知識清單
知識點1．直角三角形斜邊上的中線
（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）
（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．
該定理可以用來判定直角三角形．
知識點2．矩形的性質(zhì)
（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）矩形的性質(zhì)
①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；
②角：矩形的四個角都是直角；
③邊：鄰邊垂直；
④對角線：矩形的對角線相等；
⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．
（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
知識點3．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
②有三個角是直角的四邊形是矩形；
③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）
（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．
②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．
知識點4．矩形的判定與性質(zhì)
（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．
在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題．
（2）下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．
題型強化
題型一．直角三角形斜邊上的中線
1．（2024春?雨花區(qū)校級月考）如圖，在中，，，
A．5B．C．D．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：在中，，，
點是的中點，
是中線，
，
故選：．
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024春?靜寧縣期末）直角三角形中，兩直角邊長分別為12和5，則斜邊中線長是 ．
【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半計算即可．
【解答】解：直角三角形中，兩直角邊長分別為12和5，
斜邊，
則斜邊中線長是，
故答案為：．
【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用和直角三角形的性質(zhì)的運用，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
3．（2024春?潮南區(qū)校級期末）如圖，四邊形中，，，、分別是、的中點，
（1）請你猜測與的位置關(guān)系，并給予證明；
（2）當，時，求的長．
【分析】（1）結(jié)論：．利用直角三角形斜邊中線以及等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．
（2）在中，利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：（1）．理由如下：
連接、，
，為中點，
，
，
，
，
是中點，
；
（2），，、分別是邊、的中點，
，，
．
【點評】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
題型二．矩形的性質(zhì)
4．（2024春?蘭山區(qū)期末）下列各項中，矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是
A．對角相等B．對邊相等C．鄰邊相等D．對角線相等
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)進行做題．
【解答】解：矩形的特性是：四個角都是直角，對角線相等．平行四邊形不具有此性質(zhì)．
故選：．
【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?北票市三模）如圖，在矩形中，對角線，相交于點，，則的度數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：四邊形是矩形，
，，，，
，
，
，，
，
．
故答案為：．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．
6．（2024春?淄川區(qū)期末）如圖，矩形中，，，點、分別在、上，且．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）求線段的長．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，，求得，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論；
（2）過作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：在矩形中，，，
，，，，
，
，
，
，
四邊形是菱形；
（2）解：過作于，如圖所示：
則四邊形是矩形，
，，
，
．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型三．矩形的判定
7．（2024?順德區(qū)三模）如題8圖，在中，，是兩條對角線，如果添如一個條件，可推出是矩形，那么這個條件可以是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)矩形的判定方法解答即可．
【解答】解；四邊形是平行四邊形，
添加，
是矩形，
故選：．
【點評】此題考查矩形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形解答．
8．（2024春?德清縣期末）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到，使，連結(jié)，，，要使四邊形成為矩形，可添加一個條件是 或或 （只要寫出一個條件即可）
【分析】先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進行解答．
【解答】解：四邊形為平行四邊形，
，，
又，
，且，
四邊形為平行四邊形，
添加，
為矩形；
添加，
，
為矩形；
添加，
，
為矩形．
故答案為：或或．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定，首先判定四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?武昌區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形中，點，，，分別在邊，，，上，且，．
（1）求證：；
