第六章　反比例函數(shù) 1　反比例函數(shù) 1．了解反比例函數(shù)的概念，會(huì)判斷一個(gè)式子是否是反比例函數(shù)． 2．能夠列出實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)的表達(dá)式，并能確定自變量的取值范圍． 重點(diǎn) 了解反比例函數(shù)的概念，會(huì)判斷一個(gè)式子是否是反比例函數(shù)． 難點(diǎn) 能夠列出實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)的表達(dá)式． 一、情境導(dǎo)入 課件出示： 導(dǎo)體中的電流I，與導(dǎo)體的電阻R、導(dǎo)體兩端電壓U之間滿足關(guān)系式U＝IR.當(dāng)U＝220 V時(shí)， (1)你能用含有R的代數(shù)式表示I嗎？ (2)利用寫(xiě)出的關(guān)系式完成下表： 當(dāng)R越來(lái)越大時(shí)，I怎樣變化？當(dāng)R越來(lái)越小呢？ (3)變量I是R的函數(shù)嗎？為什么？ 學(xué)生小組合作討論后舉手回答，教師點(diǎn)評(píng)，并引出本節(jié)課課題——反比例函數(shù)． 二、探究新知 1．反比例函數(shù)的概念 問(wèn)題1：小明有10元錢(qián)，購(gòu)買(mǎi)y(個(gè))單價(jià)是x(元)的鉛筆，你能用含x的代數(shù)式表示y嗎？ 學(xué)生：y＝eq \f(10,x). 問(wèn)題2：京滬高速公路全長(zhǎng)約為1 318 km，汽車(chē)沿京滬高速公路從上海開(kāi)往北京，汽車(chē)行完全程所需的時(shí)間為t(h)，行駛的平均速度為v(km/h)，你能用含t的代數(shù)式表示v嗎？ 學(xué)生：v＝eq \f(1318,t). 教師：從上面的兩個(gè)問(wèn)題得出關(guān)系式y(tǒng)＝eq \f(10,x)和v＝eq \f(1318,t).它們是函數(shù)嗎？能否根據(jù)這兩個(gè)問(wèn)題歸納出這一類函數(shù)的表達(dá)式呢？ 引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納總結(jié)出反比例函數(shù)的概念： 一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成 y＝eq \f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)． 從y＝eq \f(k,x)中可知自變量x作為分母，所以x不能為零． 2．反比例函數(shù)的表達(dá)式 課件出示： 下列函數(shù)表達(dá)式中，哪些式子表示y是x的反比例函數(shù)？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出k的值． (1)y＝eq \f(5,x)；　　　(2)y＝eq \f(0.4,x)； (3)y＝eq \f(x,2)； (4)xy＝2； (5)y＝eq \f(x,π)； (6)y＝－eq \f(5,x)； (7)y＝2x－1. 學(xué)生思考后匯報(bào)答案，教師點(diǎn)評(píng)． 教師：通過(guò)上面這道題，你能總結(jié)出反比例函數(shù)表達(dá)式的不同形式嗎？ 學(xué)生積極思考，歸納總結(jié)： 第一種：y＝eq \f(k,x). 第二種：xy＝k. 第三種：y＝kx－1. 三、舉例分析 例1　若y＝(5＋m)x2＋n是反比例函數(shù)，則m，n的取值是(　　) A．m＝－5，n＝－3　　　B．m≠－5，n＝－3 C．m≠－5，n＝3 D．m≠－5，n＝－4 學(xué)生舉手回答，教師點(diǎn)評(píng)． 例2　一個(gè)矩形的面積為20 cm2，相鄰的兩條邊長(zhǎng)分別為x cm和 y cm，那么變量y是變量x的函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？為什么？ 例3　某村有耕地346.2公頃，人口數(shù)量n逐年發(fā)生變化，那么該村人均占有耕地面積m(公頃/人)是全村人口數(shù)n的函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？為什么？ 例4　y是x的反比例函數(shù)，下表給出了x與y的一些值： (1)寫(xiě)出這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式完成上表． 學(xué)生獨(dú)立完成后匯報(bào)答案，教師點(diǎn)評(píng)，并提出問(wèn)題：上述問(wèn)題中，自變量能取哪些值？ 四、練習(xí)鞏固 教材第150頁(yè)“隨堂練習(xí)”第1，2題． 五、小結(jié) 1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 2．什么是反比例函數(shù)？ 六、課外作業(yè) 教材第150～151頁(yè)習(xí)題6.1第1～4題． 本節(jié)課的知識(shí)是反比例函數(shù)．課堂上，結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生了解所討論的函數(shù)的表達(dá)式，形成反比例函數(shù)概念的具體形象，讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的思維．在探索具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)概念，結(jié)合具體情境領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)．通過(guò)練習(xí)題既鞏固了反比例函數(shù)的定義，也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到反比例函數(shù)的表達(dá)式有不同的形式．由學(xué)生總結(jié)歸納，鍛煉了學(xué)生的觀察總結(jié)能力，緊接的練習(xí)又鞏固了反比例函數(shù)表達(dá)式的3種形式．在教學(xué)過(guò)程中，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，培養(yǎng)學(xué)生自主分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生得到一個(gè)良好的自主學(xué)習(xí)的環(huán)境． 