前面我們認(rèn)識(shí)了空間直線的平行關(guān)系，那么空間中的垂直又是什么樣的呢?
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探究：如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中，直線A’C’與直線AB,直線A’D’與直線AB都是異面直線，直線A’C’與A’D’相對(duì)于直線AB的位置關(guān)系相同嗎？
異面直線夾角：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O分別作a’//a，b’//b,我們把a(bǔ)’與b’所成角叫做異面直線a與b所成角（或夾角）
如果兩條異面直線夾角為90°，那我們就說這兩條異面直線互相垂直。記作a⊥b當(dāng)兩條直線平行時(shí)規(guī)定所成角為0°。所以異面直線所成角范圍0°≤α≤90°
想一想：在平面幾何中，垂直于同一直線的兩直線互相平行，在空間中這個(gè)結(jié)論還成立嗎？
練習(xí)一1.異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)，即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同.( )2.異面直線a與b所成角可以是0°.( )3.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直.( )
注意： 1.異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置無關(guān).2.當(dāng)直線a與b所成角是0°時(shí)，兩直線平行，即共面.
例一：如圖，已知正方體ABCD-A’B’C’D’（1）哪些棱所在直線與直線AA’垂直？（2）求直線BA’與CC’所成角的大小（3）求直線BA’與AC所成角的大小
解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直線分別與AA’垂直。（2）因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’為直線BA’與CC’所成的角。又因?yàn)椤螦’BB’=45°，所以直線BA’與CC’所成角等于45°。
（3）如圖，連接A’C’,因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體，所以AA’//CC’且AA’=CC’,從而四邊形AA’CC’是平行四邊形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’為異面直線BA’與AC所成的角。連接BC’,易知△A’BC’是等邊三角形，所以∠BA’C’=60°。從而異面直線BA’與AC所成角等于60°。
求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角.(2)計(jì)算角：求角度，常利用三角形.(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.
例二：如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中，O’為底面A’B’C’D’的中心，求證：AO’⊥BD
證明：如圖，連接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方體∴BB’//DD’,BB’=DD’∴四邊形BB’DD’是平行四邊形∴B’D’//BD∴直線AO’與B’D’所成角即為直線AO’與BD所成角連接AB’,AD’易證AB’=AD’又O’為底面A’B’C’D’的中心∴O’為B’D’的中點(diǎn)∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD
例三如圖所示，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長(zhǎng)度.
解：取BC中點(diǎn)O,連接OE,OF，如圖?！逧,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE與OF所成的銳角就是AC與BD所成的角∵BD,AC所成角為60°，∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,∴OE=OF=1當(dāng)∠EOF=60°時(shí)，EF=OE=OF=1,當(dāng)∠EOF=120°時(shí)，取EF的中點(diǎn)M,連接OM,則OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM= ,∴EF=2EM=
練習(xí)二如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中AB與CD的位置關(guān)系為（ ）A．相交B．平行C．既不相交，也不平行D．不能確定
解：由題,則正方體的直觀圖如圖所示,易知, AB與CD既不平行,也不相交,故選:C
練習(xí)三四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_______
解：畫出圖如圖所示，將AP平移到BE的位置，連接DE，則角DBE即是兩條異面直線所成的角.由于三角形BDE為等邊三角形，故兩條異面直線所成的角為60° 。
利用勾股定理證直線與直線垂直在棱長(zhǎng)為4的正四面體ABCD中，求異面直線AB和CD所成的角
解：取BC中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)M,AD中點(diǎn)F,連接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB∴∠EMF即異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角MF=ME=2，EF=∴MF2+ME2=EF2∴∠EMF=90°∴異面直線AB和CD的夾角是90°。
練習(xí)四如圖，在正方體中，N,M,P分別是A1B1 ,CC1，AD的中點(diǎn)，則異面直線D1N 與MP所成角的大小是（ ）A 90° B 60° C 45° D 30°
解：取BB1中點(diǎn)K,連接A1K,則A1K//D1N,取B1K的中點(diǎn)Q,連接MQ,PQ,則MQ//A1K,所以MQ//D1N,所以∠PMQ即為所求夾角。如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4，由勾股定理易知，PQ2=PB2+BQ2=29，PM2=24，MQ2=5，所以PQ2=PM2+MQ2，所以∠PMQ=90°。
一、已知長(zhǎng)方體ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1則異面直線A1B1 與AC1所 成 角 的 余 弦 值 為________
二、已知點(diǎn)M、N分別為正方體ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’與AA’的中點(diǎn)，平面DNM與平面ABCD的交線記為l,則l與C’M所成角的大小為______
三、在正方體ABCD-A’B’C’D’中，直線AC’與B’D’的夾角是多少？
解：連接A’C’與B’D’交于點(diǎn)E,取AA’中點(diǎn)F,連接EF,FE’.在△AA’C’中，EF//AC’∴∠FED’即為異面直線AC’和B’D’所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則EF=1/2AC’= ,ED’= ,FD’= ∴EF2+ED’2=FD’2，∴∠FED’=90°∴直線AC’和B’D’的夾角是90°

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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