第01章特殊的平行四邊形章節(jié)整合練習(xí)（10個知識點+40題練習(xí)）九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（北師大版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第01章特殊的平行四邊形章節(jié)整合練習(xí)（10個知識點+40題練習(xí)）章節(jié)知識清單練習(xí) 知識點1．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．知識點2．菱形的性質(zhì) （1）菱形的性質(zhì) ①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； ②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角； ④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算 ①利用平行四邊形的面積公式． ②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）知識點3．菱形的判定 ①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）； ②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形； ③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形知識點4．菱形的判定與性質(zhì) （1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）　　（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．知識點5．矩形的性質(zhì) （1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì) ①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有； ②角：矩形的四個角都是直角； ③邊：鄰邊垂直； ④對角線：矩形的對角線相等； ⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．知識點6．矩形的判定（1）矩形的判定： ①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形； ②有三個角是直角的四邊形是矩形； ③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等． ②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．知識點7．矩形的判定與性質(zhì) （1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題．（2）下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．知識點8．正方形的性質(zhì) （1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì) ①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角； ②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角； ③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)． ④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．知識點9．正方形的判定正方形的判定方法： ①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等； ②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角． ③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．知識點10．正方形的判定與性質(zhì) （1）正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．（2）正方形的判定正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．章節(jié)題型整合練習(xí) 一．直角三角形斜邊上的中線 1．（2024?環(huán)翠區(qū)一模）將一副三角板按如圖所示擺放，點恰好是邊中點，則的度數(shù)為　　 A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，根據(jù)等邊對等角可得，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角性質(zhì)，即可求解．【解答】解：點恰好是邊中點，，，，又，．故選：．【點評】本題考查了直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題． 2．（2024春?呂梁期末）如圖，在中，，，，，則的長為　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】由勾股定理即可求出的長．由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出，又，得到，由勾股定理即可求出．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點評】本題考查直角三角形斜邊的中線，勾股定理，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出． 3．（2024春?祁陽市期末）如圖，在中，，，點為邊的中點，，則的長為　2?。? 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而可得是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：，點為邊的中點，，，是等邊三角形，，故答案為：2．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，含30度的直角三角形，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4．（2024春?泰州期末）證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（要求畫圖并寫出已知、求證以及證明過程）【分析】作出圖形，然后寫出已知，求證，延長到，使，連接、，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得四邊形是矩形，然后根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得．