第1課時(shí)　余弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.

知識(shí)點(diǎn)一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則有
余弦定理
語(yǔ)言敘述
三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
公式表達(dá)
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推論
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝

思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式會(huì)變成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知識(shí)點(diǎn)二　余弦定理可以用于兩類解三角形問題
1.已知三角形的兩邊和它們的夾角，求三角形的第三邊和其他兩個(gè)角.
2.已知三角形的三邊，求三角形的三個(gè)角.
知識(shí)點(diǎn)三　解三角形
一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

1.在△ABC中，已知兩邊及夾角時(shí)，△ABC不一定唯一.(　×　)
2.在△ABC中，三邊一角隨便給出三個(gè)，可求其余一個(gè).(　√　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，則角C為直角.(　√　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，則角C為鈍角.(　×　)

一、已知兩邊及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和邊a.
解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
當(dāng)a＝3時(shí)，A＝30°，C＝120°；
當(dāng)a＝6時(shí)，由余弦定理cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.
反思感悟　已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對(duì)角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.
跟蹤訓(xùn)練1　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，則c＝ ；sin A＝ .
答案　2　
解析　根據(jù)余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
二、已知三邊解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解　∵a>c>b，∴A為最大角.
由余弦定理的推論，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°AB，∴A>B>C，
∴最大角與最小角的和為A＋C＝180°－B＝120°.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，則A＝ .
答案　
解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，
所以c＝－.
由余弦定理，得cos A＝＝，
又A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝.

1.知識(shí)清單：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解決的兩類問題.
2.方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.
3.常見誤區(qū)：不要忽視三角形中的隱含條件.


1.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于(　　)
A. B. C. D.5
答案　A
解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以c＝.
2.(2019·安徽合肥八中質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，則此三角形中的最大角的大小為(　　)
A.150° B.120° C.92° D.135°
答案　B
解析　設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，
由余弦定理，得cos C＝＝＝－.
因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角，
所以此三角形中的最大角C＝120°.
3.(2019·四川綿陽(yáng)中學(xué)月考)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝，c＝2，cos A＝，則b等于(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　D
解析　∵a＝，c＝2，cos A＝，
∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，
∴b＝3或b＝－(舍去).
4.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
答案　A
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，則c等于(　　)
A.4 B. C.3 D.
答案　D
解析　由三角形內(nèi)角和定理，可知
cos C＝－cos(A＋B)＝－，
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以c＝.
6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，則角A的大小為 .
答案　60°
解析　∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
∵0°

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部