一．選擇題（共10小題）


1．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO．若∠DAC＝33°，則∠OBC的度數(shù)為（ ）





A．33°B．57°C．59°D．66°


2．如圖，已知菱形ABCD的對角線交于點O，DB＝6，AD＝5，則菱形ABCD的面積為（ ）





A．20B．24C．30D．36


3．下列判斷錯誤的是（ ）


A．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形


B．四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形


C．一組對邊平行且對角線相等的四邊形是矩形


D．四條邊都相等的四邊形是菱形


4．在矩形ABCD中，對角線AC＝10cm，AB：BC＝4：3，則它的周長為（ ）cm．


A．14B．20C．28D．30


5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，過對角線交點O作EF⊥AC交AD于點E，交BC于點F，則DE的長是（ ）





A．1B．C．2D．


6．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（ ）





A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC


7．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，其中B點坐標(biāo)是（8，2），D點坐標(biāo)是（0，2），點A在x軸上，則菱形ABCD的周長是（ ）





A．2B．8C．8D．12


8．如圖，矩形ABCD中，AD＝4，對角線AC與BD交于點O，OE⊥AC交BC于點E，CE＝3，則矩形ABCD的面積為（ ）





A．B．C．12D．32


9．如圖，正方形ABCD的對角線AC與B相交于點O，∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點．若AM＝，則線段BN的長為（ ）





A．B．C．1D．2


10．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為（ ）





A．45°B．15°C．10°D．125°


二．填空題（共7小題）


11．直角三角形斜邊上的中線為6，則這它的斜邊是 ．


12．菱形ABCD的對角線AC＝4，BD＝2，以AC為邊作正方形ACEF，則BF的長為 ．


13．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O且AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個條件可以是 （填寫一個即可）．





14．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點．若BD＝8，則MN的長為 ．





15．如圖，已知正方形ABOC的頂點B（2，1），則頂點C的坐標(biāo)為 ．





16．如圖，B、E、F、D四點在同一條直線上，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為 cm．





17．如圖，已知點E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是DC、DF的中點，連接MN，若AB＝9，BE＝6，則MN的長為 ．





三．解答題（共7小題）


18．矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E，CF平分∠BCD交AD于點F，求證：AE∥CF．








19．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG．


（1）求證：△DCG≌△BEG；


（2）你能求出∠BDG的度數(shù)嗎？若能，請寫出計算過程；若不能，請說明理由．








20．如圖，在矩形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點O作EF⊥AC交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF．


（1）求證：四邊形AECF是菱形；


（2）連接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的長．








21．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．


（1）求證：四邊形ADCF是菱形；


（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．











22．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個等腰三角形ADE和DCF．


（1）若EA＝ED＝FD＝FC，請判斷BE和AF的關(guān)系？并給予證明．


（2）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，請用備用圖畫出圖形，直接寫出BE和AF的關(guān)系，不用證明．











23．已知：如圖，平行四邊形ABCD中，O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E．


（1）求證：△AOD≌△EOC；


（2）連接AC、DE，當(dāng)∠B＝∠AEB＝45°時，求證四邊形ACED是正方形．

















24．已知四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的任意一點，AE⊥EF，且直線EF交正方形外角的平分線CF于點F．