2　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．掌握畫(huà)出反比例函數(shù)圖象的基本步驟，會(huì)畫(huà)反比例函數(shù)的圖象． 2．掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)． 3．能利用反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 重點(diǎn) 畫(huà)反比例函數(shù)的圖象，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)． 難點(diǎn) 理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1．什么是反比例函數(shù)？ 2．畫(huà)出一次函數(shù)y＝4x的圖象，圖象是什么形狀？畫(huà)一次函數(shù)圖象的步驟是什么？ 學(xué)生自主思考后給出答案，教師點(diǎn)評(píng)． 二、探究新知 1．反比例函數(shù)的圖象 教師：反比例函數(shù)y＝eq \f(4,x)的圖象會(huì)是什么形狀呢？我們可以用什么方法畫(huà)這個(gè)反比例函數(shù)的圖象？ 學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖象，指名板演．教師點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生歸納畫(huà)反比例函數(shù)圖象的基本步驟． 教師：你以為畫(huà)反比例函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？ 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： (1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線； (2)畫(huà)反比例函數(shù)的圖象要經(jīng)過(guò)列表、描點(diǎn)、連線這三個(gè)步驟； (3)雙曲線的兩端是無(wú)限延伸的，畫(huà)的時(shí)候要“出頭”； (4)畫(huà)雙曲線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越準(zhǔn)確，但計(jì)算量會(huì)越大，故一般在原點(diǎn)的兩側(cè)各取3～5個(gè)點(diǎn)即可； (5)連線時(shí)，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用平滑的曲線連接．注意：兩個(gè)分支不連接． 教師：觀察上面的函數(shù)圖象，如果點(diǎn)P(x0，y0)在函數(shù)y＝eq \f(4,x)的圖象上，那么與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的P′的坐標(biāo)應(yīng)是什么？這個(gè)點(diǎn)在函數(shù)y＝eq \f(4,x)的圖象上嗎？ 學(xué)生思考回答后，教師進(jìn)一步講解：反比例函數(shù)的圖象既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．對(duì)稱軸有兩條，分別是直線y＝x與直線y＝－x；對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，任何一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線只要與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 2．反比例函數(shù)的性質(zhì) 課件出示： 畫(huà)出反比例函數(shù)y＝eq \f(4,x)與y＝－eq \f(4,x)的的圖象，探究下列問(wèn)題： (1)這兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ (2)在每個(gè)象限內(nèi)，隨著x值的增大y的值是怎樣變化的？ 引導(dǎo)學(xué)生思考，得出： 　　三、舉例分析 例1　反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)的圖象如圖所示． (1)判斷k為正數(shù)還是負(fù)數(shù)． (2)如果A(－3，y1)和B(－1，y2)為這個(gè)函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，那么y1與y2的大小關(guān)系是怎樣的？ 學(xué)生思考回答，教師講評(píng)并進(jìn)一步講解根據(jù)反比例函數(shù)的增減性比較函數(shù)值大小的方法： 利用反比例函數(shù)的增減性來(lái)比較函數(shù)值的大小時(shí)，如果給定的兩點(diǎn)或幾點(diǎn)能夠確定在同一象限的分支上時(shí)，可以直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答；如果給定的兩點(diǎn)或幾點(diǎn)不能夠確定在同一象限的分支上時(shí)，則不能利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較，需要根據(jù)函數(shù)的圖象和點(diǎn)的位置用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)比較或利用特殊值法通過(guò)求值來(lái)比較． 例2　如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y＝eq \f(4,x)和y＝eq \f(2,x)在第一象限內(nèi)的圖象分別是G1和G2，設(shè)點(diǎn)P在G1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交G2于點(diǎn)B，則△POB的面積是多少？ 學(xué)生分小組討論后給出答案，教師點(diǎn)評(píng)，并提問(wèn)：雙曲線的幾何特性是什么呢？ 