豎電線桿時(shí)，電線桿所在的直線與地面應(yīng)滿足怎樣的位置呢？為了讓一面墻砌的穩(wěn)固，不易倒塌，不易倒塌，墻面所在的平面與地面又應(yīng)該滿足怎樣的位置關(guān)系呢？
二面角定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。記法棱為l,兩個(gè)面分別為α、β的二面角記作α-l-β。畫法 如圖
思考：二面角的平面角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)嗎，為什么？
答：無關(guān).如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān).
二面角的平面角的特點(diǎn)：（1)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上（2)角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)（3)角的兩邊都與棱垂直
例一:已知，如圖所示銳二面角α-l-β，A為面α內(nèi)一點(diǎn)，A到β的距離為2 ，到l的距離為4.求二面角α-l-β的大小.
利用平面角求二面角大小的步驟：（1)作二面角的平面角（2)證明該角為平面角（3)歸納到三角形求值簡(jiǎn)記：一作、二找、三求解
例二：如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。?br/>解：由已知PA⊥平面ABC，BC在平面ABC內(nèi)∴PA⊥BC∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥平面PAC又PC在平面PAC內(nèi)，∴PC⊥BC又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°
面面垂直定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直，平面α與β垂直，記作α⊥β
探究：建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛錘來檢測(cè)所砌的墻面與地面是否垂直，如果系有鉛錘的細(xì)繩緊貼墻面，工人師傅被認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面，這種方法說明了什么道理？
這個(gè)方法說明，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直。
定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。符號(hào)語言：l α，l⊥β，則α⊥β。
例三：如圖所示，在四面體A－BCD中，BD＝ a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求證：平面ABD⊥平面BCD.
解：取BD中點(diǎn)M,連接AM,CM則∠AMC為二面角A-BD-C的平面角，AM=CM= ,在△AMC中，AC=a,AM2+CM2=AC2，∴∠AMC=90°即二面角為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD
總結(jié)：用定義證明兩個(gè)平面垂直的步驟利用兩個(gè)平面互相垂直的定義可以直接判定兩個(gè)平面垂直，判定的方法是：①找出兩個(gè)相交平面的平面角；②證明這個(gè)平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個(gè)平面互相垂直．
練習(xí)一：如圖所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證：平面A'BD垂直平面ACC'A'
證明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方體∴AA'⊥平面ABCD∴AA'⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面ACC'A'∴平面A'BD⊥平面ACC'A'
例四：如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，求證:平面PAC⊥平面PBC
證明：∵PA⊥平面ABCBC在平面ABC內(nèi)∴PA⊥BC∵點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，AB是圓O的直徑∴∠BCA=90°即BC⊥AC又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中∴BC在平面PBC內(nèi)∴平面PAC⊥平面PBC
練習(xí)二：如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1
證明：∵四邊形BCC1B1為梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C內(nèi)，∴平面AB1C⊥A1BC1
探究：如圖，設(shè)α⊥β，α∩β=a,則β內(nèi)任意一條直線b與a有什么關(guān)系？相應(yīng)的b與α有什么位置關(guān)系？
證明：顯然b與a平行或相交，當(dāng)b//a時(shí)，b//α;當(dāng)b與a相交時(shí)，b與α也相交。而當(dāng)b垂直a時(shí)，b也垂直α。
定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直。符號(hào)語言：α⊥β，α∩β=a,b α，則b⊥β
練習(xí)三：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，側(cè)面△PAD為等邊三角形.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論.
證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖，因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD中點(diǎn)，所以BG⊥AD。又因?yàn)锽G∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因?yàn)镻B屬于平面PGB，所以AD⊥PB。
（2）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD如圖設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DF，EF，DE，則在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF屬于平面DEF，DE屬于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD屬于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD
規(guī)律方法 證明兩兩垂直常用的方法：(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直.(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.
練習(xí)四：如圖PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求證：AB⊥BC
證明：如圖過點(diǎn)A作AD⊥PB于點(diǎn)D,∵平面PAB垂直平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PBAD在平面PAB內(nèi)∴AD⊥平面PBC又∵BC在平面PBC內(nèi)∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)∴BC⊥PA又∵AD∩PA=A∴BC⊥平面PAB,又∵AB在平面PAB內(nèi)∴BC⊥AB
探究二：設(shè)平面α⊥平面β，點(diǎn)P在平面α內(nèi)，過點(diǎn)P作平面β的垂線a,直線a與平面α有什么位置關(guān)系？
證明：我們知道，過一點(diǎn)只能做一條直線與已知平面垂直，因此，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線重合。如圖，設(shè)α∩β=c,過點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線b⊥c，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，b⊥β，因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與平面β垂直，所以直線a與直線b重合，因此a在α內(nèi)。
平面與平面垂直的性質(zhì)定理
例五：如圖，已知平面α垂直平面β，直線a⊥β，a不在α內(nèi)，判斷a與α的位置關(guān)系。
解：在α內(nèi)作垂直于α與β的直線b∵α⊥β，∴b⊥β又a⊥β∴a//b又a不在α內(nèi)∴a//α即直線a與平面α平行
例六：如圖，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求證：BC⊥平面PAB
證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PB,垂足為E∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC∴AE⊥平面PBC∵BC在平面PBC內(nèi)∴AE⊥BC∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)∴PA⊥BC又PA∩AE=A∴BC⊥平面PAB
例七：如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.
證明（1）連接BD，如圖，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°∴△ABD為正三角形又∵G是AD的中點(diǎn)∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD內(nèi)，∴BG⊥平面PAD
（2）∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD由（1）知BG⊥AD∴AD⊥平面PBG∴AD⊥PB
總結(jié)：應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線.
一、如圖所示，四棱錐P-ABCD是菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD。證明：平面PBE⊥平面PAB
證明：如圖，連接BD,由四邊形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，知△BCD是等邊三角形。因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，∴BE⊥CD，又AB//CD所以BE⊥AB又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE在平面ABCD內(nèi)，所以PA垂直BE又PA∩AB=A，因此BE垂直平面PAB又BE在平面PBE內(nèi)，所以平面PBE⊥平面PAB
二、在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD證明：AB⊥平面VAD
證明：由于面VAD是正三角形設(shè)AD的中點(diǎn)為E，則VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD則VE⊥AB，又面ABCD是正方形，則AB⊥AD故AB面VAD。

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