【解答】已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線，求證：；證明：如圖，延長到，使，連接、，是斜邊上的中線，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)證明，作輔助線，構(gòu)造出矩形是解題的關(guān)鍵．二．菱形的性質(zhì) 5．（2024春?南平期末）菱形的對角線長分別為6和8，則該菱形的面積是　24?。?【分析】由菱形的面積公式可求解．【解答】解：菱形的面積，故答案為24．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關(guān)鍵． 6．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）四邊形是菱形，對角線，相交于點，且，，則菱形的面積為　　 A．48 B．96 C．120 D．240 【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半可以求菱形的面積．【解答】解：四邊形是菱形，，，又，．．故選：．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中根據(jù)勾股定理求的值是解題的關(guān)鍵． 7．（2024?市中區(qū)一模）如圖，菱形中，點，分別在邊，上，，求證：．【分析】解法一：由菱形的性質(zhì)和已知可得，，再證明即可；解法二：連接，由菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角得出，再證明即可．【解答】證明：解法一：四邊形是菱形，，又，，，在和中，，，．解法二：連接，四邊形是菱形，，，在和中，，，．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊對等角，運用了一題多解的思路．靈活運用菱形的性質(zhì)和三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵． 8．（2024?鎮(zhèn)安縣三模）如圖，四邊形是菱形，于點，于點．求證：．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，進而利用證明三角形全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：四邊形是菱形，，，，，，在和中，，，．【點評】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，解答．三．菱形的判定 9．（2024?埇橋區(qū)校級二模）如圖，的對角線交于點，添加下列條件不能判斷四邊形是菱形的是　　 A． B． C． D．【分析】對于、可以通過平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合等邊對等角證明一組鄰邊相等；對于可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明一組鄰邊相等；對于，無法證明四邊形是菱形．【解答】解：、四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是菱形，故不符合題意；、當添加時，同理可證明四邊形是菱形，故不符合題意；、，，四邊形是菱形，故不符合題意；、添加不能證明四邊形是菱形，故不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)，等角對等邊，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形等相關(guān)的判定定理． 10．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，請你添加一個條件：　　，使四邊形是菱形．【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：添加，理由：四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 11．（2024?邯鄲二模）已知：在四邊形中，，，如圖，求證，四邊形是菱形．證明：，，四邊形是平行四邊形，又 “_____”，四邊形是菱形．在以上證明過程中，“_____”可以表示的是　　 A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的定義判定即可，“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”．【解答】解：根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，可得“”可以表示的是．故選：．【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的定義是解題的關(guān)鍵． 12．（2024?甘谷縣三模）如圖，在平行四邊形中，點、在對角線上，且（1）求證：；（2）若，，，該判斷當?shù)拈L度為多少時，四邊形為菱形，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)已知條件由可證；（2）連接交于，根據(jù)勾股定理可求，根據(jù)三角形面積公式可求，再根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)求得，根據(jù)線段的和差關(guān)系可求的長度．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，在與中，，；（2）解：連接交于，，，，，四邊形為菱形，，，，，在中，，．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性與判定，以及菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是證明．四．菱形的判定與性質(zhì) 13．（2024?青秀區(qū)校級模擬）如圖，將兩條寬度都是為2的紙條重疊在一起，使，則四邊形的面積為　?。? 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)易知，重合部分為菱形，然后根據(jù)菱形的面積公式計算即可．【解答】解：如圖，過點作于點，于點．則．紙條的對邊平行，即，，四邊形是平行四邊形，兩張紙條的寬度都是2，，，平行四邊形是菱形，即四邊形是菱形．四邊形的面積為．故答案為：．【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，通過折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問題，應(yīng)結(jié)合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系． 14．（2024?廣西）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長為　?。? 【分析】過點作于點，于點，易知四邊形為平行四邊形，，，可證，得到，可證四邊形為菱形．在中，，因此四邊形的周長為：．【解答】解：如圖，過點作于點，于點，，兩張紙條寬度均為，四邊形為平行四邊形，且，，，，四邊形為菱形，在中，，，，四邊形的周長為：．故答案為：．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識． 