6.4　平面向量的應(yīng)用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
b2＋c2－2bccs A　
c2＋a2－2cacs B　
a2＋b2－2abcs C　
一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做___________.
[微提醒]　(1)利用余弦定理可以解兩類有關(guān)三角形的問題①已知兩邊及其夾角，解三角形；②已知三邊，解三角形.(2)余弦定理和勾股定理的關(guān)系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，若角C＝90°，則csC＝0，于是c2＝a2＋b2，這說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.
[分析]　(1)由余弦定理可直接求第三邊；(2)先由余弦定理建立方程，從中解出BC的長(zhǎng).
[歸納提升]　已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解.(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其它角.
在△ABC中，a︰b︰c＝3︰5︰7，求其最大內(nèi)角.[分析]　由已知條件知角C為最大角，然后利用余弦定理求解.
[歸納提升]　已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求一個(gè)角，繼續(xù)用余弦定理求另一個(gè)角，進(jìn)而求出第三個(gè)角.
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs Bcs C，試判斷△ABC的形狀.[分析]　思路一，利用正弦定理將已知等式化為角的關(guān)系；思路二，利用余弦定理將已知等式化為邊的關(guān)系.[解析]　已知等式變形為b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccs B·cs C，∴b2＋c2＝b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs B·cs C，∵b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs Bcs C＝(bcsC＋ccsB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC為直角三角形.
[歸納提升]　利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，試判斷△ABC的形狀.
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.
設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
忽略三角形三邊關(guān)系導(dǎo)致出錯(cuò)
[名師點(diǎn)津]　由于余弦定理及公式的變形較多，且涉及平方和開方等運(yùn)算，可能會(huì)因不細(xì)心而導(dǎo)致錯(cuò)誤.在利用余弦定理求出三角形的三邊時(shí)，還要判斷一下三邊能否構(gòu)成三角形.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　在鈍角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范圍.

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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