初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊第一章特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定優(yōu)秀一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識清單
知識點(diǎn)1．正方形的性質(zhì)
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質(zhì)
①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；
②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．
④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．
知識點(diǎn)2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．
知識點(diǎn)3．正方形的判定與性質(zhì)
（1）正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．
（2）正方形的判定
正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
題型強(qiáng)化
題型一．正方形的性質(zhì)
1．（2024?武進(jìn)區(qū)校級二模）如圖，在正方形中，，延長至，使，連接．平分交于，連接，則的長為．
2．（2024?麟游縣開學(xué)）一張長方形紙長，如圖截去了一個最大的正方形，余下的長方形紙的周長是
A．B．C．D．無法計(jì)算
3．（2024春?原陽縣月考）如圖，四邊形是正方形，順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，點(diǎn)恰好落在線段上，已知，．
（1）寫出圖中的全等三角形．
（2）求線段的長；
（3）猜想與的位置關(guān)系并給出證明．
題型二．正方形的判定
4．（2024?南皮縣三模）已知四邊形是平行四邊形，若，要使得四邊形是正方形，則需要添加條件
A．B．C．D．
5．（2022秋?平陸縣期末）如圖，已知四邊形是菱形，從①，②，③中選擇一個作為條件后，使四邊形成為正方形，則應(yīng)該選擇的是．（僅填序號）
6．（2024?云夢縣校級一模）如圖，已知矩形中，和的平分線交于邊上一點(diǎn)．點(diǎn)為矩形外一點(diǎn)，四邊形為平行四邊形．求證：四邊形是正方形．
題型三．正方形的判定與性質(zhì)
7．（2024?德陽模擬）小明用四根相同長度的木條制作了一個正方形學(xué)具（如圖，測得對角線，將正方形學(xué)具變形為菱形（如圖，，則圖2中對角線的長為
A．B．C．D．
8．（2023?武威模擬）如圖，正方形的邊長為2，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)記為，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在邊上移動使得四邊形成為正方形時，的長為．
9．（2023秋?禮泉縣期末）如圖，、、、分別是正方形四條邊上的點(diǎn)，且．求證：四邊形是正方形．
分層練習(xí)
一、單選題
1．下列條件可以利用定義說明平行四邊形是正方形的是（）
A．B．
C．D．以上都對
2．能判定一個四邊形是正方形的條件是（）
A．對角線互相垂直平分B．對角線互相垂直平分且相等
C．對角線互相平分且相等D．對角線相等且四個角都是直角
3．四邊形的對角線和相交于點(diǎn)，設(shè)有下列條件：①；②；③與互相平分；④矩形；⑤菱形；⑥正方形，則下列推理成立的是（）
A．B．C．D．
4．如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長度為（）
A．3B．6C．D．
5．如圖，兩個正方形的邊長都為2．其中一個正方形的一頂點(diǎn)在另一個正方形的中心，則兩個正方形重疊部分的面積是（）

A．0.5B．1C．2D．無法確定
6．如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)、點(diǎn)分別是、上的點(diǎn)，連接、、，滿足．若，則的長為（）

A．B．C．D．
7．如圖，正方形的邊長為1；將其繞頂點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到的位置，使得點(diǎn)落在對角線上，則陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
8．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊的延長線和邊上，且，連接，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
9．如圖，在正方形內(nèi)一點(diǎn)連接，過作與延長線交于點(diǎn)，連接，，下列結(jié)論中：①；②；③點(diǎn)到的距離為；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．B．C．D．
10．如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的長為（）
A．B．C．D．
二、填空題
11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是AD邊上的動點(diǎn)，且EF=2，則四邊形BEFC周長的最小值為．
12．如圖，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以4 cm/s的速度向點(diǎn)B移動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以1 cm/s的速度向點(diǎn)D移動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一點(diǎn)即停．設(shè)運(yùn)動時間為t s，則t＝時，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10 cm．
13．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形各邊的中點(diǎn)，，，則四邊形的面積是．
14．如圖，，，，．
15．如圖，在矩形中，交于點(diǎn)O，且，，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，且、分別為、的中點(diǎn)，則四邊形的面積是．
16．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)M，G為上一動點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），N為的中點(diǎn)．現(xiàn)有以下結(jié)論：
①四邊形一定是矩形；
②四邊形可能是菱形；
③連接，四邊形不可能是正方形；
④當(dāng)G為中點(diǎn)時，是等腰三角形．
其中一定正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
17．如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的最小值是．
18．如圖，在中，，，過點(diǎn)作，且．點(diǎn)在邊上，以為直角邊作等腰，且．連接，當(dāng)時，的面積是．
三、解答題
19．如圖，是正方形的對角線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)的位置．
(1)指出它的旋轉(zhuǎn)中心；
(2)說出它的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角是多少度；
(3)寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)．
20．如圖，繞正方形的頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，若，求正方形的面積．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，分別描出點(diǎn)，，，．

(1)試判斷四邊形的形狀；
(2)若兩點(diǎn)不動，你能通過變動點(diǎn)的位置使四邊形成為正方形嗎？若能，請寫出變動后的點(diǎn)的坐標(biāo)．
22．如圖，正方形中，是對角線上的一個動點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)交于點(diǎn)，延長線與邊交于點(diǎn)．
(1)連結(jié)，求證：；
(2)若正方形的邊長為，且，求線段的長．
23．如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．
（1）求證AE＝MN；
（2）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長交邊AD于點(diǎn)F．求∠AEF的度數(shù)；
（3）如圖3，若該正方形ABCD邊長為10，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B′C′恰好經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AG⊥MN，垂足分別為G，若AG＝6，請直接寫出AC′的長________．
24．如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長交于，連接．
(1)求的度數(shù)．
(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．
①求證：；
②若正方形邊長為4，求線段的長．
25．已知正方形，點(diǎn)在邊上（不與兩端點(diǎn)重合）．
(1)如圖，點(diǎn)在對角線上，連接、，若，，，求的長．
(2)如圖，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．求證：．
26．在正方形中，E是邊上一點(diǎn)．
(1)將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖①所示，觀察可知，與相等的線段是______，＝______．
(2)如圖2，在正方形中，P，Q分別是，邊上的點(diǎn)，且，猜想線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在圖2中，連接分別交，于點(diǎn)M，N，請寫出，，的數(shù)量關(guān)系.