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)雙曲線的幾何特性： 過(guò)雙曲線y＝eq \f(k,x)上的任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于|k|，連接該點(diǎn)與原點(diǎn)，還可得出兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形的面積都等于eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k)),2). 四、練習(xí)鞏固 1．教材第153頁(yè)“隨堂練習(xí)”． 2．教材第155頁(yè)“隨堂練習(xí)”第1，2題． 五、小結(jié) 1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 2．反比例函數(shù)圖象的畫(huà)法及步驟是什么？ 3．反比例函數(shù)圖象與位置的關(guān)系是什么？ 4．反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？ 六、課外作業(yè) 1．教材第154頁(yè)習(xí)題6.2第1，3題． 2．教材第157頁(yè)習(xí)題6.3第1，2題． 本節(jié)課的內(nèi)容主要有兩點(diǎn)：一是畫(huà)反比例函數(shù)的圖象，二是由圖象得出反比例函數(shù)的性質(zhì)．在教學(xué)中，通過(guò)學(xué)生自由探究、觀察、類比學(xué)習(xí)，探索得出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷獲取新知的成功體驗(yàn)，充分體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念和自主探究的學(xué)習(xí)方法．學(xué)生的學(xué)習(xí)往往從問(wèn)題開(kāi)始，因?yàn)檫@樣的學(xué)習(xí)具有方向性與原動(dòng)力，因此，我把教學(xué)設(shè)計(jì)的主體設(shè)計(jì)成又若干個(gè)有一定邏輯順序的問(wèn)題，即通過(guò)復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的定義——畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象——根據(jù)圖象得出反比例函數(shù)的性質(zhì)——利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．層層深入，逐步培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)及利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力． 3　反比例函數(shù)的應(yīng)用 1．分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決問(wèn)題． 2．經(jīng)歷將一些實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題．發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，建立函數(shù)思想． 重點(diǎn) 根據(jù)具體情境建立反比例函數(shù)的模型，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題． 難點(diǎn) 理解反比例函數(shù)的實(shí)際意義． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1．什么是反比例函數(shù)？ 2．反比例函數(shù)的圖象是什么？ 3．反比例函數(shù)的圖象有什么性質(zhì)？ 教師指名學(xué)生回答． 二、探究新知 1．課件出示： 某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地．為安全、迅速通過(guò)這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時(shí)通道，從而順利完成了任務(wù)．你能解釋他們這樣做的道理嗎？當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S(m2)的變化，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p(Pa)將如何變化？ 如果人和木板對(duì)濕地地面的壓力合計(jì)600 N，那么 (1)用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？ (2)當(dāng)木板畫(huà)積為0.2 m2時(shí)，壓強(qiáng)是多少？ (3)如果要求壓強(qiáng)不超過(guò)6 000 Pa，木板面積至少要多大？ (4)在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象． (5)請(qǐng)利用圖象對(duì)(2)和(3)作出直觀解釋． 學(xué)生思考后給出答案，教師點(diǎn)評(píng)，并強(qiáng)調(diào)：①畫(huà)函數(shù)圖象的三個(gè)步驟，②畫(huà)出的圖象應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義，也就是列表時(shí)應(yīng)注意自變量的取值范圍，并可根據(jù)圖象的性質(zhì)回答相關(guān)的問(wèn)題． 2．課件出示： 蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，用電器的電流I(A)與電阻R(Ω)間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示： (1)蓄電池的電壓為多少？你能寫(xiě)出這一函數(shù)的表達(dá)式嗎？ (2)完成下表，并回答問(wèn)題：如果蓄電池為電源的用電器限制電流不得超10 A，那么用電器的可變電阻應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 分析：圖象上所提供的信息包括：①直觀上看，I與R之間的關(guān)系可能是反比例函數(shù)關(guān)系，利用相關(guān)知識(shí)IR＝U(U為定值)得到確認(rèn)； ②由圖象上點(diǎn)A的坐標(biāo)可知，當(dāng)用電器電阻為9 Ω時(shí)，電流為4 A. 