問(wèn)題一：一家家具廠要為樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級(jí)學(xué)生的平均身高，以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標(biāo)準(zhǔn)高度。已知樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)有712名學(xué)生，其中男生有326名，女生有386名。如果要通過(guò)抽查的方法調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生的平均身高，你有什么辦法？應(yīng)該怎么抽取樣本？
可以用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽簽法或者隨機(jī)數(shù)法。
抽簽法：先給712名學(xué)生編號(hào)，例如1~712進(jìn)行編號(hào)；然后把所有編號(hào)寫(xiě)在外觀、質(zhì)地等無(wú)差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號(hào)簽，并將這些小紙片放在一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?；最后從盒中不放回地逐個(gè)抽取號(hào)簽，使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的人數(shù)。
問(wèn)題二：針對(duì)以上抽樣方法，你發(fā)現(xiàn)了什么不足之處？
隨機(jī)數(shù)法：先給712名學(xué)生編號(hào)，例如1~712進(jìn)行編號(hào)；用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1~712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入樣本；重復(fù)上述過(guò)程，直到抽足樣本所需要的人數(shù)。
抽樣調(diào)查最核心的問(wèn)題就是樣本的代表性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會(huì)出現(xiàn)比較“極端”的樣本。例如，在問(wèn)題一的調(diào)查中，可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來(lái)自高個(gè)子或者矮個(gè)子的情形。這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)大幅度偏離總體平均數(shù)，從而使得估計(jì)出現(xiàn)誤差。
問(wèn)題三：在樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)有712名學(xué)生，其中男生有326名，女生有386名。針對(duì)以上不足，能否利用這個(gè)額外信息改進(jìn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，減少“極端數(shù)據(jù)”，從而提高對(duì)整個(gè)年級(jí)平均身高的估計(jì)？
我們知道，影響身高的因素有很多，性別是一個(gè)主要因素。高中男生普遍高于女生，而相同性別的身高差異相對(duì)較小。 那我們就可以利用性別和身高的這種關(guān)系，把高一年級(jí)學(xué)生分成男生和女生兩個(gè)身高有明顯差異的群體，對(duì)兩個(gè)群體分別進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，然后匯總作為總體的一個(gè)樣本。 由于在男生和女生兩個(gè)群體中都抽取了相應(yīng)的個(gè)體，這樣就能有效地避免“極端”樣本。
思考：對(duì)男生、女生分別進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，樣本量在男生、女生中應(yīng)分別分配？
顯然，為了使樣本的結(jié)構(gòu)與總體的分布相近，人數(shù)多的群體應(yīng)多抽一些，人數(shù)少的應(yīng)少抽一些。 因此，按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例進(jìn)行分配是比較合理的方式。 即 這樣無(wú)論是男生還是女生，每個(gè)學(xué)生抽到的概率都相等。當(dāng)總樣本量為50時(shí)，可以計(jì)算出從男生、女生分別應(yīng)抽取的人數(shù)為
我們按照上述方法抽取了一個(gè)容量為50的樣本，其觀測(cè)數(shù)據(jù)如下（單位：cm）
通過(guò)計(jì)算，得出男生和女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6，160.6.根據(jù)男生、女生身高的樣本平均數(shù)以及它們各自的人數(shù)，可以估計(jì)總體平均數(shù)為即估計(jì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生的平均身高在165.2cm左右。
上面我們按照性別變量，把高一年級(jí)學(xué)生劃分為男生、女生兩個(gè)身高差異較小的子總體分別進(jìn)行抽樣，進(jìn)而得到總體的估計(jì)。
分層隨機(jī)抽樣（或類(lèi)型抽樣）定義一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分為若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)字總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層。在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配。
知識(shí)探究（一）：分層隨機(jī)抽樣
問(wèn)題一：根據(jù)以上定義，你能總結(jié)出分層隨機(jī)抽樣的步驟嗎？
分層抽樣的步驟：(1)將總體按一定的標(biāo)準(zhǔn)分層；(2)計(jì)算抽樣比；(3)按抽樣比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;(5)綜合每層抽取的樣本，組成總樣本.
知識(shí)探究（一）：分層隨機(jī)抽樣
問(wèn)題二：抽樣比怎樣計(jì)算？關(guān)于分層隨機(jī)抽樣，你認(rèn)為還有那些需要特別注意的？
（1）分層通常是根據(jù)總體的差異來(lái)分層;將同類(lèi)型的個(gè)體歸為一類(lèi)，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；（2）分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與抽樣比相等或相近。由此可見(jiàn)：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層隨機(jī)抽樣的方法.
