第十八章 平行四邊形人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)章節(jié)復(fù)習(xí)目 錄1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)2 知識(shí)梳理3 考點(diǎn)梳理4 考點(diǎn)解析5 遷移應(yīng)用1.進(jìn)一步理清平行四邊形(特殊四邊形)之間的聯(lián)系與區(qū)別; (重點(diǎn))2.對(duì)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)、知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)梳理; (重點(diǎn))3.分考點(diǎn)歸納常見(jiàn)題型的解題方法與策略. (難點(diǎn))一、幾種特殊四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且四邊相等對(duì)邊平行且四邊相等對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角互相平分互相平分且相等軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1.定義：兩組對(duì)邊分別平行；2.兩組對(duì)邊分別相等；3.兩組對(duì)角分別相等； 4.對(duì)角線互相平分； 5.一組對(duì)邊平行且相等. 1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形； 2.對(duì)角線相等的平行四邊形； 3.有三個(gè)角是直角的四邊形.1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形 ；2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形； 3.四條邊都相等的四邊形.1.定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形；2.有一組鄰邊相等的矩形； 3.有一個(gè)角是直角的菱形.三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系 矩形 菱形正方形平行四邊形三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等四、其他重要概念及性質(zhì)1.兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間的距離.兩條平行線間的距離處處相等.四、其他重要概念及性質(zhì)2.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.?四、其他重要概念及性質(zhì)3.直角三角形斜邊上的中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.?01平行四邊形的性質(zhì)與判定例1.如圖，點(diǎn)B，E分別在AC，DF上，AF分別交BD，CE于點(diǎn)M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；證明：∵∠A＝∠F，∴DE∥BC.∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2.∴DB∥EC.∴四邊形BCED為平行四邊形．(2)已知DE＝2，連接BN.若BN平分∠DBC，求CN的長(zhǎng)．解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.∵EC∥DB，∴∠CNB＝∠DBN.∴∠CNB＝∠CBN.∴CN＝BC.由(1)可知四邊形BCED是平行四邊形．∴BC＝DE＝2.∴CN＝2.?C?CB【1-3】如圖，在□ABCD中，BN=DM，BE=DF，求證:四邊形MENF是平行四邊形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC//AD∴∠EBN= ∠FDM∵BN=DM，BE=DF∴△EBN≌△FDM (SAS)∴EN=FM，∠BEN= ∠DFM∴∠FEN=∠EFM∴EN// FM∴四邊形MENF是平行四邊形【1-4】如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F.(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE.∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形．(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，BF＝4，求AD的長(zhǎng)．?02三角形的中位線的應(yīng)用例3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.若BC＝4，求CD的長(zhǎng)．?證明：取AC的中點(diǎn)F，連接BF.∵BD＝AB，∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.∵E為AB的中點(diǎn)，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.F例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點(diǎn)，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.例5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使得AB＝2AD，連接DE，DF，AE，EF，AF與DE相交于點(diǎn)O.(1)求證：AF與DE互相平分；證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，AB＝2EF.∵AB＝2AD，點(diǎn)D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∴AD＝EF，AD∥EF.∴四邊形ADFE是平行四邊形．∴AF與DE互相平分．(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的長(zhǎng)．?【2-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數(shù)．?【2-2】如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為平行四邊形.?【2-3】如圖，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN⊥BN于N點(diǎn)，AN平分∠BAC， 且AB=12， AC=16， 求MN的長(zhǎng).?03矩形的性質(zhì)與判定例6.如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度數(shù)．?例7.如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),AE=AD,DF⊥AE ,垂足為F.求證：DF=DC.證明：連接DE.∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.例8.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若點(diǎn)P是CD上任意一點(diǎn)，如圖①，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．(1)猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的理由．