解：(1)根據(jù)圖象可得，當(dāng)用電器的電阻為9 Ω時(shí)，電流為4 A．因?yàn)镮R＝U(U為定值)，所以蓄電池的電壓為U＝9×4＝36(V)．所以電流I(A)與電阻R(Ω)之間的函數(shù)關(guān)系為I＝eq \f(36,R).即I與R成反比例函數(shù)關(guān)系． (2)利用I與R之間的關(guān)系可得到下表： 如果以此蓄電池為電源的用電器，限制電流不超過(guò)10 A，即I≤10 A，所以eq \f(36,R)≤10，R≥3.6 Ω. 因此，用電器的可變電阻應(yīng)控制在大于等于3.6 Ω的范圍內(nèi)． 強(qiáng)調(diào)：我們還可以綜合運(yùn)用表格、圖象來(lái)考查此問(wèn)題，這樣我們就可以形成對(duì)反比例函數(shù)較完整的認(rèn)識(shí)． 無(wú)論從圖象還是從表格，我們都能觀察出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)I隨R的增大而減?。?dāng)I＝10 A時(shí)，R＝3.6 Ω.因此當(dāng)限制電流不超過(guò)10 A時(shí)，用電器的可變電阻應(yīng)是不小于3.6 Ω的． 3．課件出示： 如圖，正比例函數(shù)y＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y＝eq \f(k2,x)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq \r(3)，2eq \r(3))． (1)分別寫(xiě)出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式； (2)你能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)嗎？你是怎樣求的？ 分析：要求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，只要把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求出k1，k2，求點(diǎn)B的坐標(biāo)即求y＝k1x與y＝eq \f(k2,x)的交點(diǎn)． 解：(1)∵點(diǎn)A(eq \r(3)，2eq \r(3))既在y＝k1x的圖象上，又在y＝eq \f(k2,x)的圖象上． ∴eq \r(3)k1＝2eq \r(3)，2eq \r(3)＝eq \f(k2,\r(3)).∴k1＝2，k2＝6. ∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝eq \f(6,x). (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝\f(6,x)，))　得2x＝eq \f(6,x)， ∴x2＝3.∴x＝±eq \r(3).當(dāng)x＝－eq \r(3)時(shí)，y＝－2eq \r(3). ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－eq \r(3)，－2eq \r(3))． 說(shuō)明：這是一道函數(shù)綜合問(wèn)題，如有困難教師可以講解．還可以通過(guò)對(duì)稱性，借助圖形進(jìn)行理解． 教師：建立反比例函數(shù)模型來(lái)解答實(shí)際問(wèn)題的方法是什么呢？ 引導(dǎo)學(xué)生得出：①觀察圖象法；②關(guān)系式計(jì)算法． 三、練習(xí)鞏固 1．教材第159頁(yè)“隨堂練習(xí)”． 2．某學(xué)校冬季儲(chǔ)煤120噸，若每天用煤x噸，經(jīng)過(guò)y天可以用完． (1)請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)畫(huà)出函數(shù)的圖象； (3)當(dāng)每天的用煤量為1.2～1.5噸時(shí)，這些煤可用的天數(shù)在什么范圍？ 四、小結(jié) 1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 2．建立反比例函數(shù)模型來(lái)解答實(shí)際問(wèn)題的方法有哪些？ 3．反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交，兩交點(diǎn)關(guān)于什么對(duì)稱？ 五、課外作業(yè) 教材第159～160頁(yè)習(xí)題6.4第1～3題． 本節(jié)課教學(xué)的主要內(nèi)容是反比例函數(shù)的應(yīng)用，教學(xué)過(guò)程中要讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題—建立模型—拓展應(yīng)用—體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)及合作學(xué)習(xí)的能力．但在中考中此節(jié)內(nèi)容考查較簡(jiǎn)單，所以變式訓(xùn)練要適度. 綜合與實(shí)踐 制作視力表 1．通過(guò)測(cè)量、比較、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)視力表中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)． 2．通過(guò)小組合作，能借助測(cè)試距離為5 m的“E”形圖制作出一個(gè)測(cè)試距離為3 m的“E”形圖． 3．通過(guò)從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析視力表，初步形成“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活息息相關(guān)． 重點(diǎn) 探索視力表中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)． 難點(diǎn) 從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用已有的知識(shí)解決問(wèn)題． 