（1）如圖1，求證：AE＝EF；


（2）如圖2，當(dāng)AB＝2，點E是邊BC的中點時，請直接寫出FC的長．





























參考答案


一．選擇題（共10小題）


1．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，


∴AB∥CD，AB＝BC，


∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，


在△AMO和△CNO中，


∵，


∴△AMO≌△CNO（ASA），


∴AO＝CO，


∵AB＝BC，


∴BO⊥AC，


∴∠BOC＝90°，


∵∠DAC＝33°，


∴∠BCA＝∠DAC＝33°，


∴∠OBC＝90°﹣33°＝57°，


故選：B．


2．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，


∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD＝3，AC⊥BD，


∴AO＝＝＝4，


∴AC＝8，


∴菱形ABCD的面積＝×AC×BD＝24，


故選：B．


3．【解答】解：A、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故A選項不符合題意；


B、四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故B選項不符合題意；


C、一組對邊平行且對角線相等的四邊形不一定是矩形，故C選項符合題意；


D、四條邊都相等的四邊形是菱形，故D選項不符合題意；


故選：C．


4．【解答】解：設(shè)AB＝4xcm，則BC＝3xcm，


∵四邊形ABCD是矩形，


∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，


∴AC＝＝＝5x（cm），


∴5x＝10cm，


∴x＝2cm，


∴AB＝8cm，BC＝6cm，


∴矩形ABCD的周長＝2（8+6）＝28（cm），


故選：C．





5．【解答】解：連接CE，如圖所示：


∵四邊形ABCD是矩形，


∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，


∵EF⊥AC，


∴AE＝CE，


設(shè)DE＝x，則CE＝AE＝6﹣x，


在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（6﹣x）2，


解得：x＝，


即DE＝；


故選：D．





6．【解答】解：A．根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；


B．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；


C．不能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項符合題意；


D．平行四邊形ABCD中，AB∥CD，


∴∠BAD+∠ADC＝180°，


又∵∠BAD＝∠ADC，


∴∠BAD＝∠ADC＝90°，


根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意．


故選：C．


7．【解答】解：連接AC、BD交于點E，如圖所示：


∵四邊形ABCD是菱形，


∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，


∵點B的坐標(biāo)為（8，2），點D的坐標(biāo)為（0，2），


∴OD＝2，BD＝8，


∴AE＝OD＝2，DE＝4，


∴AD＝＝2，


∴菱形的周長＝4AD＝8；


故選：C．





8．【解答】解：連接AE，如圖所示：


∵四邊形ABCD是矩形，


∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，


∵OE⊥AC，


∴AE＝CE＝3，


∴BE＝BC﹣CE＝1，


∴AB＝＝＝2，


∴矩形ABCD的面積＝AB×BC＝2×4＝8；


故選：B．





9．【解答】解：過M點作MH⊥AC于H點，


∵四邊形ABCD是正方形，


∴∠HAM＝45°．


∴△HAM是等腰直角三角形，


∴HM＝AM＝1．


∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，


∴BM＝HM＝1，∠ACM＝∠BCN．


∵∠BMN＝45°+∠ACM，∠BNM＝45°+∠BCM，


∴∠BMN＝∠BNM．


∴BN＝BM＝1．





故選：C．


10．【解答】解：∵△ADE是等邊三角形，


∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，


∵四邊形ABCD是正方形，


∴∠EAB＝90°，AD＝AB


∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB


∴∠AEB＝30°÷2＝15°，


∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，


故選：A．


二．填空題（共7小題）


11．【解答】解：∵Rt△ABC斜邊上的中線為6，


∴這個三角形斜邊長為12．


故答案為：12．


12．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝2，


∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝1，


①如圖1，正方形ACEF在AC的上方時，過點B作BG⊥AF交FA的延長線于G，





則BG＝AO＝2，AG＝OB＝1，F(xiàn)G＝AF+AG＝4+1＝5，


在Rt△BFG中，BF＝＝＝；


②如圖2，正方形ACEF在AC的下方時，過點B作BG⊥AF于G，





則BG＝AO＝2，F(xiàn)G＝AF﹣AG＝4﹣1＝3，


在Rt△BFG中，BF＝＝＝，


綜上所述，BF長為或．


故答案為：或．


13．【解答】解：∵對角線AC與BD互相平分，


∴四邊形ABCD是平行四邊形，


要使四邊形ABCD成為矩形，


需添加一個條件是：AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度．


故答案為：AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度．


14．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，AC，BD交于點O，BD＝8


