高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第二冊6.4 平面向量的應(yīng)用第3課時(shí)課時(shí)訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第3課時(shí)　余弦定理、正弦定理的綜合必備知識基礎(chǔ)練　1．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，那么cos C的值為(　　)A． B．C．－ D．2．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積等于(　　)A．9 B．18C．9 D．183．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2bc sin A＝b2＋c2－a2，△ABC的外接圓半徑為，則a的值為(　　)A．1 B．2C． D．24．在△ABC中，若b＝1，A＝60°，△ABC的面積為，則a＝(　　)A．13 B．C．2 D．5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝(　　)A．2 B．C． D．6．在△ABC中，B＝45°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則邊AB的長是(　　)A．4 B．C． D．27．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin C＝2sin A，b＝a，則B＝________．8．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin B cos C，則△ABC的面積為________． 9．在銳角△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2c sin A.(1)確定角C的大?。?/span>(2)若c＝，且ab＝6，求邊a，b. 10．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b sin A＝a.(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，且a＝2c，b＝2，求△ABC的面積．關(guān)鍵能力綜合練　 1．在△ABC中，若△ABC的面積S＝(a2＋b2－c2)，則C＝(　　)A． B．C． D．2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為2，B＝，a2＋c2＝3ac，則b＝(　　)A．2 B．2C．4 D．43．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的命題是(　　)A．若＝＝，則△ABC一定是等邊三角形B．若a cos A＝b cos B，則△ABC一定是等腰三角形C．若b cos C＋cos B＝b，則△ABC一定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2>0，則△ABC一定是銳角三角形4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＋b2＝c2－ab，且AB邊上的中線CD＝1，則△ABC面積的最大值為(　　)A． B．C．3 D．25．邊長為3的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，DE將△ABC的面積分為相等的兩部分，若AD＝2，此時(shí)DE＝(　　)A． B．C．2 D．6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a＋b)2－c2＝6，C＝60°，則△ABC的面積為________．7.如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4，則AC＝________．8．△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠ACB＝45°.(1)求∠BAC；(2)平面四邊形ABCD中，BC＝2CD，∠ABC＋∠ADC＝180°，求△ACD的面積． 9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b sin B＋a sin A＝b sin A＋c sin C.(1)求角C；(2)若c＝2，求a＋b的最大值． 10．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c－a sin B＝a cos B－b.(1)求A；(2)若b＝c，且BC邊上的高為2，求a. 11．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝，△ABC的面積S＝(c sin C＋a sin A－b sin B).(1)求B；(2)求△ABC周長的取值范圍．核心素養(yǎng)升級練　 1．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足sin B＋2sin A cos C＝0，則(　　)A．△ABC是銳角三角形B．角B的最大值為C．角C的最大值為D．sin2022A＋sin2022B<sin2022C2．海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為：S＝，p＝；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，雖然它與海倫公式形式上有所不同，但它與海倫公式完全等價(jià)，因此海倫公式又譯作海倫－秦九韶公式．現(xiàn)在有周長為10＋2的△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為________．3．