18.2 特殊的平行四邊形第5課時(shí)目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入回顧舊知識(shí)：平行四邊形邊：角：對(duì)角線：對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分矩形角：四個(gè)角是直角對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分邊：對(duì)邊平行且相等具有平行四邊形所有性質(zhì)情景導(dǎo)入菱形的性質(zhì)邊：四條邊相等對(duì)角線：互相垂直平分分別平分兩組對(duì)角對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)具有平行四邊形一切性質(zhì)角：回顧舊知識(shí)：新課精講探索新知1知識(shí)點(diǎn)正方形的定義正方形正方形有一個(gè)角是直角探索新知正方形的概念：__________________________________ 的平行四邊形是正方形._______________的菱形是正方形._________________的矩形是正方形. 定義有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等探索新知例1 如圖，已知點(diǎn)E 是正方形ABCD 的邊CD 上一點(diǎn)，點(diǎn) F 是CB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EA⊥AF. 求證：DE =BE.本題要證明兩條線段相等，而證明線段相等的方法有很多，根據(jù)題中所給的條件，由正方形ABCD，我們可以得到邊相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比較多的條件的情況下，一般會(huì)想到用全等去解決，而本題中全等的條件也很充足，那么問(wèn)題即可解決．分析：探索新知∵四邊形ABCD 是正方形，∴AD =AB，∠D =∠ABF=∠BAD=90°．∴∠BAE+∠EAD =90°．∴EA⊥AF， ∴∠BAE +∠FAB =90°．∴∠EAD =∠FAB．∴△ABF ≌ △ADE．∴DE=BF.證明：探索新知知道正方形就說(shuō)明它的四邊都相等，四個(gè)角都是直角.典題精講下面四個(gè)定義中不正確的是(　　)A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形B．有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形C．有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形D．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形1B?ABCD 的對(duì)角線AC 與BD 相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：_____________，使得?ABCD 為正方形．2AC＝BD探索新知2知識(shí)點(diǎn)正方形邊的性質(zhì)正方形邊的性質(zhì)： 具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；探索新知例2 已知：如圖，在正方形ABCD 中，對(duì)角線的交 點(diǎn)為O，E 是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE 于G，DG 交AO 于F，求證：EF∥AB.要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF 可通過(guò)證明△AEO ≌ △DFO 獲得．導(dǎo)引：探索新知∵四邊形ABCD 是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO ≌ △DFO (ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.證明：探索新知 通過(guò)證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件．典題精講(1)把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折一下，就可以裁出正方形紙片. 為什么？ (2)如何從一塊長(zhǎng)方形木板中裁出一塊最大的正方形木板呢？1略.解：典題精講正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(　　)A．四個(gè)角都相等 B．四條邊相等C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相平分2B典題精講一個(gè)大矩形按如圖方式分割成九個(gè)小矩形，且只有標(biāo)號(hào)為①和②的兩個(gè)小矩形為正方形，在滿(mǎn)足條件的所有分割中，若知道九個(gè)小矩形中n 個(gè)小矩形的周長(zhǎng)，就一定能算出這個(gè)大矩形的面積，則n 的最小值是(　　)A．3 B．4 C．5 D．63A典題精講如圖，正方形ABCD 的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF 為邊的正方形EFGH 的周長(zhǎng)為(　　)　A. B．2C. ＋1 D．2 ＋14B探索新知3知識(shí)點(diǎn)正方形角的性質(zhì)正方形角的性質(zhì)：四個(gè)角相等，且都是直角。探索新知例3 如圖，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為1 cm，AC 為對(duì)角線， AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求BE 的長(zhǎng)．線段BE 是Rt△ABE 的一邊，但由于AE 未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE ≌ △AFE，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EF 的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件易獲解．導(dǎo)引：探索新知 ∵四邊形ABCD 為正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE ≌ △AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE. 在Rt△ABC 中，AC ∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.解：探索新知 解有關(guān)正方形的問(wèn)題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問(wèn)題的三把鑰匙．典題精講如圖，ABCD 是一塊正方形場(chǎng)地. 小華和小芳在AB 邊上取定了一點(diǎn)E，測(cè)量知， EC=30 m，EB = 10 m. 這塊場(chǎng)地的面積和對(duì)角線長(zhǎng)分別是多少？