直線與平面的位置關系中，平行是一種特殊的關系。如何判定它呢？
在平面內(nèi)找到一條直線與其平行且這條直線不在平面內(nèi)。
觀察如圖（1），門扇的兩邊是平行的，當門扇繞著一邊轉動時，另一邊與墻面有公共點嗎？此時門扇轉動的一邊與墻面平行嗎？
圖（2）中，將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉動，在轉動過程中（AB離開桌面），DC的對邊AB與桌面有公共點嗎？邊AB與桌面平行嗎？
可以發(fā)現(xiàn)，無論門扇轉動到什么位置，因為轉動的一邊與固定的一邊總是平行的，所以它與墻面是平行的；硬紙板的邊AB與DC平行，只要邊DC緊貼桌面，邊AB轉動時就不可能與桌面有公共點，所以它與桌面平行。定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。
補充：線線平行推線面平行
例一求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊的平面。已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB、AD的中點。求證EF//平面BCD
證明：連接BD∵AE=EB，AF=FD∴EF//BD又EF 平面BCD,BD 平面BCD∴EF//平面BCD
練習一如圖，在直四棱柱ABCD— 中，底面ABCD為菱形，E為 中點。求證： //平面ACE
解：設AC與BD交于點O，連接OE,∵底面ABCD是菱形，∴O為DB中點，又因為E是 的中點，∴OE// ,OE在平面AEC內(nèi)， 不在平面AEC內(nèi)，所以 //平面ACE
練習二如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,點E為線段PD的中點。證明：PB//平面AEC
證明：連接BD,交AC于點O,連接OE,如圖所示，∵O是正方形ABCD對角線的交點，∴PB//OE，又OE在平面AEC內(nèi)，PB不在平面AEC內(nèi)，∴PB//平面AEC
用判定定理證明直線與平面平行的步驟（1）找：在平面內(nèi)找到一條直線或作出一條直線與已知直線平行（2）證：證明已知直線與該直線平行（3）結論：由判定定理得出結論注：第一步“找”是證題關鍵，其常用方法由：①利用三角形中位線，梯形中位線性質(zhì)②利用平行四邊形的性質(zhì)
線面平行性質(zhì)：如圖，已知a//α，a β，α∩β=b證明：a//b
證明：∵α∩β=b,∴b α又a//α∴a與b無公共點又α β，b β∴a//b
定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
例二如圖（1）所示的一塊木料中，棱BC平行于面A’C’.（1）要經(jīng)過面A’C’內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？（2）所畫的線與平面AC是什么位置關系？
解（1）如圖（2），在平面A’C’內(nèi)，過點P作直線EF,使EF//B’C’,并分別交棱A’B’,D’C’于點E,F.連接BE,CF,則EF,BE,CF就是應畫的線。（2）因為棱BC平行于平面A’C’,平面BC’與平面A’C’相交于B’C’,所以BC//B’C’.由（1）知，EF//B’C’,所以EF//BC.而BC在平面AC內(nèi)，EF在平面AC外，所以EF//平面AC。顯然，BE,CF都與平面AC相交。
練習三已知a//α，b在α內(nèi)，則直線a與b的位置關系是（ ）A 平行 B 相交或異面 C 異面 D 平行或異面
練習四如圖所示，已知異面直線AB,CD都平行于平面α，且AB,CD在α的兩側。若AC,BD分別與α相交于M,N兩點。求證AM/MC=BN/ND
證明：如圖所示，連接AD,交平面α于點P,連接PM,PN.因為CD//α，平面ACD∩α=PM.所以CD//PM,所以在△ACD中，有 .同理，在△DAB中，有 ,所以 .
總結 利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟：在已知條件中有線面平行時，就設法應用該條件，即著力尋找過已知直線的平面與已知平面的交線，也就是找已知直線的平行線．有時為了得到交線還需作出輔助平面.
例3 求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么該直線與相交平面的交線平行．
解：已知a,l是直線，α，β是平面。a//α，a//β，且α∩β=l.在平面α內(nèi)取一點A,且使A?l.∵a//α，∴A不屬于a故點A和直線a確定一個平面γ.設γ∩α=m.同理，在平面β內(nèi)任取一點B,且使B?l則點B和直線a確定平面 ，設 ∩β=n∵a//α，a γ，γ∩α=m.∴a//m,同理a//n,則m//n.又m不含于β，n含于β，所以m//β.因為m α，α∩β=l,∴m//l又a//m,∴a//l.
延伸探究：若上題中的條件改為“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l//m”。試判斷直線l,m，n的位置關系，并說明理由。
證明：如圖，∵l//m，m含于γ，l不含于γ∴l(xiāng)//γ。又l含于α，α∩γ=n,∴l(xiāng)//n.又l//m∴m//n，即直線l,m，n互相平行。
一、如圖，在長方體ABCD-A’B’C’D’中（1）與AB平行的平面是______________________________（2）與AA’平行的平面是___________________________（3）與AD平行的平面是______________________________
平面A’B’C’D’、平面CC’DD’
平面BB’CC’、平面CC’DD’
平面BB’CC’、平面A’B’C’D’
二、判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫√，錯誤的畫×（1）如果直線a//b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面（ ）（2）如果直線a和平面α滿足a//α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行（ ）（3）如果直線a,b和平面α滿足a//α，b//α，那么a//b.( )（4）如果直線a,b和平面α滿足a//b,a//α，b α，那么b//α（ ）
三、如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,∠DAB=90°，AB=BC=2AD=4,四邊形EDCF為矩形，DE=2，平面EDCF⊥平面ABCD求證：DF//平面ABE
證明：如圖，設CE∩DF=O,取BE的中點M,連接AM、OM,∵四邊形EDCF為矩形，CE∩DF=O,∴O為CE中點，∵M為BE的中點∴OM//BC且OM=1/2BC∵AD//BC,AD=1/2BC∴OM//AD且OM=AD∴四邊形ADOM為平行四邊形，則AM//OD,即AM//DF∵AM在平面ABE內(nèi)，DF不在平面ABE內(nèi)，∴DF//平面ABE

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6.4 平面向量的應用

版本： 人教A版 (2019)

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