(2)當(dāng)點(diǎn)P是AD上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，猜想PE和PF之間的數(shù)量關(guān)系 (3)當(dāng)點(diǎn)P是DC上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出推理過(guò)程．(1)猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的理由．?(2)當(dāng)點(diǎn)P是AD上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，猜想PE和PF之間的數(shù)量關(guān)系; ?(3)當(dāng)點(diǎn)P是DC上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出推理過(guò)程．???【3-2】如圖，一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，將△BCE沿直線CE對(duì)折，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，記為點(diǎn)F．(1)若AB＝4，BC＝3，求AE的長(zhǎng)．?【3-2】如圖，一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，將△BCE沿直線CE對(duì)折，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，記為點(diǎn)F．(2)連接DF，若點(diǎn)D，F(xiàn)，E在同一條直線上，且DF＝2，求AE的長(zhǎng)．??????04直角三角形斜邊中線性質(zhì)【4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn).若CD+EF=8,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____.4【4-2】如圖，在□ABCD中，E、F、G分別為AD、OB、OC的中點(diǎn)，且2AB=AC， 求證: EF=GF.證明:連接AF.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AD=BC，AC=2AO∵2AB=AC, ∴AB=AO∵F是OB的中點(diǎn)，∴AF⊥OB【4-2】如圖，在□ABCD中，E、F、G分別為AD、OB、OC的中點(diǎn)，且2AB=AC， 求證: EF=GF.?05菱形的性質(zhì)與判定例10.如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，?∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .?(1)求證：四邊形EBFD為菱形；???【5-1】如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形，增加下列條件，能判定□ ADCE是菱形的是( )A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C. AB=AC D. AB=AEA?A【5-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，求證:∠DHO=∠DCO.證明:∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD,AB // CD,OB=OD∴∠DCO+∠CDO=90°,∠CDO=∠HBO∵DH⊥AB∴OH是Rt△BDH斜邊BD上的中線∴OH=OB∴∠OHB=∠HBO ∴∠OHB=∠CDO∵∠DHO+∠OHB=90° ∴∠DHO=∠DCO【5-4】如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 點(diǎn)H為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，CE⊥AB，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，CF⊥AD.(1)求證:四邊形CEHF是菱形;?(2)若四邊形CEHF的面積為18,求菱形ABCD的面積.?06正方形的性質(zhì)與判定例12.如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.試說(shuō)明：AP=EF.解:連接PC，AC.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,∴AP=PC.又∵PE⊥BC ，PF⊥DC,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=EF.例13.如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；?【6-1】如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD上，且BE=CD， 則∠BEC的度數(shù)為_(kāi)________.【6-2】如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)_______.67.5°?【6-3】如圖，在AB上取一點(diǎn)C,以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連接AF、BD，延長(zhǎng)BD交AF于H.求證: BH⊥AF.證明:∵四邊形AEDC和BCFG是正方形∴AC=DC，CF=CB， ∠ACF=∠BCF=90°∴△ACF≌△DCB (SAS)∴∠AFC=∠DBC又∵∠AFC+∠CAF=90°∴∠DBC+ ∠CAF=90°∴∠AHB=90° 即 BH⊥AF【6-4】如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求證: AQ平分∠DAP.證明:延長(zhǎng)AQ交BC延長(zhǎng)線與E.∵四邊形ABCD是正方形∴AD=CD，AD// BC∵∠D=∠QCE，∠DAQ=∠E又∵DQ=CQ∴△ADQ≌△ECQ (AAS)∴AD=CE【6-4】如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求證: AQ平分∠DAP.∴CD=CE∴AP=CD+CP=CE+CP=EP∴∠PAQ=∠E∴∠PAQ=∠DAQ，即AQ平分∠DAP07中點(diǎn)四邊形問(wèn)題例14.如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE.連接AC，BD.(1)試說(shuō)明四邊形EFGH為平行四邊形；?(2)當(dāng)AC與BD滿足_________時(shí)，四邊形EFGH是菱形，并證明你的結(jié)論；?AC＝BD(3)當(dāng)AC與BD滿足__________時(shí)，四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC與BD滿足__________________ 時(shí)，四邊形EFGH是正方形(不用證明)．AC⊥BD AC⊥BD且AC＝BD 08特殊平行四邊形中的定值、最值問(wèn)題例15.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝1.若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAE周長(zhǎng)的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6D?提示：分別過(guò)點(diǎn)P、點(diǎn)M作BC邊的垂線．?人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

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