10.2　事件的相互獨(dú)立性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素 養(yǎng) 目 標(biāo)學(xué) 科 素 養(yǎng)1.弄清相互獨(dú)立事件的概念與意義.2.能夠利用相互獨(dú)立事件的概率公式求解簡單的概率問題.3.能夠解決實(shí)際問題中的概率問題.1.數(shù)學(xué)抽象;2.數(shù)學(xué)運(yùn)算;3.數(shù)學(xué)建模【自主學(xué)習(xí)】一．相互獨(dú)立事件的定義對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝          成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.二．相互獨(dú)立事件的性質(zhì)當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，則事件     與事件     相互獨(dú)立，事件      與事件     相互獨(dú)立，事件       與事件       相互獨(dú)立.三．相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算概率A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P()P()P(AB)0P(A)P(B)P()1－[P(A)＋P(B)]P()P()P(A∪B)P(A)＋P(B)P(A)P()P()P(B)【小試牛刀】思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．(　　)(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．(　　)(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互獨(dú)立”的充要條件．(　　)(4)若兩個(gè)事件互斥，則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立． (　　)【經(jīng)典例題】題型一  相互獨(dú)立事件的判斷點(diǎn)撥：兩種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性(1)定義法：直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.例1 判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件．(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．  【跟蹤訓(xùn)練】1 壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是(　　)A．互斥事件　  　　B．相互獨(dú)立事件      C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件題型二　相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算點(diǎn)撥：用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟1.用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件, 2. 分析事件間的關(guān)系，明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義；3.將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和；4.利用乘法公式計(jì)算概率.例2 在某校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(即每兩隊(duì)比賽一場(chǎng))，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局．在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.(1)求甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率；(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率．   【跟蹤訓(xùn)練】2 一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D，E，F為6個(gè)開關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是(　 　)A.　　　　　　　　B.         C.     D. 題型三　相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用例3 某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租用時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，，超過兩小時(shí)但不超過三小時(shí)還車的概率分別為，，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．   【跟蹤訓(xùn)練】3 三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，它們是否正常工作相互獨(dú)立.在如圖所示的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.下列事件A，B是相互獨(dú)立事件的是(　　)A．一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”B．袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A表示“一個(gè)燈泡能用1 000小時(shí)”，B表示“一個(gè)燈泡能用2 000小時(shí)”2.甲、乙同時(shí)參加某次法語考試，甲、乙考試達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6,0.7，兩人考試相互獨(dú)立，則甲、乙兩人都未達(dá)到優(yōu)秀的概率為(　　)A．0.42  B．0.12  C．0.18  D．0.283.甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參加演講活動(dòng)，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．4.在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為和.在同一時(shí)間內(nèi)，求：(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率為________；(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為________．5.已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P(A)＝________；P( )＝________．6.小寧某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率．       【課堂小結(jié)】1.相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A∩B＝?概率公式事件A與B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)＝P(A)P(B)事件A與B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)2.概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反．靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P()＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法．(2)化繁為簡．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)．  【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】P(A)P(B)   A         B       【小試牛刀】(1)√　(2)√　(3)√  (4)×【經(jīng)典例題】例1 解　(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．(2)前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件．(3)記A＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，∴事件A與B相互獨(dú)立．【跟蹤訓(xùn)練】1 D 解析：由于事件A1是否發(fā)生對(duì)事件A2發(fā)生的概率有影響，所以A1與A2是不相互獨(dú)立事件．例2 解： (1)設(shè)甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名為事件A，則P(A)＝××＝.(2)甲隊(duì)至少得3分有兩種情況：兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)；兩場(chǎng)都勝．設(shè)事件B為“甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)”，設(shè)事件C為“甲兩場(chǎng)都勝”，則事件“甲隊(duì)至少得3分”為B ∪C，則P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝.【跟蹤訓(xùn)練】2 B 解析：設(shè)T＝“A與B中至少有一個(gè)不閉合”，R＝“E與F至少有一個(gè)不閉合”，則P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以燈亮的概率為P＝1－P(T)P(R)P()P()＝1－×××＝，故選B.例3 解： (1)由題意可得甲、乙兩人超過三小時(shí)但不超過四小時(shí)還車的概率分別為，.記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，則P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為.(2)P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，  P(ξ＝6)＝×＋×＝.【跟蹤訓(xùn)練】3 解：記T1正常工作為事件A，T2正常工作為事件B，T3正常工作為事件C，則P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，電路不發(fā)生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一個(gè)正常工作，T2，T3至少有一個(gè)正常工作的概率P1＝1－×＝，所以整個(gè)電路不發(fā)生故障的概率為P＝P(A)×P1＝×＝.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.A2.B 解析：所求概率為(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故選B.3.C 解析：兩班各自派出代表是相互獨(dú)立事件，設(shè)事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事件AB為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.4.(1)　(2)　解析：記“甲氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件A，“乙氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件B．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.]5. 　 解析：因?yàn)?/span>P(A)＝，P(B)＝.所以P()＝，P()＝.所以P(A )＝P(A)P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.6. 解：用A，B，C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件．則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.(1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

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10.2 事件的相互獨(dú)立性

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