一、情境導(dǎo)入 教師：視力表對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生．但你想過(guò)嗎？視力表中蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)知識(shí)．你知道是什么知識(shí)嗎？ 教師：本節(jié)課我們就來(lái)探索視力表中蘊(yùn)含的奧秘． 二、探究新知 1．課件出示視力表，提出問(wèn)題：度量視力表中視力為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所對(duì)應(yīng)的“E”的長(zhǎng)a、寬b、空白缺口寬d. 學(xué)生獨(dú)立測(cè)量，并把測(cè)量結(jié)果填在書(shū)上的表格中． 教師：觀察上表，你發(fā)現(xiàn)了什么？視力表中的各“E”形圖之間有什么關(guān)系？ 學(xué)生小組交流討論，共同歸納：視力表中的各“E”形圖都是長(zhǎng)與寬相等的圖形，如果把視為0.1時(shí)的“E”形圖作為基本圖形，則視力為0.2，0.3，…，2.0時(shí)的“E”形圖都與基本圖形是相似圖形． 2．課件出示： 用硬紙板復(fù)制視力表中視力為0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所對(duì)應(yīng)的“E”，并依次編號(hào)為①②③④⑤. 取編號(hào)為①②的兩個(gè)“E”，按下圖的方式把它們放置在水平桌面上． 如圖，將②號(hào)“E”沿水平桌面向右移動(dòng)，直至從右側(cè)點(diǎn)O看去，點(diǎn)P1，P2，O在一條直線上為止．這時(shí)我們說(shuō)，在D1處用①號(hào)“E”測(cè)得的視力與在D2處用②號(hào)“E”測(cè)得的視力相同． 教師：從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？ 學(xué)生小組內(nèi)討論，教師點(diǎn)評(píng)． 因?yàn)棰偬?hào)“E”與②號(hào)“E”都水平放置在桌面上，它們與桌面的邊緣是垂直的．因此b1∥b2，又P1，P2，O在一條直線上，所以∠O為公共角，根據(jù)相似三角形的判定方法，兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，得△P1A1O∽△P2A2O. 當(dāng)人離①號(hào)“E”的水平距離l1與人離②號(hào)“E”的水平距離l2滿足eq \f(l2,l1)＝eq \f(b2,b1)時(shí)，用①號(hào)“E”測(cè)得的視力和②號(hào)“E”測(cè)得的視力相同． 3．課件出示： 按照上述方式，將①～⑤各個(gè)“E”排列成如圖所示的樣子． 教師：從圖中你能得到什么？ 學(xué)生小組內(nèi)討論交流匯報(bào)答案，教師點(diǎn)評(píng)．并進(jìn)一步講解： 按照上面大家討論的結(jié)果，可以猜想得出，在D1處用①號(hào)“E”測(cè)得的視力，與在D2處用②號(hào)“E”測(cè)得的視力，在D3處用③號(hào)“E”測(cè)得的視力，在D4處用④號(hào)“E”測(cè)得的視力，在D5處用⑤號(hào)“E”測(cè)得的視力都相同． 教師：根據(jù)剛才大家討論出的結(jié)論，我們可以據(jù)此自己制作視力表． 若一個(gè)視力表中的視力為0.1的“E”的長(zhǎng)、寬都為60 mm，空白缺口寬為12.5 mm，求視力為0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0時(shí)“E”的長(zhǎng)、寬、空白缺口寬． 學(xué)生獨(dú)立制作視力表，教師巡視指導(dǎo)． 三、練習(xí)鞏固 現(xiàn)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)視力表，它要求的測(cè)試距離為5 m．根據(jù)這個(gè)視力表，怎樣制作一個(gè)測(cè)試距離為3 m的視力表？如果要求測(cè)試距離為8 m呢？ 四、小結(jié) 1．視力表中的各“E”形圖之間有什么關(guān)系？ 2．如何找視力相同的圖形“E”的大小和它的落腳點(diǎn)？ 五、課外作業(yè) 到有關(guān)單位進(jìn)行調(diào)查，目前較為通用的視力表有哪幾種？它們與我們上面討論的視力表是一種什么換算關(guān)系？整理調(diào)查結(jié)果并寫(xiě)出調(diào)查報(bào)告． 本節(jié)課，教師從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)有層次、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)了許多與實(shí)際生活有關(guān)的問(wèn)題情境，活躍了課堂氣氛，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究興趣．如開(kāi)始讓學(xué)生觀察生活中的視力表，再以標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表為例觀察分析這些“E”形圖的整體特點(diǎn)，體現(xiàn)了相似、位似知識(shí)在生活中的應(yīng)用等，初步形成對(duì)相似圖形的整體認(rèn)識(shí)；再通過(guò)為學(xué)生測(cè)視力引出問(wèn)題，利用動(dòng)畫(huà)制作把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究每一個(gè)“E”形圖的特點(diǎn)．教師有效地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度、用數(shù)學(xué)的方法研究實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了綜合實(shí)踐課學(xué)習(xí)的價(jià)值．本課以學(xué)生的主動(dòng)參與為基礎(chǔ)，以學(xué)生的思維發(fā)展為目標(biāo)，讓他們懂得如何去自主探究、合作交流．教師給學(xué)生提供了較多的空間和時(shí)間，各組成員都有機(jī)會(huì)做匯報(bào)展示，小組交流合作探究是本節(jié)課最主要的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的主體作用得到充分的發(fā)揮． 