18.2 特殊的平行四邊形第6課時目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入回顧舊知識：①有一個角是直角的平行四邊形②有三個角是直角的四邊形③對角線相等的平行四邊形 ①有一組鄰邊相等的平行四邊形②四條邊都相等的四邊形③對角線互相垂直的平行四邊形菱形的判別方法：矩形的判別方法：新課精講探索新知1知識點正方形的對稱性(A)(B)(C)(D)正方形的對稱性：正方形是中心對稱圖形，對稱中心為點O；又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.探索新知例1 如圖，點E 在正方形ABCD 的對角線AC 上，且EC＝2AE， 直角三角形FEG 的兩直角邊EF、EG 分別交BC、DC 于點 M、N.若正方形ABCD 的邊長為a，則重疊部分四邊EMCN 的面積為(　　) A. a 2　　 B. a 2　 　 C. a 2　 　D. a 2D探索新知作EP⊥BC 于點P，EQ⊥CD 于點Q，易得△EPM ≌ △EQN，利用四邊形EMCN 的面積等于正方形PCQE 的面積求解．作EP⊥BC 于點P，EQ⊥CD 于點Q，∵四邊形ABCD 是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵CA是∠BCD 的角平分線，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四邊形PCQE 是正方形，導(dǎo)引：探索新知在△EPM 和△EQN 中，∴△EPM ≌ △EQN (ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，∴四邊形EMCN 的面積等于正方形PCQE 的面積，∵正方形ABCD 的邊長為a，∴AC＝ a，∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，∴正方形PCQE 的面積＝ a× a＝ a 2，∴四邊形EMCN 的面積＝ a 2.探索新知 本例解法在于巧用割補法，將分散的圖形拼合在一起，將不規(guī)則的陰影面積集中到一個規(guī)則的圖形中，再利用正方形及三角形的性質(zhì)求出，解答過程體現(xiàn)了割補法及轉(zhuǎn)化思想．典題精講1如圖，菱形ABCD 的面積為120 cm2，正方形AECF 的面積為50 cm2，則菱形的邊長為________．13cm2小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了(　　)A．1次　 B．2次C．3次 D．4次B典題精講3將五個邊長都為2 cm的正方形按如圖所示方式擺放，點A，B，C，D 分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影部分面積的和為(　　)A．2 cm2 B．4 cm2C．6 cm2 D．8 cm2B探索新知2知識點正方形的判定正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形的性質(zhì)=探索新知有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等有一個角是直角平行四邊形有一個角是直角有一組鄰邊相等探索新知例2 如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB， DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn). 求證：四邊 形CFDE 是正方形．要證四邊形CFDE 是正方形，首先要確定這個正方形建立在哪種四邊形的基礎(chǔ)上，即先證它是什么四邊形；再證這種四邊形是正方形需要補充的條件．導(dǎo)引：探索新知證法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF. 同理DF∥CE， ∴四邊形CFDE 是平行四邊形． ∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴? CFDE 是菱形． ∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE 是正方形．證法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°， ∴四邊形CFDE 是矩形． ∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴矩形CFDE 是正方形．探索新知證明條件中不含對角線的四邊形是正方形的四種方法：方法1：證：“四邊形＋四邊相等＋四個直角”；方法2：證：“平行四邊形＋一組鄰邊相等＋一個直角”；方法3：證：“矩形＋一組鄰邊相等”；方法4：證：“菱形＋一個直角”．探索新知例3 如圖，已知在?ABCD 中，對角線AC，BD 交于點O，E 是BD 的延長線上的點，且EA＝EC. (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED， 求證：四邊形ABCD 是正方形．要證?ABCD是正方形，有三種途徑可走：即在平行四邊形、菱形、矩形的基礎(chǔ)上，找各需補充的對角線的條件進行證明；若要證明?ABCD是菱形，由于題中條件與對角線相關(guān)，則需證AC⊥BD.導(dǎo)引：探索新知(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO，再由EA＝EC 可得△EAC 是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EO⊥AC，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可證出結(jié)論；(2)首先根據(jù)角的關(guān)系得出AO＝DO，進而得到AC＝BD，再根據(jù)對角線相等的菱形是正方形可得到結(jié)論．探索新知 (1)∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴AO＝CO， ∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC， ∴四邊形ABCD 是菱形． (2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED， ∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO， ∵四邊形ABCD 是菱形， ∴AC＝2AO，BD＝2DO， ∴AC＝BD，∴四邊形ABCD 是正方形.證明：探索新知證明條件中含對角線的四邊形是正方形的方法：(1)證：“四邊形＋對角線互相垂直、平分且相等”；(2)證：“平行四邊形＋對角線互相垂直且相等”；(3)證：“矩形＋對角線互相垂直”；(4)證：“菱形＋對角線相等”．典題精講1 滿足下列條件的四邊形是不是正方形？為什么？(1) 對角線互相垂直且相等的平行四邊形；(2) 對角線互相垂直的矩形；(3) 對角線相等的菱形；(4) 對角線互相垂直平分且相等的四邊形.(1)是；(2)是；(3)是；(4)是．原因略．