從①＝a；②a sin B－b cos B cos C＝c cos2B；③(sinA－sin C)2＝sin2B－sinA sin C這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若________．(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，c＝1，求a的取值范圍．注：若選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．第3課時(shí)　余弦定理、正弦定理的綜合必備知識基礎(chǔ)練1．答案：B解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，∴由正弦定理可得a∶b∶c＝4∶3∶2，可得：a＝，c＝，由余弦定理可得cos C＝＝＝.故選B.2．答案：C解析：根據(jù)正弦定理得：＝，所以AC＝＝6，因?yàn)?/span>C＝180°－B－A＝30°，所以S△ABC＝×CA×CB×sin C＝9.故選C.3．答案：B解析：由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc cos A，∴2bc sin A＝2bc cos A，∴tan A＝1，又∵0<A<π，∴A＝，由正弦定理得＝2R，即a＝2R sin A＝2××＝2，故選B.4．答案：B解析：在△ABC中，b＝1，A＝60°，△ABC的面積為，所以S△ABC＝bc sin A＝×1×c×＝，解得c＝4.由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋16－4＝13，所以a＝.故選B.5．答案：B解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝，由余弦定理得cos A＝＝，∴＝×＝.故選B.6．答案：C解析：△ACD中cos C＝＝＝，所以sin C＝＝，△ABC中，由正弦定理＝得AB＝＝＝.故選C.7．答案：解析：由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系可得：c＝2a，而b＝a，又cos B＝＝＝，又0<B<π，所以B＝.8．答案：2解析：依題意sin A＝2sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2＝2×3×cos C，cos C＝>0，所以0<C<，所以sin C＝＝，所以三角形ABC的面積為ab sinC＝×2×3×＝2.9．解析：(1)由a＝2c sin A及正弦定理得＝＝，因?yàn)閟in A>0，故sin C＝，又銳角△ABC，所以C＝.(2)由余弦定理a2＋b2－2ab cos ＝7，ab＝6，得a2＋b2＝13，解得或.10．解析：(1)由正弦定理＝，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a，所以sin B＝，又∵B為△ABC的一個(gè)內(nèi)角，∴B∈(0，π)，∴B＝或.(2)∵△ABC為銳角三角形，則B＝，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以24＝4c2＋c2－2c2，解得c＝2(負(fù)值舍去)，所以a＝2c＝4.∴S△ABC＝ac sin B＝×4×2×＝4.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：A解析：由題意可知，在△ABC中，滿足S＝(a2＋b2－c2)，即ab sin C＝(a2＋b2－c2)，又由cos C＝，所以ab sin C＝ab cos C，即sin C＝cos C，因?yàn)?/span>C∈(0，π)，所以當(dāng)cos C＝0即C＝時(shí)顯然不成立．所以tan C＝1，又由C∈(0，π)，所以C＝.故選A.2．答案：C解析：因?yàn)椤?/span>ABC的面積為2，B＝，所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝2，所以ac＝8，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝2ac＝16，所以b＝4.故選C.3．答案：A解析：由正弦定理＝＝，若＝＝，則tan A＝tan B＝tan C，A，B，C為三角形內(nèi)角，所以A＝B＝C，三角形是等邊三角形，A正確；若a cos A＝b cos B，由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，A，B∈(0，π)，則2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；例如b＝，C＝，B＝，滿足b cos C＋cos B＝b，但此時(shí)△ABC不是等腰三角形，C錯(cuò)；a2＋b2－c2>0時(shí)，由余弦定理可得cos C＝>0，即C為銳角，但A，B是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯(cuò)．故選A.4．答案：A解析：由a2＋b2＝c2－ab，得cos ∠ACB＝＝－?∠ACB＝120°，如圖，作出平行四邊形ACBE，則△ABC與△ACE的面積相等．在△ACE中，∠CAE＝60°，CE＝2，則cos ∠CAE＝＝，∴a2＋b2－ab＝4.又a2＋b2－ab≥ab，∴ab≤4，∴S△ACE＝ab sin 60°＝ab≤，故△ABC面積的最大值為.故選A.5．答案：B解析：因?yàn)榈冗吶切巍?/span>ABC的邊長為3，所以S△ABC＝×32＝，因?yàn)?/span>DE將△ABC的面積分為相等的兩部分，AD＝2，所以S△ADE＝AD·AE·sin ＝×2×AE×＝×，解得AE＝，在△ADE中，由余弦定理可得DE2＝22＋－2×2××＝，所以DE＝，故選B.6．答案：解析：因?yàn)?a＋b)2－c2＝6，C＝60°，所以a2＋b2－c2＝6－2ab，cos C＝＝＝，解得ab＝2，所以S△ABC＝ab sin C＝×2×＝.7．