猜想、證明與拓廣 1．經(jīng)歷猜想、證明、拓廣的過(guò)程，增強(qiáng)問(wèn)題意識(shí)和自主探索意識(shí)，獲得探索和發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)． 2．在問(wèn)題解決過(guò)程中綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成對(duì)數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識(shí)． 3．在探究過(guò)程中，感受由特殊到一般的思維規(guī)律和數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想方法，體會(huì)證明的必要性． 4．在合作交流中擴(kuò)展思路，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神． 重點(diǎn) 探究“任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積，分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍”，從而獲得解決問(wèn)題的方法和途徑． 難點(diǎn) 綜合運(yùn)用一元二次方程、方程組、函數(shù)等知識(shí)發(fā)現(xiàn)具有一般性的結(jié)論． 一、情境導(dǎo)入 教師：同學(xué)們，圖片中的人物你們認(rèn)識(shí)嗎？對(duì)，他是偉大的物理學(xué)家——牛頓．他在思考蘋(píng)果為什么落地的問(wèn)題時(shí)，首先做出了大膽的猜想，最終得出了一個(gè)偉大的結(jié)論——牛頓萬(wàn)有引力定律．同時(shí)也給我們留下了一句名言：沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明．當(dāng)然，僅靠大膽的猜想，并不能對(duì)問(wèn)題作出正確的決策和判斷，那么，怎樣才能對(duì)問(wèn)題作出全面、正確的決策和判斷呢？本節(jié)課我們就一起探究解決問(wèn)題的策略與方法——猜想、證明與拓廣． 二、探究新知 1．感悟猜想 教師：已知一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知正方形周長(zhǎng)和面積的2倍？ 引導(dǎo)學(xué)生思考：(1)要對(duì)這個(gè)問(wèn)題作出合理的猜想，首先應(yīng)怎么做？ (2)你得出的猜想是什么？你的猜想對(duì)任意正方形一定適用嗎？ 學(xué)生討論交流后回答，教師點(diǎn)評(píng)，并進(jìn)一步講解： 猜想是在對(duì)具體事例的研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比或歸納得出的具有普遍性的結(jié)論．猜想前所需經(jīng)歷的重要過(guò)程就是特例嘗試，要使得猜想合理化，就要通過(guò)特例嘗試． 2．體會(huì)證明 猜想結(jié)論：任意給定一個(gè)正方形，不存在另一個(gè)正方形，使它的周長(zhǎng)和面積分別是已知正方形周長(zhǎng)和面積的2倍． 教師：你的猜想正確嗎？對(duì)任意正方形一定適用嗎？如何知道猜想的正確性？ 學(xué)生思索、討論、交流意識(shí)到：通過(guò)幾個(gè)特例得來(lái)的猜想不一定適用于所有正方形，必須要經(jīng)過(guò)證明從而體會(huì)到證明的必性． 3．學(xué)會(huì)拓廣 教師：由正方形的倍增問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，從改變圖形或改變條件或?qū)⒋私Y(jié)論向更一般化的規(guī)律上去拓廣等角度出發(fā)，你能提出新的問(wèn)題嗎？ 學(xué)生思考、討論、交流，分析出：此命題受圖形、周長(zhǎng)、面積及2倍等條件因素的影響． 教師：如果改變某一條件，新的命題就會(huì)生成，這就是拓廣．拓廣就是改變命題的某一條件，生成新的命題；拓廣就是新一輪的猜想；拓廣就是舉一反三、思維的更高境界. 三、舉例分析 例1　任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍？面對(duì)矩形倍增問(wèn)題，你有怎樣的研究過(guò)程和步驟？請(qǐng)說(shuō)出你的研究步驟． 學(xué)生小組合作研討解決此問(wèn)題的主體步驟．每組可任選一種矩形的長(zhǎng)和寬進(jìn)行研究．然后得出確定的結(jié)論，注意解題策略的多樣性，小組活動(dòng)后展示本組的思維成果． 例2　任意給定一個(gè)矩形，是否一定存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積，分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？ 學(xué)生思考、討論、交流、歸納． 四、練習(xí)鞏固 1．當(dāng)矩形滿足什么條件時(shí)，存在一個(gè)新矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？ 2．自學(xué)教材第168頁(yè)“讀一讀”． 五、小結(jié) 1．知識(shí)方面： (1)任意給定一個(gè)正方形，一定不存在另一個(gè)正方形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知正方形的2倍； (2)任意給定一個(gè)矩形，一定存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍． 2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法方面： (1)轉(zhuǎn)化思想——幾何中圖形是否存在的問(wèn)題，常常把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)中方程是否有解的問(wèn)題加以解決； (2)特殊到一般的思想——對(duì)一個(gè)問(wèn)題的研究，一般先從特殊開(kāi)始，然后再到一般． 六、課外作業(yè) 教材169～170頁(yè)習(xí)題第1～4題． 