學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)距離、高度、角度的測(cè)量問(wèn)題.
2.培養(yǎng)提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.

知識(shí)點(diǎn)一　距離問(wèn)題
類型
圖形
方法
兩點(diǎn)間不可到達(dá)的距離

余弦定理
兩點(diǎn)間可視不可到達(dá)的距離

正弦定理
兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離

先用正弦定理，
再用余弦定理

知識(shí)點(diǎn)二　高度問(wèn)題
類型
簡(jiǎn)圖
計(jì)算方法
底部可達(dá)

測(cè)得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可達(dá)
點(diǎn)B與C，D共線

測(cè)得CD＝a及C與∠ADB的度數(shù).
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
點(diǎn)B與C，D不共線

測(cè)得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數(shù).
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.

知識(shí)點(diǎn)三　角度問(wèn)題
測(cè)量角度問(wèn)題主要是指在海上或空中測(cè)量角度的問(wèn)題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等.解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形得到所求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解.

1.仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角.(　√　)
2.兩點(diǎn)間不可通又不可視問(wèn)題的測(cè)量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩邊及夾角的三角形并求解.
(　√　)
3.兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)問(wèn)題的測(cè)量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解.
(　√　)
4.高度問(wèn)題大多通過(guò)正(余)弦定理構(gòu)造直角三角形來(lái)解決.(　√　)

一、距離問(wèn)題
例1　如圖所示，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則BC為 m.

答案　60(－)
解析　由題意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
由正弦定理，BC＝·sin∠CAB＝·sin 30°
＝×＝60(－).
反思感悟　求不可達(dá)的兩點(diǎn)間的距離時(shí)，由于構(gòu)造的三角形的兩邊均不可直接測(cè)量，故只能尋求構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形.
跟蹤訓(xùn)練1　A，B兩地之間隔著一個(gè)山崗，如圖，現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C，測(cè)得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為 km.

答案　
解析　由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
＝72＋52－2×7×5×
＝39.
∴AB＝.
二、高度問(wèn)題
例2　如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10 m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是(　　)

A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m
答案　D
解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10(m).
反思感悟　此類問(wèn)題特點(diǎn)：底部不可到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測(cè)者兩次觀測(cè)點(diǎn)所在直線不經(jīng)過(guò)“目標(biāo)物”，解決辦法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練2　某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進(jìn)1 000 m后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°，則山的高度為 m.(精確到1 m)
答案　811
解析　如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC于點(diǎn)E，

因?yàn)椤螪AC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度為811 m.
三、角度問(wèn)題
例3　甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時(shí)a海里，問(wèn)甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？
解　如圖所示.設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇，

則在△ABC中，
BC＝at海里，
AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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