問(wèn)題三：在分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)嗎？
在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n。
思考：與考察簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)效果類(lèi)似，小明也想通過(guò)多次抽樣考察一下分層隨機(jī)抽樣的估計(jì)效果。他用比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了10個(gè)樣本量為50的樣本，計(jì)算出樣本平均數(shù)如下表所示。與上一節(jié)“探究”中相同樣本量的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，小明有了一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。你是否也有所發(fā)現(xiàn)？
我們把分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的平均數(shù)用右圖進(jìn)行對(duì)比，其中紅線表示整個(gè)年級(jí)學(xué)生身高的平均數(shù)。
從試驗(yàn)結(jié)果看，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)波動(dòng)，與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，分層抽樣并沒(méi)有明顯優(yōu)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但相對(duì)而言，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)波動(dòng)幅度更均勻，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中出現(xiàn)了（第2個(gè)）偏離總體平均數(shù)的幅度較大的樣本平均數(shù)，即出現(xiàn)了比較“極端”的樣本，而分層隨機(jī)抽樣沒(méi)有出現(xiàn)。
實(shí)際上，在個(gè)體之間差異較大的情形下，只要選取的分層變量合適，使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大，分層隨機(jī)抽樣的效果一般會(huì)好于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也好于很多其他抽樣方法。 分層隨機(jī)抽樣的組織實(shí)施也比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方便，而且除了能得到總體的估計(jì)外，還能得到每層的估計(jì)。 在實(shí)際抽樣調(diào)查中，由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，除了要考慮獲得的樣本的代表性，還要考慮調(diào)查實(shí)施中人力、物力、時(shí)間等因素，因此通常會(huì)把多種抽樣方法組合起來(lái)使用。例如，在分層抽樣中，不同的層內(nèi)除了用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣外，還可以用其他的抽樣方法，有時(shí)層內(nèi)還需要再進(jìn)行分層，等等。
問(wèn)題四：對(duì)比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣，你能找到什么異同？
例、一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽取？
解：用比例分配的分層隨機(jī)抽樣來(lái)抽取樣本，步驟如下：(1)分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)．抽樣比為100/500＝1/5，則在不到35歲的職工中抽取125×(1/5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×(1/5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×(1/5)＝19(人)．(3)在各層分別按隨機(jī)數(shù)法抽取樣本．(4)匯總每層抽樣，組成樣本．
總結(jié)： 用比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的操作步驟
1、某高中共有900人，其中高一年級(jí)300人，高二年級(jí)200人，高三年級(jí)400人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的人數(shù)分別為( ) A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,202、某班有男生36人,女生24人,從全班抽取一個(gè)容量為10的樣本,分析某種身體素質(zhì)指標(biāo),已知這種身體素質(zhì)指標(biāo)與性別有關(guān). 問(wèn)應(yīng)采取什么樣抽樣方法？并寫(xiě)出抽樣過(guò)程.
解：因?yàn)檫@種身體素質(zhì)指標(biāo)與性別有關(guān)，所以男生,女生身體素質(zhì)指標(biāo)差異明顯，因而采用分層抽樣的方法.具體過(guò)程如下：（1）將60人分為2層，其中男,女生各為一層.（2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各層應(yīng)抽取的樣本. 36×1/6=6（人），24×1/6=4（人） 因此男,女生各抽取人數(shù)分別為6人和4人.（3）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法分別在36名男生中抽取6人, 24名女生中抽取4人. (4)將這10人組到一起，即得到一個(gè)樣本.
知識(shí)探究（二）：獲取數(shù)據(jù)的途徑
問(wèn)題一：如果要了解某電視節(jié)目在你所在地區(qū)（城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)或村莊）的收視率，那么需要獲取相關(guān)的數(shù)據(jù)。你認(rèn)為有哪些途徑可以獲取數(shù)據(jù)？
獲取數(shù)據(jù)的途徑1、通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；2、通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)；3、通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)；4、通過(guò)查詢獲取數(shù)據(jù)。
1、下列問(wèn)題中，采用怎樣的抽樣方法比較合理：①?gòu)?0臺(tái)冰箱中抽取3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；②某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名。為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的意見(jiàn)，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本。2、某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比為2:3:5,現(xiàn)用分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為n的樣本,樣本中A型產(chǎn)品有16種,那么此樣本容量n=_______.
3、某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80，則n=（ ） 4、某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為4：3：2：1，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為200人的樣本，則應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生為（ ）人。5、某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生600人，高二年級(jí)有學(xué)生450人，高三年級(jí)有學(xué)生750人，每個(gè)學(xué)生被抽到的可能性均為0.2,若該校取一個(gè)容量為n的樣本，則n= （ ） 6、常見(jiàn)的獲取數(shù)據(jù)的途徑有（ ）
調(diào)查、試驗(yàn)、觀察、查詢
7、某公司有1 000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者.要對(duì)這個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行抽樣？
解：我們可以采用分層抽樣的方法，按照收入水平分成三層：高收入者、中等收入者、低收入者. 從題中數(shù)據(jù)可以看出，高收入者為50名，占所有員工的比例為50/1000=5% .為保證樣本的代表性，在所抽取的100名員工中，高收入者所占的比例也應(yīng)為5%，數(shù)量為100×5%=5，所以應(yīng)抽取5名高層管理人員.同理，抽取15名中層管理人員、80名一般員工，再對(duì)收入狀況分別進(jìn)行調(diào)查.

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