在實(shí)際教學(xué)中，我們常被課本或教學(xué)參考書(shū)中的教學(xué)設(shè)計(jì)模式牢牢套住，授課時(shí)按部就班，有時(shí)顯得十分牽強(qiáng)附會(huì)．本設(shè)計(jì)盡可能做到擺脫課本內(nèi)容模式對(duì)授課過(guò)程的束縛，在學(xué)生行動(dòng)上先從簡(jiǎn)單易操作的動(dòng)手試驗(yàn)入手，力求營(yíng)造一個(gè)輕松愉快的課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲．在內(nèi)容上先從最特殊的正方形的探究入手，讓學(xué)生在輕松愉快的活動(dòng)過(guò)程中建立起思考和解決問(wèn)題的模式．然后循序漸進(jìn)，通過(guò)類比、實(shí)驗(yàn)、探索、猜想、驗(yàn)證和拓廣的數(shù)學(xué)模型，提出和解決了矩形的相關(guān)問(wèn)題．然而，本課題中的具體問(wèn)題僅是一個(gè)展示平臺(tái)，在教學(xué)活動(dòng)中感悟問(wèn)題的產(chǎn)生和提出，體會(huì)知識(shí)的歸納、綜合與拓展，領(lǐng)會(huì)處理與解決問(wèn)題的方法與策略，積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才是本課題教學(xué)應(yīng)追求實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)．因此，本節(jié)課教學(xué)更側(cè)重于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的提高，努力滲透數(shù)學(xué)思想方法、問(wèn)題的處理和解決策略等，并力求做到人人參與，使不同的學(xué)生均有不同的收獲． 池塘里有多少條魚(yú) 1．進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的聯(lián)系以及用樣本去估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想． 2．初步感受統(tǒng)計(jì)推斷的合理性. 3．發(fā)展學(xué)生與人合作交流的意識(shí)和能力． 重點(diǎn) 結(jié)合具體情境，初步感受統(tǒng)計(jì)推斷的合理性． 難點(diǎn) 進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系． 一、情境導(dǎo)入 教師：要想知道一個(gè)魚(yú)缸里有多少條魚(yú)，應(yīng)怎么辦？ 學(xué)生：只要數(shù)一數(shù)就可以． 教師：如果要想知道魚(yú)塘里有多少條魚(yú)，該怎么辦呢？ 教師：在日常生活中，有些對(duì)象可以通過(guò)直觀數(shù)數(shù)的方法準(zhǔn)確計(jì)量，而有些對(duì)象由于數(shù)量很大，我們無(wú)法直接用數(shù)數(shù)的方法去計(jì)量．本節(jié)課我們就一起以“池塘里有多少條魚(yú)”為課題，來(lái)探索一種科學(xué)而有效的方法． 二、探究新知 1．活動(dòng)一： 教師：首先我們來(lái)看一個(gè)熟悉的試驗(yàn)：(課件出示) 問(wèn)題1: 一個(gè)口袋中有8個(gè)黑球和32個(gè)白球，任意摸出一個(gè)，摸到黑球的概率有多大？若任意摸出10個(gè)，你能推斷這10個(gè)中可能有幾個(gè)黑球嗎？為什么？ 學(xué)生思考回答：球的總個(gè)數(shù)是40，黑球所占比例為eq \f(1,5)，故任意摸出10個(gè)，能推斷這10個(gè)中可能有2個(gè)黑球． 問(wèn)題2：如果口袋中有8個(gè)黑球和若干個(gè)白球，不允許將球倒出來(lái)數(shù)，那么你能估計(jì)出其中的白球數(shù)嗎？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，試一試． 啟發(fā)學(xué)生思考，小組討論后可能會(huì)引出下列兩種方法． 第一種方法： 從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，我共摸了200次，其中有57次摸到黑球． 假設(shè)口袋中有x個(gè)白球，通過(guò)多次試驗(yàn)，可以得出摸出黑球的頻率，依此，我們可以估計(jì)出從口袋中摸出1個(gè)球，它為黑球的概率．解得x≈20. 在學(xué)生提出這一個(gè)方案后，教師可以提問(wèn)：為什么要把摸出的球放回口袋中，如果不放回可以嗎？ 第二種方法： 利用抽樣調(diào)查的方法，從口袋中一次摸出10個(gè)球，求出其中黑球數(shù)與10的比值，再把球放回口袋中．不斷重復(fù)上述過(guò)程．我總共摸了20次，黑球數(shù)與10的比值的平均數(shù)為0.25. 假設(shè)口袋中有x個(gè)白球，通過(guò)多次抽樣調(diào)查，求出樣本中黑球數(shù)與總球數(shù)比值的“平均水平”，這個(gè)“平均水平”應(yīng)近似等于口袋中黑球的概率．解得x ≈24. 在學(xué)生得到上述兩種方法后，引導(dǎo)學(xué)生討論： (1)這兩種方法合理嗎？?jī)煞N方法的依據(jù)有什么不同？ (第一種方法是利用頻率估計(jì)概率，第二種方法是利用樣本估計(jì)總體) (2) 這兩種方案計(jì)算的結(jié)果一樣嗎？(兩種方案的計(jì)算結(jié)果都是近似值，都有誤差) (3)怎樣才能獲得較為精確的估計(jì)值呢？ (保證摸球的隨機(jī)性，使試驗(yàn)次數(shù)盡可能的多，進(jìn)而求“平均值”，是減小誤差的有效方法．當(dāng)總數(shù)較小時(shí)，用第一種方法比較精確；當(dāng)總數(shù)較大時(shí)，用第二種方法具有現(xiàn)實(shí)意義) 學(xué)生對(duì)問(wèn)題的討論的過(guò)程中，看法多種多樣，只要有道理教師應(yīng)給予肯定與鼓勵(lì)． 2．活動(dòng)二： 活動(dòng)內(nèi)容：分組活動(dòng)進(jìn)行摸球試驗(yàn)收集數(shù)據(jù)． 