 看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到D? 需要航行的距離是多少海里（精確到1n mile）?
分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向''“南偏西30°”“目標(biāo)方向線"等信息，畫出示意圖.
解： 根據(jù)題意，畫出示意圖.
于是BC≈24(n mile)
由0°

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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