15．（2024?豐潤區(qū)一模）小明用四根長度相等的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先活動學(xué)具成為圖（1）所示的菱形，并測得，接著活動學(xué)具成為圖（2）所示的正方形，并測得對角線，則圖（1）中菱形的對角線長為　　 A．10 B．20 C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，由勾股定理得，則，再證明是等邊三角形，則，再利用含30度角的直角三角形求出，于是得到問題的答案．【解答】解：在正方形中，，，，，，，在菱形中，，，是等邊三角形，，如圖（1），連接交于點，，，，，，故選：．【點評】此題重點考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)勾股定理求得是解題的關(guān)鍵． 16．（2024?大冶市模擬）已知：如圖，是的角平分線，過點分別作和的平行線交于點，交于點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，則四邊形的面積為　24　．【分析】（1）由已知易得四邊形是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得，證出，則可得出四邊形是菱形；（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，可得，根據(jù)勾股定理，求出，可求出答案．【解答】（1）證明：是的角平分線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是菱形；（2）解：連接，與交于點，四邊形是菱形，、互相垂直且平分，，根據(jù)勾股定理，，，四邊形的面積．故答案為：24．【點評】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五．矩形的性質(zhì) 17．（2024?咸陽模擬）在矩形中，，為邊的中點，點在邊上，且，連接，和．若，則的長為　?。?【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，進而利用勾股定理得出方程解答即可．【解答】解：如圖，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，．為的中點，．，，，，，，又，，，即，解得或（舍去），．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵． 18．（2024?平遙縣二模）如圖，在矩形中，，，過對角線的交點作，交于點，交于點，則的長是　　 A．3 B． C． D．【分析】連接，由矩形的性質(zhì)得出，，，，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：連接，如圖所示：四邊形是矩形，，，，，，是的垂直平分線，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即．故選：．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵． 19．（2024?昭陽區(qū)模擬）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，以，為邊作矩形，連接，交于點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，菱形的面積是，求的長．【分析】（1）由，，證明四邊形是平行四邊形，由矩形的性質(zhì)得，則，即可證明四邊形是菱形；（2）由，，求得，則是等邊三角形，所以，則，所以，則，，由菱形的面積是，得，求得，則．【解答】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形．（2）解：，，，四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，，，，，，菱形的面積是，，解得或（不符合題意，舍去），，四邊形是矩形，，的長是．【點評】此題重點考查平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、菱形的面積公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 20．（2024?順河區(qū)一模）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點，與相交于點，與相交于點，連接、．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出，推出，，證，推出，得出平行四邊形，推出菱形；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出，在中，根據(jù)勾股定理得出，即可列方程求得．【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，在和中，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）四邊形是菱形，，設(shè)長為，則，在中，即，解得：，答：長為5．【點評】此題主要考查了菱形的判定，以及勾股定理的應(yīng)用和矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．六．矩形的判定 21．（2024?河北一模）如圖，有甲、乙兩個四邊形，分別標出了部分數(shù)據(jù)，則下列判斷正確的是　　 A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形【分析】根據(jù)矩形的判定定理對甲、乙進行判斷作答即可．【解答】解：由題意知，甲中對角線相等且互相平分，甲中四邊形是矩形，如圖乙，記、的交點為，由圖可知，，，、的數(shù)量關(guān)系未知，乙中四邊形不一定是矩形，故選：．【點評】本題考查了矩形的判定．熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵． 22．（2024?黑龍江二模）如圖，已知中對角線，相交于點，請你添加一個適當?shù)臈l件，使成為一個矩形．你添加的條件是?。ù鸢覆晃ㄒ唬。? 【分析】根據(jù)矩形的判定定理（對角線相等的平行四邊形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的條件是（答案不唯一），理由是：，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形，故答案為：（答案不唯一）．【點評】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定定理，難度不大． 23．（2024春?青浦區(qū)期末）如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，若再添加一個條件，就可得平行四邊形是矩形，則你添加的條件是　或?。? 【分析】矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是：矩形的對角線相等，矩形的四個內(nèi)角是直角；可針對這些特點來添加條件．