一、直線與平面平行的判定定理1.思考(1)直線在平面外,是否說明直線與平面一定平行?提示不一定,也可能直線與平面相交.(2)如圖,將課本ABCD的一邊AB緊貼桌面α,把課本繞AB轉(zhuǎn)動(dòng),在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,AB的對(duì)邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系?
提示課本在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,因?yàn)镃D與AB平行,AB在桌面α內(nèi),且CD不在桌面α內(nèi),所以CD與桌面是平行的.(3)如果直線a與平面α內(nèi)的一條直線b平行,直線a與平面α一定平行嗎?提示不一定,直線a可能在平面α內(nèi).
2.填空直線與平面平行的判定定理
3.做一做能保證直線a與平面α平行的條件是(　　)A.b?α,a∥bB.b?α,c∥α,a∥b,a∥cC.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a?α,b?α,a∥b答案:D
二、直線與平面平行的性質(zhì)定理1.思考(1)如果直線和平面平行,那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是怎樣的?提示平行或者異面.(2)若直線a與平面α平行,則在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關(guān)系如何?提示在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條,這些直線互相平行.(3)如果直線與平面平行,那么經(jīng)過直線的平面與此平面有哪幾種位置關(guān)系?提示經(jīng)過直線a的平面α與此平面平行或相交.
(4)如果直線a與平面α平行,經(jīng)過直線a的平面β與平面α相交于直線b,那么這樣的平面β有多少個(gè)?直線a,b的位置關(guān)系如何?為什么?提示如圖,有無數(shù)個(gè).直線a,b的位置關(guān)系為平行.因?yàn)橹本€a與平面α平行,所以直線a與平面α內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn),所以a,b兩直線平行.
2.填空直線與平面平行的性質(zhì)定理
3.做一做(1)如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的點(diǎn),且EF∥平面ABC,則(　　)A.EF與BC相交B.EF∥BCC.EF與BC異面D.以上均有可能答案:B解析:∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.
(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.①若直線l∥平面α,直線a?平面α,則l∥a.(　　)②若直線l∥平面α,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.(　　)③若直線m∥平面α,n∥平面α,則m∥n.(　　)答案:①×?、凇獭、邸?br/>直線與平面平行的判定例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN.求證:MN∥平面AA1B1B.分析(方法一)作ME∥BC,交BB1于點(diǎn)E,作NF∥AD,交AB于點(diǎn)F,連接EF,轉(zhuǎn)化為證明MN∥EF.(方法二)連接CN并延長(zhǎng)交BA所在直線于點(diǎn)P,連接B1P,轉(zhuǎn)化為證明MN∥B1P.
證法一如圖①,作ME∥BC,交BB1于點(diǎn)E,作NF∥AD,交AB于點(diǎn)F,連接EF,則EF?平面AA1B1B,∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,∴四邊形MEFN為平行四邊形.∴MN∥EF.∵M(jìn)N?平面AA1B1B,EF?平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.
證法二如圖②,連接CN并延長(zhǎng)交BA所在直線于點(diǎn)P,連接B1P,則B1P?平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP,∴MN∥B1P.∵M(jìn)N?平面AA1B1B,B1P?平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.
反思感悟 證明線面平行的思路及步驟證明直線與平面平行,可以用定義,也可以用判定定理,但說明直線與平面沒有公共點(diǎn)不是很容易(當(dāng)然也可用反證法),所以更多的是用判定定理,用判定定理證明直線與平面平行的步驟如下:
變式訓(xùn)練1如圖,P是?ABCD所在平面外一點(diǎn),E,F分別為AB,PD的中點(diǎn),求證:AF∥平面PEC.證明:設(shè)PC的中點(diǎn)為G,連接EG,FG.∵F為PD的中點(diǎn),∴GF∥CD,且GF= CD.∵AB∥CD,AB=CD,E為AB的中點(diǎn),∴GF∥AE,GF=AE,∴四邊形AEGF為平行四邊形,∴EG∥AF.又∵AF?平面PEC,EG?平面PEC,∴AF∥平面PEC.