解：典題精講2如圖，在菱形ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點O，不添加任何輔助線，請?zhí)砑右粋€條件___________________________，使四邊形ABCD 是正方形．∠BAD＝90°(答案不唯一)典題精講3下列判斷錯誤的是(　　)A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B．四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C．四條邊都相等的四邊形是菱形D．兩條對角線垂直且互相平分的四邊形是正方形D易錯提醒四邊形ABCD 的對角線AC 和BD 相交于點O，假設(shè)有下列條件：①AB＝AD ； ②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO； ④四邊形ABCD 為矩形；⑤四邊形ABCD 為菱形； ⑥四邊形ABCD 為正方形．則下列推理不成立的是(　　)A．①④?⑥ B．①③?⑤C．①②?⑥ D．②③?④易錯點：將特殊四邊形的判定相混淆導(dǎo)致出錯.C學(xué)以致用小試牛刀1關(guān)于?ABCD 的敘述，正確的是(　　)A．若AB⊥BC，則?ABCD是菱形B．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形C．若AC＝BD，則?ABCD是矩形D．若AB＝AD，則?ABCD是正方形C小試牛刀2小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使?ABCD 為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認為其中錯誤的是(　　) A．①②B．②③C．①③D．②④B小試牛刀3在△ABC 中，點D，E，F(xiàn) 分別在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，連接EF，AD，則下列三種說法：①如果EF＝AD，那么四邊形AEDF 是矩形；②如果EF⊥AD，那么四邊形AEDF 是菱形；③如果AD⊥BC 且AB＝AC，那么四邊形AEDF 是正方形，其中正確的有(　　)A．3個 B．2個 C．1個 D．0個B小試牛刀已知：如圖，在菱形ABCD 中，點E，O，F(xiàn) 分別為AB， AC，AD 的中點，連接CE，CF，OE，OF. (1)求證：△BCE ≌ △DCF. (2)當(dāng)AB 與BC 滿足什么關(guān)系時，四邊形AEOF 是正方形？ 請說明理由．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D. ∵點E，F(xiàn) 分別為AB，AD 的中點， ∴BE＝ AB，DF＝ AD. ∴BE＝DF. 在△BCE 和△DCF 中， ∴△BCE ≌ △DCF (SAS)．證明：小試牛刀(2)AB⊥BC，理由如下： ∵點E，O，F(xiàn) 分別為AB，AC，AD 的中點， ∴OE＝ BC＝ AD＝AF. 同理可證：OF＝AE＝ AB； ∴OE＝OF＝AF＝AE. ∴四邊形AEOF 是菱形． ∵AB⊥BC，又易知OE∥BC，∴AE⊥OE. ∴四邊形AEOF 是正方形．解：小試牛刀如圖，已知在△ABC 中，AB＝AC，D 為BC 邊的中點， 過點D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn). (1)求證：△BED ≌ △CFD； (2)若∠A＝90°，求證：四邊形DFAE 是正方形．小試牛刀(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D 是BC 的中點，∴BD＝CD. ∴△BED ≌ △CFD.(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵∠A＝90°，∴四邊形DFAE 為矩形． ∵△BED ≌ △CFD，∴DE＝DF. ∴四邊形DFAE 是正方形．證明：小試牛刀如圖，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是中線，E 是AD 的中點，過點A作AF∥BC 交BE 的延長線于點F，連接CF. (1)求證：AD＝AF； (2)如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF 的形狀，并證明你的結(jié)論．小試牛刀(1)∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB. ∵E 是AD 的中點，∴AE＝DE. 又∵∠AEF＝∠DEB， ∴△AEF ≌ △DEB (ASA)． ∴AF＝DB. ∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是中線， ∴AD＝BD＝DC＝ BC. ∴AD＝AF.證明：小試牛刀(2)當(dāng)AB＝AC 時，四邊形ADCF 是正方形． 由(1)可知，AD＝AF＝DC， ∵AF∥BC， ∴四邊形ADCF 是平行四邊形． ∵AB＝AC，AD 是中線，∴AD⊥BC. 又∵AD＝AF，∴四邊形ADCF 是正方形．解：小試牛刀如圖，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， D 是AB 的中點，E，F(xiàn) 分別是AC，BC 上的點(點E 不與端 點A，C 重合)，且AE＝CF，連接EF 并取EF 的中點O，連 接DO 并延長至點G，使GO＝DO，連接DE，DF，GE，GF. (1)求證：四邊形EDFG 是正方形； (2)當(dāng)點E 在什么位置時，四邊形EDFG 的面積最??？并求四 邊形EDFG 面積的最小值．小試牛刀(1)如圖，連接CD. ∵O是EF 的中點，∴OE＝OF. 又∵OD＝OG，∴四邊形EDFG 為平行四邊形． ∵AC＝BC，D 為AB 的中點，∠ACB＝90°， ∴AD＝DC，∠A＝∠FCD＝45°，CD⊥AB. 在△AED 和 △CFD 中，AE＝CF，∠A＝∠FCD， AD＝DC，∴△AED ≌ △CFD. ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF. ∴四邊形EDFG 為菱形． ∵CD⊥AD，∴∠ADE＋∠EDC＝90°. ∴∠EDC＋∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°. ∴四邊形EDFG 為正方形．證明：小試牛刀(2)∵四邊形EDFG 為正方形， ∴當(dāng)正方形EDFG 的邊長DE 最短時，其面積最?。? ∵垂線段最短， ∴當(dāng)DE⊥AC 時，四邊形EDFG 的面積最小． ∵AD＝DC，DE⊥AC， ∴AE＝EC，DE＝ AC＝2. ∴當(dāng)E 為AC 的中點時，四邊形EDFG 的面積最小， 四邊形EDFG 的面積的最小值＝22＝4.解：課堂小結(jié)課堂小結(jié)5種識別方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等四邊形平行四邊形矩形菱形正方形同學(xué)們，下節(jié)課見！

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