【解答】解：若使變?yōu)榫匦?，可添加的條件是：；（對角線相等的平行四邊形是矩形）等．（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）故答案為：或．【點評】此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定方法，熟練掌握矩形和平行四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵． 24．（2024?新疆二模）如圖，已知平行四邊形．（1）若，是上兩點，且，求證：；（2）若，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到，，然后根據(jù)即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到，，然后根據(jù)矩形的判定方法可以證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形．【點評】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求結(jié)論需要的條件．七．矩形的判定與性質(zhì) 25．（2024春?石獅市期末）如圖，在中，，，，為上一動點，于，于，則的最小值為　2.4?。? 【分析】根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得，則的最小值即為的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：的最小值即等于直角三角形斜邊上的高．【解答】解：在中，，，，，即．又于，于，四邊形是矩形，．因為的最小值即為直角三角形斜邊上的高，即2.4，的最小值為2.4，故答案為：2.4．【點評】此題綜合運用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，要能夠把要求的線段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段． 26．（2024春?婁星區(qū)期末）下列說法正確的是　　 A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．矩形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸 D．對角線互相垂直的平行四邊形為菱形【分析】由平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定分別對各個說法進行判斷即可．【解答】解：、一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故本選項不符合題意；、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項不符合題意；、矩形是軸對稱圖形，兩組對邊的中點的連線所在的直線是它的對稱軸，故本選項不符合題意；、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項符合題意；故選：．【點評】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識，熟記平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定是解題的關(guān)鍵． 27．（2024春?夾江縣期末）如圖，在中，過點作于點，，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若平分，四邊形面積為20，，求的長度．【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)含一個角為直角是平行四邊形證明四邊形是矩形．（2）根據(jù)矩形面積為20求出，證明，求出，根據(jù)勾股定理求出，得出答案即可．【解答】（1）證明：四邊形為平行四邊形，，．又，，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形是矩形．（2）解：由（1）知，，．平分，，，，，，又，．又，．【點評】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練矩形的判定方法． 28．（2024?二道區(qū)校級模擬）如圖，在等邊中，點是的中點，點是的中點，以為邊作等邊，連接點、．（1）求證：四邊形為矩形；（2）若，則線段　　．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再求出，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再求出四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，得到，求得，得到，求得，求得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，等邊中，點是的中點，是的中點，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；（2）解：，是等邊三角形，，點是的中點，，，，，點是的中點，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，．故答案為：．【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．八．正方形的性質(zhì) 29．（2024?山海關(guān)區(qū)校級一模）如圖1，在正方形卡片上剪掉兩個如圖2所示大小的三角形，剩余圖形中小正方形的面積為　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】判斷出小正方形的邊長，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，小正方形的邊長，小正方形的面積為1．故選：．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題． 30．（2024?溫州模擬）如圖，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，，，是某個直角三角形的三邊，其中是斜邊，若，四邊形的面積為8，則的長為　　 A．10 B． C． D．12 【分析】設(shè)，，，則，，由正方形的性質(zhì)可得，，，證明四邊形，四邊形都是矩形，得到，則，再利用四邊形的面積為8，得到；根據(jù)勾股定理得到，推出，由此建立方程求出、的值即可得到答案．【解答】解；設(shè)，，，則，，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，，，，，四邊形，四邊形都是矩形，，，四邊形的面積為8，，；，，是某個直角三角形的三邊，其中是斜邊，，，，，，解得（負值舍去），，，故選：．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵． 31．（2024?市南區(qū)開學(xué)）如圖，厘米，厘米，則陰影部分的面積是　8　平方厘米．【分析】由正方形，矩形的性質(zhì)推出，得到厘米，求出（厘米），即可求出陰影部分的面積平方厘米．