（2）請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形為矩形（不需說明理由）．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，而，得到，由即可證明；
（2）由，，得到，，推出四邊形是平行四邊形，又，得到四邊形是矩形，因此，又，即可求出的度數(shù)．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：當時，四邊形是矩形．
理由：由（1）知，
同理：，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．
【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由全等三角形的判定和性質(zhì)，推出四邊形是矩形．
題型四．矩形的判定與性質(zhì)
10．（2024春?潢川縣期末）如圖，在矩形中，，點和點分別從點和點出發(fā)，按逆時針方向沿矩形的邊運動，點和點的速度分別為和，則最快 4 后，四邊形成為矩形．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，根據(jù)矩形的判定定理，可得，構(gòu)建一元一次方程，可得答案．
【解答】解；設(shè)最快秒，四邊形成為矩形，由得
．
解得，
故答案為：4．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
11．（2024?朝陽區(qū)校級三模）如圖，兩條直線相交于點，所夾銳角為，以點為圓心，任意長為半徑作圓，與兩條直線分別交于點、、、，下列說法不正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出，，即可判斷符合題意，不符合題意，根據(jù)“對角線平分且相等的四邊形是矩形”推出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可判斷不符合題意．
【解答】解：根據(jù)題意得，，，
、是等邊三角形，
，，，
，，
故錯誤，符合題意；正確，不符合題意；
，，
，
四邊形是矩形，
，
故，正確，不符合題意；
故選：．
【點評】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)，熟記矩形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2024?莒縣二模）在平行四邊形中，過點作于點，點在上且，連接，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，平分，求的長．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，所以，而，則四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是矩形；
（2）由，，，根據(jù)勾股定理求得，則，再證明，則．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
于點，點在上，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．
（2）解：，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的長為5．
【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識，證明且是解題的關(guān)鍵．
分層練習
一、單選題
1．（2024·河南開封·二模）將含角的三角板按如圖所示的方式擺放在一矩形紙片上，使得，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊對等角，根據(jù)等邊對等角，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得到，進而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及對頂角相等，求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選B．
2．（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，將矩形沿折疊，使頂點C恰好落在邊的中點上，若，折痕為，則的長為（ ）
A．5B．4C．3D．
【答案】A
【分析】本題考查翻折變換，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，利用勾股定理求出，從而得出即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，
設(shè)，則，
，
，
解得：，
，
∴.
故選：A．
3．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，四邊形和四邊形都是矩形，而且點在上，這兩個矩形的面積分別是，，則，的關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形面積的計算，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)圖示可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，由此即可求解．
【詳解】解：∵四邊形，四邊形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
故選：A ．
4．（22-23九年級上·河南南陽·期末）若直角三角形的兩條直角邊長是30與40，則斜邊上的中線的長是（ ）
A．15B．20C．25D．35
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出直角三角形斜邊的長，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】解：∵直角三角形的兩條直角邊長是30與40，
∴該直角三角形的斜邊長為50，
∴該直角三角形斜邊上的中線的長是25．
故選：C．
5．（22-23九年級上·甘肅酒泉·期中）順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則滿足條件的四邊形是（ ）
A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．任意四邊形
【答案】B
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)等知識，根據(jù)對角線垂直的四邊形的中點所成的四邊形是矩形即可判斷．解題的關(guān)鍵是掌握：對角線垂直的四邊形的中點所成的四邊形是矩形，對角線相等的四邊形的中點所成的四邊形是菱形，對角線垂直且相等的四邊形的中點所成的四邊形是正方形．
【詳解】解：如圖，點，，，分別是四邊形各邊的中點，且四邊形是矩形，
∴、、、分別是、、、的中位線，
，
∴，，，
∴，即對角線互相垂直的四邊形的中點所成四邊形是矩形，
∵平行四邊形、菱形、矩形中，只有菱形的對角線一定互相垂直，
∴滿足條件的四邊形是菱形，
故選：B．
