【情境探究】1.回顧二項式乘法運算,類比復數(shù)的乘法運算:(1)設復數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,則z1z2= _________________.(2)z1 =_____.(3) =__________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
2.復數(shù)的除法運算與乘法運算有什么聯(lián)系?怎樣由復數(shù)的乘法運算進行復數(shù)的除法運算?提示:復數(shù)的除法運算與乘法運算互為逆運算,可以由復數(shù)的乘法運算法則得到除法運算法則,即 =z?z1=zz2.設復數(shù)a+bi除以非零復數(shù)c+di的商為x+yi,即x+yi= ,等價于(x+yi)(c+di)=a+bi,通過相等復數(shù)解方程可得,即(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,所以 消去y,解得x= ，同理消去x,解得y= .所以 = + i(c+di≠0).
【知識生成】1.復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.2.復數(shù)乘法的運算律
3.復數(shù)的除法運算(分母實數(shù)化) = = + i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
探究點一　復數(shù)的乘法運算【典例1】1.(2020·江蘇高考)已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù)z= 的實部是________.?2.計算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).【思維導引】1.利用復數(shù)的乘法運算結(jié)果判斷.2.利用復數(shù)的乘法運算法則進行計算.
【解析】1.z= =3+i,則實部為3.答案:32.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5×(3-4i)=15-20i.
【類題通法】復數(shù)乘法運算的注意事項(1)復數(shù)的乘法運算與二項式乘二項式類似,展開后化簡即可,注意i2=-1的應用.(2)多個復數(shù)的乘法運算,可以利用加法交換律和結(jié)合律進行簡便運算,注意兩個共軛復數(shù)的積是實數(shù).提醒:靈活運用“平方差公式”“完全平方公式”解析復數(shù)乘法計算.復數(shù)的減法不滿足交換律和結(jié)合律.
1.復數(shù)z=(1+bi)(2+i)是純虛數(shù),則實數(shù)b=(　　)A.-2　　　B.- 　　　C. 　　　D.2【解析】選D.復數(shù)z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是純虛數(shù),則實數(shù)b=2.
2.計算:【解析】方法一:
探究點二　復數(shù)的除法運算【典例2】1.(2019·全國卷Ⅰ)設z= ,則|z|=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2B. C. D.12.計算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].【思維導引】1.通過復數(shù)的除法運算化簡結(jié)果再計算復數(shù)的模.2.先對括號內(nèi)的復數(shù)進行計算,再進行復數(shù)乘法運算.
【解析】1.選C.因為z=所以z= = - i,所以|z|= 故選C.
2.方法一:因為所以所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)÷ = = =2-i. 方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷ =(1+i)× =2-i.
【類題通法】復數(shù)除法運算的注意事項(1)將復數(shù)的除法運算轉(zhuǎn)化為“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共軛復數(shù)”計算.(2)多個復數(shù)的除法運算,有括號先算括號內(nèi)的,沒有括號按照從左向右的順序進行計算.提醒:復數(shù)的除法運算不滿足交換律和結(jié)合律.
【定向訓練】1.(2020·新高考全國Ⅰ卷) =(　　)A.1　B.-1　C.i　D.-i【解析】選D.
2.(2020·全國Ⅲ卷)復數(shù) 的虛部是(　　)【解析】選D.因為 所以復數(shù) 的虛部為
探究點三　復數(shù)乘方運算以及周期性【典例3】計算i+i2+i3+…+i2 020=________.?【思維導引】計算in,n∈N*的值,明確周期性計算.
【解析】計算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…所以i+i2+i3+…+i2 020=505×0=0.答案:0
【類題通法】in(n∈N*)的周期性計算復數(shù)的乘積要用到虛數(shù)單位i的乘方,in有如下性質(zhì):i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,從而對于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,同理可證i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,這就是說,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,說明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.(2)n可推廣到整數(shù)集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.顯然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).因為in(n∈N*)具有周期性,解題時要靈活運用,或適當變形,創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為i的計算.一般地,有(1±i)2=±2i, =i, =-i.
【定向訓練】已知w= 求證:w3=-1.【證明】方法一:由w=得w2= =所以w3=w2w= =- - =-1.
方法二:由于w= 要證w3=-1,只需證w3+1=0,即證(w+1)(w2-w+1)=0,即證w2-w+1=0,即證w2-w=w(w-1)=-1,因為w(w-1)= = i2 - =-1,所以得證.
探究點四　實系數(shù)一元二次方程的求根公式【典例4】已知關于x的方程 其中a、b為實數(shù).(1)若x=1- i是該方程的根,求a、b的值;(2)當a>0且 時,證明該方程沒有實數(shù)根.【思維導引】(1)將x=1- i代入方程,利用復數(shù)相等的充要條件求解.(2)將方程轉(zhuǎn)化為有理式,用判別式判斷.
【解析】(1)將 代入 化簡得 所以 解得a=b=2. (2)原方程化為x2-ax+ab=0,假設原方程有實數(shù)解,那么Δ=(-a)2-4ab≥0,即a2≥4ab.因為a>0,所以 ≤ ,這與題設 > 相矛盾.故原方程無實數(shù)根.
【類題通法】實系數(shù)一元二次方程的求根公式(1)對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,a≠0,Δ=b2-4ac,①當Δ>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根x1,2= ,若這兩個根為二次根式,二者互為有理化因式(也叫共軛根式);②當Δ=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根x1,2=- ;③當Δ

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7.2 復數(shù)的四則運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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