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2.(2012·本溪中考)在菱形ABCD中,對(duì)
角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則△BDE的面積為( )
A.22 B.24 C.48 D.443.如圖,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分別是邊AB和BC的中點(diǎn),EP⊥CD于點(diǎn)P,則∠FPC=( )A.35° B.45°C.50° D.55°二、填空題(每小題4分,共12分)4.(2013·淮安中考)若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2和3,則此菱形的面積是 .5.如圖,活動(dòng)衣帽架由三個(gè)菱形組成,利用
四邊形的不穩(wěn)定性,調(diào)整菱形的內(nèi)角α,使衣帽架拉伸或收縮.當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為18c
m,α=120°時(shí),A,B兩點(diǎn)的距離為 cm.
6.(2013·黔西南州中考)如圖所示,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,且AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,∠B=60°,則菱形的面積為 .三、解答題(共26分)7.(8分)(2013·黃岡中考)如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,DH⊥AB于H,連接OH,求證:∠DHO=∠DCO.
8.(8分)一種千斤頂利用了四邊形的不穩(wěn)定性.如圖,其基本形狀是一個(gè)菱形,中間通過(guò)螺桿連接,轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變∠ADC的大小(菱形的邊長(zhǎng)不變),從而改變千斤頂?shù)母叨?即A,C之間的距離).若AB=40cm,當(dāng)∠ADC從60°變?yōu)?20°時(shí),千斤頂升高了多少?(
≈1.414,
≈1.732,結(jié)果保留整數(shù))【拓展延伸】9.(10分)已知:如圖,菱形ABCD中,∠BAD=120°,動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng),作∠APM=60°,且直線PM與直線CD相交于點(diǎn)Q,Q點(diǎn)到直線BC的距離為QH.
(1)若P在線段BC上運(yùn)動(dòng),求證:CP=DQ.(2)若P在線段BC上運(yùn)動(dòng),探求線段AC,CP,CH的一個(gè)數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 答案解析1.【解析】選C.設(shè)兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為3x,4x,則
+
=102,解得x=4.所以?xún)蓷l對(duì)角線長(zhǎng)分別為12cm,16cm.2.【解析】選B.∵AD∥BE,AC∥DE,∴四邊形ACED是平行四邊形,∴AC=DE=6,在Rt△ABO中,BO=
=
=4,∴BD=2BO=8.又∵BE=BC+CE=BC+AD=10,
∴△BDE是直角三角形,∴△BDE的面積=
DE·BD=24.3. 【解析】選D.延長(zhǎng)PF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.可以證明△BGF≌△CPF,∴F為PG中點(diǎn).又由題可知,∠BEP=90°,∴EF=PG,∵PF=PG,∴EF=PF,∴∠FEP=∠EPF,∵∠BEP=∠EPC=90°,∴∠BEF=∠FPC,∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°-70°)=55°,∴∠FPC=55°.4.【解析】由題意可知:S菱形=×2×3=3.答案:3【歸納整合】菱形的面積公式及拓展(1)菱形的面積=底×高.(2)如果菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為a和b,那么菱形的面積=ab.(3)如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直,且兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為a和b,那么這個(gè)四邊形的面積=ab.5.【解析】∵α=120°,∴菱形的銳角為60°,∴AB=3×18=54(cm).答案:546.【解析】∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∴AB=BC=4,∵AE⊥BC于點(diǎn)E,∠B=60°,∴BE=2,由勾股定理得,AE=
=
=2.∴菱形的面積=4×2=8.答案:8【歸納整合】含有60°或120°內(nèi)角的菱形的性質(zhì)(1)短的對(duì)角線與菱形相鄰的兩邊構(gòu)成的三角形是等邊三角形.(2)菱形的兩條對(duì)角線把菱形分成的四個(gè)全等的直角三角形中的較小銳角為30°,可利用這一特殊關(guān)系解決問(wèn)題.(3)如果菱形的邊長(zhǎng)為a,那么菱形的面積為
a2.7.【證明】∵四邊形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°,∵DH⊥AB,∴OH=OB,∴∠OHB=∠OBH,又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO.8.【解析】連接AC,與BD相交于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ADB=∠CDB,AC=2AO.當(dāng)∠ADC=60°時(shí),△ADC是等邊三角形.∴AC=AD=AB=40(cm).當(dāng)∠ADC=120°時(shí),∠ADO=60°,∠OAD=30°,∴AO=
=
=20(cm).∴AC=40(cm).因此升高的高度為40-40=40(-1)≈
29(cm).
9.【解析】(1)連接AQ,作PE∥CD交AC于E,則△CPE是等邊三角形,∠EPQ=∠CQP.又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,∴∠APE=∠CPQ,又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,∴△APQ是等邊三角形,∴∠2+∠3=60°,∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.(2)AC=CP+2CH.證明如下:∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.
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