6．（23-24九年級上·廣東清遠·階段練習）已知四邊形是平行四邊形，對角線與交于點O，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，它是矩形B．當時，它是矩形
C．當時，它是矩形D．當時，它是矩形
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是菱形，故不符合題意；
B、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是菱形，故不符合題意；
C、如圖，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
平行四邊形是菱形，故不符合題意；
D、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是矩形，故符合題意；
故選：D．
7．（22-23九年級上·山東青島·階段練習）順次連接某四邊形四邊中點得到的四邊形是矩形，則該四邊形應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．對角線相等且平分B．對角線相等
C．對角線垂直D．對角線相等且垂直
【答案】C
【分析】本題主要考查了矩形的判定和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形利用三角形的中位線定理解答．
首先根據(jù)三角形中位線定理得到四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線必互相垂直，由此得解．
【詳解】解：如下圖，四邊形是矩形，且E、F、G、H分別是、、、的中點，
證明：由于E、F、G、H分別是、、、的中點，
根據(jù)三角形中位線定理得：，，
∴四邊形是平行四邊形
∴當時，
∴四邊形是矩形．
∴順次連接某四邊形四邊中點得到的四邊形是矩形，則該四邊形應(yīng)滿足的條件是對角線垂直．
故選：C．
8．（22-23九年級上·山東青島·階段練習）順次連四邊形形各邊中點得到四邊形EFGH，若四邊形EFGH的形狀是矩形，則原四邊形是（ ）
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．對角線垂直的四邊形
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)可得，由三角形的中位線性質(zhì)可得，進而可得，即得，同理可得，即得，據(jù)此即可求解，掌握矩形和三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，∵四邊形EFGH是矩形，
∴，
∵點是AD的中點，點是AB的中點，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
即，
∴原四邊形是對角線垂直的四邊形，
故選：．
9．（22-23九年級上·吉林白城·開學考試）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別是的中點，連接，若．則的長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理、矩形性質(zhì)、三角形中位線的應(yīng)用等知識點，掌握三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)矩形性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，進而求出，最后根據(jù)三角形中位線求出的長即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵點E、F分別是的中點，
∴是的中位線，
∴．
故選：D．
10．（23-24九年級上·河北保定·期中）在平面直角坐標系中，點A、點B在坐標軸上，且，以、為邊作一個矩形，其一條對角線所在直線的解析式為，將此矩形作為基本圖形不斷復(fù)制和平移，如圖所示，若各矩形的對稱中心分別為，則的坐標為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)解析式求出的坐標，再分別求出，的坐標，探究規(guī)律后解決問題．
【詳解】解：在矩形中，，即，
∴，，代入中，
得，解得：，
∴，，
，，
，，
，
，，即，．
故選C．
【點睛】本題考查規(guī)律型點的坐標，矩形的性質(zhì)平移，正比例函數(shù)的性質(zhì)．
二、填空題
11．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在矩形中，若，垂足為點E，并且，則 ．
【答案】/45度
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)首先求出，的度數(shù)．然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．本題考查的是矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)知識，難度一般．
【詳解】解：依題意，如圖：
四邊形是矩形，
，
，
，
，
故答案為：
12．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在中，于點D，交于點E，交于點F，當滿足條件 時，四邊形是矩形．
【答案】
【分析】先證四邊形是平行四邊形，再證，即可得出結(jié)論．本題考查矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等知識，熟練掌握菱矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)．
【詳解】證明：，，
四邊形是平行四邊形，，
當時
∴四邊形是矩形
∴當滿足條件時，四邊形是矩形
故答案為：
13．（2024九年級·全國·競賽）如圖是一個矩形，在上各取一點G、H，使得，再取的中點E、F．連接，已知，，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意可得、為等邊三角形，結(jié)合E、F為的中點可推出四邊形為矩形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴
∵
∴、為等邊三角形，
∴，
∵E、F為的中點，
∴垂直平分，垂直平分，，
∴
∴四邊形為矩形，
又，
∴
∴，，
∴四邊形的面積為：。
故答案為：
14．（22-23九年級上·廣西柳州·開學考試）已知矩形的對角線交于點，若，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定．根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理進而可求解BC的長，由矩形的性質(zhì)得，進而得為等邊三角形，從而求得的度數(shù)，進而解答即可．
【詳解】解：如圖所示，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴設(shè)，
∴，
∵，為矩形對角線，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴
∴．
故答案為：．
15．（23-24九年級上·江西贛州·期末）如圖，在矩形中，，，將線段繞順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，當時，線段的長度為 ．