活動(dòng)過(guò)程：在每個(gè)小組的口袋中放入已知個(gè)數(shù)的黑球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外都相同． (1)分別利用上述兩種方法估計(jì)口袋中所放的白球數(shù). (學(xué)生動(dòng)手操作，老師巡視指導(dǎo)) 　　學(xué)生完成后，分組匯報(bào)結(jié)果，老師把同學(xué)的數(shù)據(jù)填在表格里，然后，老師繼續(xù)出示下列問(wèn)題： (2)打開(kāi)口袋，數(shù)數(shù)口袋中白球的個(gè)數(shù)，你們的估計(jì)值與實(shí)際結(jié)果一致嗎？為什么？ (學(xué)生議論計(jì)算結(jié)果的精確情況) (3)全班交流，看看各組的估計(jì)結(jié)果是否一致．各組結(jié)果與實(shí)際情況的差別有多大？ (4)怎樣可以使估計(jì)結(jié)果較為準(zhǔn)確？ 3．活動(dòng)三： 如果口袋中只有若干個(gè)白球，沒(méi)有其他顏色的球，而且無(wú)法全部將球倒出來(lái)數(shù)，那么你如何估計(jì)出口袋中的白球數(shù)量呢？與同伴交流． 學(xué)生分組自由討論，討論完成后得出以下方法： 方法1：另外找?guī)讉€(gè)黑球放入口袋就可以了． 方法2：如果沒(méi)有黑球，將口袋中的幾個(gè)白球染成黑色． 方法3：給其中幾個(gè)白球做上了標(biāo)記． 三、舉例分析 例　赤峰某地區(qū)為估計(jì)該地區(qū)黃羊的只數(shù)，先捕捉20只黃羊給它們分別作上標(biāo)記，然后放還，待有標(biāo)記的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉40只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中兩只有標(biāo)記，從而估計(jì)這個(gè)地區(qū)有黃羊__________只． 分析：第二次捕捉40只黃羊，并以其中有標(biāo)記的2只黃羊的比例作整個(gè)赤峰某地區(qū)有標(biāo)記的黃羊的比例，據(jù)此估計(jì)該地區(qū)黃羊的數(shù)量． 解：估計(jì)這個(gè)地區(qū)有黃羊x只，則 2∶40＝20∶x， x＝400. 即估計(jì)該地區(qū)有黃羊400只． 四、練習(xí)鞏固 1．小明想知道自家魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量，他先從魚(yú)塘中撈出100條魚(yú)分別作上記號(hào)，再放回魚(yú)塘，等魚(yú)完全混合后，第一次撈出100條魚(yú)，其中有4條帶標(biāo)記的魚(yú)，放回后，第二次又撈出100條魚(yú)，其中有6條帶標(biāo)記的魚(yú)，請(qǐng)你幫他估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量是多少． 2．一個(gè)口袋中有10個(gè)紅球和若干個(gè)白球，請(qǐng)通過(guò)以下試驗(yàn)估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)：從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色，再把它放回口袋中攪勻，不斷重復(fù)上述過(guò)程，試驗(yàn)中共摸了200次，其中50次摸到紅球．求口袋中有多少個(gè)白球． 五、小結(jié) 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 六、課外作業(yè) 1．一個(gè)盒子中有6個(gè)白球，每次隨意取出一個(gè)放回再取，重復(fù)200次，有40次取出的是白球，其他顏色的球有多少個(gè)？ 2．木箱中有6個(gè)紅球，2個(gè)黃球，還有一些藍(lán)球，每次從中隨意摸出一個(gè)球再放回，共摸100次，其中有15次是紅球，4次是黃球，那么藍(lán)球大約有多少個(gè)？ 本節(jié)課采用“創(chuàng)設(shè)情境——探索新知——?dú)w納新知——運(yùn)用新知”為主線的教學(xué)思維過(guò)程．在學(xué)習(xí)過(guò)程中充分體現(xiàn)教師引導(dǎo)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)理念．根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，通過(guò)試驗(yàn)解決口袋中白球的問(wèn)題，意在讓學(xué)生體會(huì)研究概率的方法，感受概率與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系． 個(gè)別小組沒(méi)有明確試驗(yàn)方向，多數(shù)小組采用第一種做法，教師在試驗(yàn)之前可以先引導(dǎo)全體學(xué)生分析可行的試驗(yàn)方法，并且各個(gè)小組可以在同一時(shí)間內(nèi)用兩種方法進(jìn)行試驗(yàn)，這樣學(xué)生在做試驗(yàn)的同時(shí)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)比較兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)．從而讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在我們身邊，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，用于生活． R/Ω20406080100I/Ax－2－1－eq \f(1,2)eq \f(1,2)13yeq \f(2,3)2－1表達(dá)式　圖象的位置　y隨x的變化情況y＝eq \f(4,x)圖象在第一、三象限內(nèi)在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨著x值的增大而減小y＝eq \f(－4,x)圖象在第二、四象限內(nèi)在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨著x值的增大而增大R/Ω345678910I/A4R/Ω345678910I/A129eq \f(36,5)6eq \f(36,7)eq \f(9,2)4eq \f(18,5)組估計(jì)值實(shí)際值差值12345

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