答案：2解析：在△DCA中，由正弦定理可得：＝?＝，所以AC sin ∠DAC＝2?、?，在△BCA中，由正弦定理可得：＝?＝，所以AC sin ∠CAB＝BC·?、冢忠?yàn)椤?/span>BAC＝∠DAC，所以由①②可得：BC·＝2，解得：BC＝2，所以在△BCA中，由余弦定理得：AC2＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，解得：AC＝2.8．解析：(1)由正弦定理知：＝，則sin ∠BAC＝＝＝1，∵0°<∠BAC<135°，∴∠BAC＝90°. (2)由(1)得：∠ABC＝180°－90°－45°＝45°，又∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝135°；又AC＝＝2，CD＝BC＝，由余弦定理得：AC2＝CD2＋AD2－2AD·CD cos ∠ADC＝2＋AD2＋2AD＝4，解得：AD＝－1，∴S△ACD＝AD·CD sin ∠ADC＝×(－1)××＝.9．解析：(1)由正弦定理＝＝及b sin B＋a sin A＝b sin A＋c sin C，得b2＋a2＝ab＋c2.所以由余弦定理得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.(2)因?yàn)?/span>c＝2，C＝，由余弦定理得cos C＝＝，則(a＋b)2－2ab－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號，即≤12，解得a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號，所以a＋b的最大值為4.10．解析：(1)由正弦定理，原式可化為sin C－sin A sin B＝sin A cos B－sin B，由于sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，整理得cos A sin B－sin A sin B＝－sin B.又∵sin B≠0，∴cos A－sin A＝－1，∴sin (A－)＝，∵A∈(0，π)，∴A－∈(－，)，∴A－＝，即A＝.(2)由題意可知，由S△ABC＝×a×2＝bc sin ，得bc＝4a，又b＝c，∴c2＝16a，b2＝a，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝a＋16a－4a＝13a，解得a＝13.11．解析：(1)ac sin B＝(c sin C＋a sin A－b sin B)，兩邊同時(shí)乘以2R，得abc＝(c2＋a2－b2)，根據(jù)余弦定理可知c2＋a2－b2＝2ac cos B，又b＝，所以abc＝ac cos B，得cos B＝，因?yàn)?/span>B∈(0，π)，所以B＝.(2)b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝2，因?yàn)?/span>ac≤，所以≤2，又a＋c>b＝，所以<a＋c≤2，所以2<a＋b＋c≤3，綜上，△ABC周長的取值范圍為(2，3]. 核心素養(yǎng)升級練1．答案：D解析：由sin B＋2sin A cos C＝0得b＋2a cos C＝0，則cos C<0，所以△ABC是鈍角三角形，故A不正確；由sin B＋2sin A cos C＝0得b＋2a cos C＝0，則b＋2a·＝0，整理得a2＋2b2＝c2，所以cos B＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝c2等號成立，∴B≤，故B不正確；由sin B＋2sin A cos C＝0得sin (A＋C)＋2sin A cos C＝0，化簡可得tan C＝－3tan A，則tan B＝－tan (A＋C)＝，因?yàn)?/span>C為鈍角，所以A為銳角，取C＝，得tanA＝，tan B＝，符合題意，即C可以取大于的值，故C錯(cuò)誤；由cos C<0得<0，a2＋b2<c2，＋<1，所以＋<1，即a2 022＋b2 022<c2 022，結(jié)合正弦定理可得sin2022A＋sin2022B<sin2022C，故D正確．故選D.2．答案：6解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，∴a∶b∶c＝2∶3∶，∴△ABC周長為10＋2，即a＋b＋c＝10＋2，∴a＝4，b＝6，c＝2，∴p＝＝5＋，∴△ABC的面積S＝＝6.3．解析：(1)若選①，由正弦定理得＝sin A，即sin B sin A＝sin A(1＋cos B)，因?yàn)?<A<π，所以sin A≠0，所以sin B＝1＋cos B，所以sin (B－)＝，又因?yàn)椋?/span><B－<，所以B＝.若選②，因?yàn)?/span>a sin B－b cos B cos C＝c cos2B，由正弦定理得sinA sin B＝sin B cos B cos C＋sin C cos2B，即sinA sin B＝cos B(sin B cos C＋sin C cos B)＝cos B·sin(B＋C)，所以sin A sin B＝cos B sin A，由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝，因?yàn)?/span>B∈(0，π)，所以B＝.若選③，由(sin A－sin C)2＝sin2B－sinA sin C，化簡得sin2A＋sin2C－sin2B＝sinA sin C.由正弦定理得：a2＋c2－b2＝ac，即＝，所以cos B＝.因?yàn)?/span>B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由正弦定理＝，得a＝，由(1)知：B＝，又c＝1代入上式得：a＝＝＝＋.因?yàn)?/span>△ABC為銳角三角形，所以，解得C∈(，)，所以tan C>，所以a＝＋∈(，2).

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