【答案】或或
【分析】如圖，連接、，交于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理得，，推出，，然后分兩種情況：①點在上方；②點在長方形內(nèi)時，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：如圖，連接、，交于點，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
①點在長方形內(nèi)時，
如圖，連接，則，
∵，
∴、、三點共線，
∴，
∵將線段繞順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
②當點在下方時，
如圖，延長至點，使，連接、，則，，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三點共線，
∵將線段繞順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴點是的中點，
∵，即，
∴，
若點與重合，則，
此時，
綜上所述，線段的長度為或或．
故答案為：或或．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與判定，垂直平分線的判定性質(zhì)，等腰三角形的三線合一等知識點，運用了分類討論的的思想．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（23-24九年級上·山東棗莊·開學考試）如圖，矩形的對角線和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和于點E、F，，，則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】4
【分析】本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積等于矩形的面積的一半．
根據(jù)矩形性質(zhì)得出，，，推出，證出和的面積相等，同理可證：和的面積相等，和的面積相等，即可得出陰影部分的面積等于矩形的面積的一半，求出即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
即和的面積相等，
同理可證：和的面積相等，和的面積相等，
即陰影部分的面積等于矩形的面積的一半，
∵矩形面積是，
∴陰影部分的面積是4，
故答案為：4．
17．（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，矩形的周長為1，連接矩形四條邊中點得到四邊形，再連接四邊形四條邊中點得到四邊形，如此繼續(xù)下去，…，則四邊形的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，三角形中位線定理，根據(jù)已知圖形找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．連接、、、相交于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得是的中點，進而得出 分別為的中位線，推出四邊形的周長矩形的周長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律四邊形四邊形的周長矩形的周長，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接、、、相交于點，
四邊形是矩形，
對角線、互相平分，即對角線、的交點為，
是的中點，
同理可得，分別為的中點，
又分別為的中點，
分別為的中位線，
、、、，
四邊形的周長為，
四邊形的周長矩形的周長，
同理可證，四邊形的周長四邊形的周長矩形的周長，
四邊形的周長矩形的周長，
……
觀察發(fā)現(xiàn)，四邊形四邊形的周長矩形的周長，
矩形的周長為1，
四邊形的周長為，
故答案為：
18．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，四邊形中，，，在邊上，且，若，，則AD的長為 ．

【答案】
【分析】延長至，使得，證明，進而根據(jù)已知條件得出，可得，過點作于點，則是矩形，進而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長至，使得，
∵，
∴
又∵
∴
∴，

∵
設(shè)，則，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
過點作于點，則是矩形，
∴，
∴，
∵，則
在中，
∴
∴
∵
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）小明家新裝修了房子，他不確定新安裝的門框是不是矩形，請你幫助他檢查門框是不是矩形，設(shè)計你的方案，并說明道理．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定（有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）判斷是否是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定（對角線相等的平行四邊形是矩形）判斷是否是矩形．
【詳解】解：①先用線測量，，則四邊形是平行四邊形，
②再用線測量，
則四邊形就是矩形，否則就不是矩形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和矩形的判定，注意：有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形．
20．（22-23九年級上·遼寧錦州·期中）如圖，在中，平分平分的外角，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
【答案】四邊形是矩形，證明見解析
【分析】本題考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
首先利用外角性質(zhì)得出，進而得到，即可求出四邊形是平行四邊形，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判定四邊形是矩形．
【詳解】解：四邊形是矩形，
理由：∵平分，
∴，即，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵四邊形中，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形．
21．（2024·湖北武漢·三模）如圖，、是平行四邊形的對角線上兩點，．
(1)求證：；
(2)連接，和，請?zhí)砑右粋€條件： 使得四邊形為矩形．
【答案】(1)見解析
(2)（答案不唯一）
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定等知識，證明是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到條件，證明即可；
（2）添加條件．證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)即可證明四邊形為矩形．