直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖,用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.分析根據(jù)已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,找出經(jīng)過直線的平面與平面MNPQ的交線,轉(zhuǎn)化為線線平行即可得證.
證明:因?yàn)锳B∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質(zhì)定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.
反思感悟 (1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí),應(yīng)先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線,然后確定線線平行.
延伸探究2若本例中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.解:由例1知,四邊形MNPQ是平行四邊形,∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四邊形MNPQ是矩形.∵BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,∴四邊形MNPQ的面積為5×4=20.
線面平行性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用例3求證:如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行,那么該直線與相交平面的交線平行.分析先寫出已知求證,再借助線面平行的性質(zhì)定理與判定定理求解.
解:已知a,l是直線,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求證:a∥l.證明如圖,在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)A,且使A?l.∵a∥α,∴A?a.故點(diǎn)A和直線a確定一個(gè)平面γ,設(shè)γ∩α=m.同理,在平面β內(nèi)任取一點(diǎn)B,且使B?l,則點(diǎn)B和直線a確定平面δ,設(shè)δ∩β=n.∵a∥α,a?γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,則m∥n.又m?β,n?β,∴m∥β.∵m?α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.
反思感悟 利用線面平行的判定和性質(zhì)定理,可以完成線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化思想是一種重要數(shù)學(xué)思想.該轉(zhuǎn)化過程可概括為:
延伸探究若本例中條件改為“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,試判斷直線l,m,n的位置關(guān)系,并說明你的理由.解:三條直線l,m,n相互平行,證明如下.如圖,∵l∥m,m?γ,l?γ,∴l(xiāng)∥γ.又l?α,α∩γ=n,∴l(xiāng)∥n.又l∥m,∴m∥n,即直線l,m,n相互平行.
考慮問題不全面導(dǎo)致漏解典例已知BC∥平面α,D在線段BC上,A?α,直線AB,AC,AD分別交α于點(diǎn)E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的長(zhǎng).
提示以上解題過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?如何防范?點(diǎn)A的位置有三種情況:BC在A與平面α之間;A在BC與平面α之間;平面α在A與BC之間,錯(cuò)解中只考慮了第一種情況.
正解(1)當(dāng)BC位于點(diǎn)A與平面α之間時(shí),同錯(cuò)解.(2)當(dāng)點(diǎn)A在BC與平面α之間時(shí),如圖①,因?yàn)锽C∥平面α,
易錯(cuò)剖析本題中點(diǎn)A的位置有三種情況:①BC在點(diǎn)A與平面α之間;②點(diǎn)A在BC與平面α之間;③平面α在點(diǎn)A與BC之間.解題時(shí)容易只考慮其中一種情形而漏解.
1.平面α與△ABC的兩邊AB,AC分別交于點(diǎn)D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如圖所示,則BC與α的位置關(guān)系是(　　)A.平行B.相交C.異面D.BC?α答案:A解析:在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,∴BC∥DE.∵BC?α,DE?α,∴BC∥α.
2.如圖所示,過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,則BB1與EE1的位置關(guān)系是 (　　)A.平行B.相交C.異面D.不確定答案:A解析:∵BB1∥CC1,BB1?平面CDD1C1,CC1?平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1?平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.
3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與BC平行的平面是　　　　　　　;與BC1平行的平面是　　　　　　;與平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是　　　　　　　.?答案:平面A1B1C1D1與平面ADD1A1　平面ADD1A1　DC解析:觀察圖形,根據(jù)判定定理可知,與BC平行的平面是平面A1B1C1D1與平面ADD1A1;與BC1平行的平面是平面ADD1A1;因?yàn)槠矫鍭1B1C1D1與平面A1B1BA的交線是A1B1,所以與其都平行的棱是DC.

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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