∴BD＝2BO，即2BO＝8．


∴BO＝4．


又∵M、N分別為BC、OC的中點，


∴MN是△CBO的中位線，


∴MN＝BO＝2．


故答案是：2．





15．【解答】解：如圖，過B作BF⊥x軸于F，過C作CE⊥y軸于E，


則∠CEO＝∠BFO＝90°，


∵四邊形ABOC是正方形，


∴∠BOC＝90°，


∴∠COE+∠BOE＝∠BOF+∠BOE＝90°，


∴∠COE＝∠BOE，


∵OC＝OB，


∴△COE≌△BOF（AAS），


∴CE＝BF，OE＝OF，


∵B（2，1），


∴OF＝2，BF＝1，


∴CE＝1，OE＝2，


∴C（﹣1，2），


故答案為：（﹣1，2）．





16．【解答】解：連接AC，BD交于點O，





∵B、E、F、D四點在同一條直線上，


∴E，F(xiàn)在BD上，


∵正方形AECF的面積為50cm2，


∴AC2＝50，AC＝10cm，


∵菱形ABCD的面積為120cm2，


∴＝120，BD＝24cm，


所以菱形的邊長AB＝＝13cm．


故答案為：13．


17．【解答】解：連接CF，





∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，


∴GF＝GB＝6，BC＝9，


∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，


∴CF＝＝＝3．


∵M、N分別是DC、DF的中點，


∴MN＝＝．


故答案為：．


三．解答題（共7小題）


18．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，


∴∠AEB＝∠DAE，


∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，


∴∠DAE＝∠BAD＝45°，∠BCF＝∠BCD＝45°，


∴∠AEB＝∠DAE＝∠BCF，


∴AE∥CF．


19．【解答】（1）證明：∵AE平分∠BAD，


∴∠BAE＝45°，


∴△ABE是等腰直角三角形，


∴AB＝BE，∠AEB＝45°，


∵AB＝CD，


∴BE＝CD，


∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，


∴△CEF是等腰直角三角形，


∵點G為EF的中點，


∴CG＝EG，∠FCG＝45°，


∴∠BEG＝∠DCG＝135°，


在△DCG和△BEG中，


，


∴△DCG≌△BEG（SAS）．





（2）解：∵△DCG≌△BEG，


∴∠DGC＝∠BGE，


∴∠BGD＝∠EGC＝90°，


∵DG＝BG，


∴∠BDG＝45°．


20．【解答】證明：（1）∵O是AC的中點，且EF⊥AC，


∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，


∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，


∴∠AFO＝∠CEO，


在△AOF和△COE中，


，


∴△AOF≌△COE（AAS），


∴AF＝CE，


∴AF＝CF＝CE＝AE，


∴四邊形AECF是菱形；


（2）如圖，





∵AB＝8，AF＝AE＝EC＝10，


∴BE＝＝＝6，


∴BC＝16，


∴AC＝＝＝8，


∵AO＝CO，∠ABC＝90°，


∴BO＝AC＝4．


21．【解答】（1）證明：∵E是AD的中點，


∴AE＝DE，


∵AF∥BC，


∴∠AFE＝∠DBE，


在△AEF和△DEB中，


∵，


∴△AEF≌△DEB（AAS），


∴AF＝DB，


∴四邊形ADCF是平行四邊形，


∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，


∴AD＝CD＝BC，


∴四邊形ADCF是菱形；


（2）解：設(shè)AF到CD的距離為h，


∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，


∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝×12×16＝96．


22．【解答】（1）BE＝AF且BE⊥AF．


∵ABCD是正方形，


∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠CDA＝90°，


∵EA＝ED＝FD＝FC，


∴∠EAD＝∠FDC，


∴∠EAB＝∠FDA，


在△EAB和△FDA中：





∴△EAB≌△FDA（SAS），


∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，


∵∠DAF+∠BAF＝90°，


∴∠ABE+∠BAF＝90°，


∴BE⊥AF．


（2）如圖，BE＝AF且BE⊥AF．





23．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．


∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．


∵O是CD的中點，


∴OC＝OD，


在△AOD和△EOC中，，


∴△AOD≌△EOC（AAS）；


（2）∵△AOD≌△EOC，


∴OA＝OE．


又∵OC＝OD，


∴四邊形ACED是平行四邊形．


∵∠B＝∠AEB＝45°，


∴AB＝AE，∠BAE＝90°


∵四邊形ABCD是平行四邊形，


∴AB∥CD，AB＝CD．


∴∠COE＝∠BAE＝90°．


∴?ACED是菱形．


∵AB＝AE，AB＝CD，


∴AE＝CD．


∴菱形ACED是正方形．





24．【解答】（1）證明：如圖1，在AB上截取BM＝BE，連接ME，


∵∠B＝90°，


∴∠BME＝∠BEM＝45°，


∴∠AME＝135°＝∠ECF，


∵AB＝BC，BM＝BE，


∴AM＝EC，


在△AME和△ECF中，


∴△AME≌△ECF（ASA），


∴AE＝EF；


（2）解：取AB中點M，連接EM，


∵AB＝BC，E為BC中點，M為AB中點，


∴AM＝CE＝BE，


∴∠BME＝∠BME＝45°，


∴∠AME＝135°＝∠ECF，


∵∠B＝90°，


∴∠BAE+∠AEB＝90°，


∵∠AEF＝90°，


∴∠AEB+∠FEC＝90°，


∴∠BAE＝∠FEC，


在△AME和△ECF中，


∴△AME≌△ECF（ASA），


∴EM＝CF，


∵AB＝2，點E是邊BC的中點，


∴BM＝BE＝1，


∴CF＝ME＝．











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