【詳解】（1）證明： ∵在平行四邊形中，，，
∴，
又∵，
∴；
（2）添加條件．證明如下：
如圖，
∵
∴，
∴
∴四邊形為平行四邊形，
∵
∴四邊形為矩形．
故答案為：（答案不唯一）
22．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在銳角中，為邊上的高，為的中點，連接，在上找到一點，使，連接，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】BN⊥AC，理由見解析
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解答．
【詳解】解：．
為邊上的高，為的中點，
，
，
，
∴，，
∴
，
．
23．（22-23九年級上·廣東湛江·期末）如圖，矩形中，，把矩形沿對角線所在直線折疊，使點B落在點E處，交于點F，連接．
(1)求證：；
(2)求證：是等腰三角形．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形和折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形以及折疊的性質(zhì)，由證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
．
由折疊的性質(zhì)可得：，
．
在和中，
，
．
（2）證明：由（1）得，
，即，
，
是等腰三角形．
24．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在矩形紙片中，，，在上取一點F，使，剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形．
(1)求證∶四邊形是菱形；
(2)求四邊形的兩條對角線的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得，勾股定理求得，即，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，即可證明四邊形是平行四邊形，進而根據(jù)鄰邊相等，即可得證；
（2）連接，，在，中根據(jù)勾股定理分別計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵平移至
∴
∴
∴
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形是菱形；
（2）連接，，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
．
25．（23-24九年級上·江西九江·期末）課本再現(xiàn)：
（1）定理 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
已知：如圖1，在中，，是邊上的中線．
求證：．
證明：如圖1，延長到點，使得，連接．
……
請把證明過程補充完整．
知識應(yīng)用：
（2）如圖2，在中，是邊上的高，是邊上的中線，是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解（1）的關(guān)鍵，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解（2）的關(guān)鍵．
（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形是矩形即可；
（2）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得，進而可證，然后證明是線段的垂直平分線即可．
【詳解】解：（1）是邊上的中線，
．
，
四邊形是平行四邊形．
，
四邊形是矩形．
．
，
．
（2）如圖，連接．
是邊上的高，是邊上的中線，
，是的中點．
．
，
．
．
是的中點，
．
是線段的垂直平分線．
．
26．（23-24九年級上·廣東揭陽·期末）【綜合與探究】
問題情境：綜合實踐課上，老師讓同學們探究“平面直角坐標系中圖形的旋轉(zhuǎn)問題”．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為矩形，點A5,0在x軸上，點B0,3在y軸上．操作發(fā)現(xiàn)：以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)．
（1）如圖①，當點D落在邊上時，求D點的坐標；
【繼續(xù)探究】
（2）如圖②，當點D落在線段上時，AD與交于點H，
①求證：；
②求點H的坐標．
【拓展探究】
（3）如圖①，點M是x軸上任意一點，點N是平面內(nèi)任意一點，是否存在點N，使以A、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3）存在，或或或
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理可得：，則，即可得出點D的坐標；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，則，即可根據(jù)證明；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可求證，得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，列出方程，求出x的值，即可得出H的坐標；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出以A、D、M為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)，，根據(jù)兩點之間距離公式得出，，，再進行分類討論：①當時，②當時，③當時，先求出點M的坐標，再根據(jù)中點坐標公式，即可得出點N的坐標．
【詳解】（1）解：∵A5,0，B0,3，四邊形為矩形，
∴，，
∵順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，
∴，
根據(jù)勾股定理可得：，
∴，
∴D1,3；
（2）①∵順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
∴；
（3）∵使以A、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，
∴使以A、D、M為頂點的三角形是等腰三角形，
設(shè)，，
∵A5,0，D1,3，
∴，
，
，
①當時，，
∴，
解得：，
∴或，
∴或，
解得：或
∴或；
②當時，，
，
解得：（舍去），
∴，
∴，
解得：，
∴；
③當時，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴，
綜上：或或或．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形對邊相等且平行，四個角都是直角；旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等；菱形四邊都相等，對角線互相垂直平分．

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