【解答】解：四邊形是正方形，厘米，，，，四邊形是矩形，，，厘米，，，，，，（厘米），厘米，（厘米），陰影部分的面積（平方厘米），故答案為：8．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由，推出． 32．（2024?安徽三模）點是正方形的對角線上一點，過點作交于點，的延長線交于點，交于點．（1）如圖1，證明：；（2）如圖2，若，，求的長．【分析】（1）由四邊形是正方形，可證，即可得；（2）先證，可得，即可得．【解答】（1）證明：如圖，連接．四邊形是正方形，點，關(guān)于對稱，，．，，又，，，；（2）由四邊形是正方形，得，，．由，得，，得，即，得，得，得．【點評】本題主要考查了正方形中的證明和計算，解題關(guān)鍵是應(yīng)用正方形的性質(zhì)．九．正方形的判定 33．（2024?永昌縣校級三模）如圖，在四邊形中，，，，在不添加任何輔助線的前提下，若使四邊形是正方形，只需添加的一個條件是　?。? 【分析】根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：添加的條件是，理由：，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，故答案為：．【點評】本題考查了正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 34．（2024?榆陽區(qū)三模）已知菱形的對角線相交于點，下列條件中，能夠判定菱形為正方形的是　　 A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和正方形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：、由不能判斷菱形是正方形，故不符合題意；、四邊形是菱形，，，，，，，菱形為正方形，故符合題意；、由不能判斷菱形是正方形，故不符合題意；、由不能判斷菱形是正方形；故不符合題意．故選：．【點評】本題考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵． 35．（2024?鄆城縣校級一模）將菱形的兩個相鄰的內(nèi)角記為和，定義為菱形的“接近度”，則當“接近度”為　1　時，這個菱形就是正方形．【分析】有一個角是直角的菱形就是正方形，且菱形相鄰的兩個內(nèi)角互補，據(jù)此可得當菱形相鄰的兩個內(nèi)角都為90度時，該菱形是正方形，由此可得答案．【解答】解：有一個角是直角的菱形就是正方形，且菱形相鄰的兩個內(nèi)角互補，當菱形相鄰的兩個內(nèi)角都為90度時，該菱形是正方形，，當時，這個菱形就是正方形，故答案為：1．【點評】本題主要考查了正方形的判定，菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵要明確：有一個角是直角的菱形就是正方形，且菱形相鄰的兩個內(nèi)角互補． 36．（2024春?白河縣期末）已知：如圖，在矩形中，、分別是邊、上的點，，且．求證：矩形是正方形．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，進而證明，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的判定定理證明結(jié)論．【解答】證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，，矩形是正方形．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．一十．正方形的判定與性質(zhì) 37．（2024?秦淮區(qū)二模）如圖，在正方形中，是的中點，是靠近點的的四等分點．已知，，．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號是　　 A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【分析】設(shè)正方形的邊長為，則，，，由勾股定理以及逆定理可判斷是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正確；求出、、的值，從而對②作出判斷；由銳角三角函數(shù)的定義求出的值，對③作出判斷，分別用含有的代數(shù)式表示4個三角形面積，對④作出判斷即可．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為，則，，，，，，，即，因此①正確；，，，，因此②不正確；在中，，，因此③不正確；，，，，，因此④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①④，故選：．【點評】本題考查勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性質(zhì)，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵． 38．（2022秋?寶豐縣期末）如圖，銳角中，，是邊上的高，，，則　6?。? 【分析】作的外接圓，過圓心作于點，作于點，連接、、．利用圓周角定理推知是等腰直角三角形，結(jié)合該三角形的性質(zhì)求得，在等腰中，利用勾股定理得到，進而求解．【解答】解：如圖，作的外接圓，過圓心作于點，作于點，連接、、，，，在中，，，，，，為圓心，，在中，，，，，四邊形是矩形，，，在中，，，，．故答案為：6．【點評】本題考查了考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，難度偏大，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵． 39．（2023秋?青羊區(qū)期末）如圖，四邊形是菱形，對角線、交于點，點、是對角線所在直線上兩點，且，連接、、、，．（1）求證：四邊形是正方形；（2）若正方形的面積為72，，求點到線段的距離．【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形可得四邊形是菱形，根據(jù)對角線相等的菱形是正方形即可解決問題；（2）由正方形的面積公式求得，進而得到，由四邊形是菱形得到，，菱形的面積，由勾股定理求得，根據(jù)菱形的面積公式即可求得答案．【解答】（1）證明：菱形的對角線和交于點，，，，，，又，四邊形是菱形，，，，，四邊形是正方形；（2）解：正方形的面積為72，，，，，，，四邊形是菱形，，，菱形的面積，在中，，設(shè)點到線段的距離為，，即，．即點到線段的距離為．【點評】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 40．（2024春?建湖縣期中）如圖，四邊形為正方形，為對角線上一點，連接，，過點作，交邊于點，以，為鄰邊作矩形，求證：四邊形是正方形．【分析】過點分別作于點，于點，證明四邊形為正方形，則，，證明，得到，即可得到結(jié)論．【解答】證明：如圖，過點分別作于點，于點，四邊形是正方形，，，，，四邊形為正方形，，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，矩形為正方形．【點評】此題考查了正方形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．