1典題精講連接AC，BD 相交于點(diǎn)O.在Rt△BCE 中，BC因?yàn)锳B＝BC＝CD＝AD，所以S正方形ABCD＝BC 2＝(20)2＝800(m2)．因?yàn)锳C又BD＝AC，所以BD＝40 m．所以這塊場(chǎng)地的面積是800 m2，對(duì)角線長(zhǎng)是40 m.解：典題精講如圖是邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片，過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種剪法中，裁剪線長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位：cm)不正確的是(　　)2A典題精講如圖，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 為直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，則EF 的長(zhǎng)是(　　)A．7 B．8 C．7 D．73C易錯(cuò)提醒如圖，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為4，E 為BC 上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn) 為AB 上的一點(diǎn)，AF＝2，P 為AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF＋PE 的最小值為_(kāi)_______．易錯(cuò)點(diǎn)：不能將兩線段和轉(zhuǎn)化為一條線段而致錯(cuò).易錯(cuò)提醒學(xué)以致用小試牛刀如圖，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D 落在BC 邊上的點(diǎn)E 處，折痕為GH. 若BE∶EC＝2∶1，則線段CH 的長(zhǎng)是(　　)A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．61B小試牛刀已知在四邊形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是(　　)A．∠D＝90° B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD2D小試牛刀我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD 的邊AB 在x 軸上，AB 的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D 落在y軸正半軸上點(diǎn)D ′處，則點(diǎn)C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C ′的坐標(biāo)為(　　)A．( ，1) B．(2，1)C．(1， ) D．(2， )3D小試牛刀4 如圖，四邊形ABCD 是正方形，△EBC 是等邊三角形． (1)求證：△ABE ≌ △DCE； (2)求∠AED 的度數(shù)．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵△EBC 是等邊三角形， ∴EB＝BC＝EC， ∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°. ∴∠EBA＝∠ECD＝30°. 在△ABE 和△DCE 中， ∴△ABE ≌ △DCE.證明：小試牛刀(2)由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°. ∴∠BAE＝∠BEA＝75°. 同理∠CDE＝∠CED＝75°. ∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.小試牛刀如圖，在正方形ABCD 中，E，F(xiàn) 分別為邊AD 和CD 上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接AF，CE 交于點(diǎn)G.求證：AG＝CG.小試牛刀∵四邊形ABCD 是正方形，∴∠ADF＝90°，AD＝CD.∵AE＝CF，∴DE＝DF.在△ADF 和△CDE 中，∴△ADF ≌ △CDE (SAS)，∴∠DAF＝∠DCE.在△AGE 和△CGF 中，∴△AGE ≌ △CGF (AAS)，∴AG＝CG.證明：小試牛刀如圖，正方形ABCD 中，G 為BC 邊上一點(diǎn)，BE⊥AG 于E， DF⊥AG 于F，連接DE. (1)求證：△ABE ≌ △DAF； (2)若AF＝1，四邊形ABED 的面積為6，求EF 的長(zhǎng)．小試牛刀(1)在正方形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠DAF＝90°. ∵BE⊥AG 于E，DF⊥AG 于F， ∴∠AEB＝∠DFA＝90°， ∠ADF＋∠DAF＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE ≌ △DAF (AAS)．證明：小試牛刀(2)∵△ABE ≌ △DAF， ∴BE＝AF＝1，AE＝DF， 設(shè)AE＝DF＝x，∵S四邊形ABED＝S△ABE＋S△ADE， ∴6＝ AE (BE＋DF )， ∴6＝ x (1＋x )，整理得x 2＋x－12＝0， ∴(x－3)(x＋4)＝0. ∴x1＝3，x2＝－4(舍去)， ∴AE＝3， ∴EF＝AE－AF＝2.解：小試牛刀如圖，在正方形ABCD 中，點(diǎn)G 在對(duì)角線BD 上(不與點(diǎn)B， D 重合)，GE⊥DC 于點(diǎn)E，GF⊥BC 于點(diǎn)F，連接AG. (1)寫(xiě)出線段AG，GE，GF 長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2)若正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為1，∠AGF＝105°，求線段BG 的長(zhǎng)．小試牛刀(1)AG 2＝GE 2＋GF 2. 理由如下：如圖，連接GC，由正方形的性質(zhì)知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG.在△ADG 和△CDG 中，所以△ADG ≌ △CDG，所以AG＝CG.由題意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，所以四邊形GFCE 為矩形，CG 2＝CF 2＋GF 2，所以GE＝FC.又因?yàn)锳G＝CG，所以AG 2＝GE 2＋GF 2.解：小試牛刀(2)如圖，作AH⊥BD于點(diǎn)H， 由題意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°， 所以∠BAH＝45°＝∠ABG，∠GAH＝30°， 所以AH＝BH，AG＝2HG. 因?yàn)锳B＝1， 所以在Rt△ABH 中，由勾股定理可得AH＝BH＝ . 在Rt△AGH 中，由勾股定理可得HG＝ . 所以BG＝ .課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.正方形的四條邊都相等.3.正方形的四個(gè)角都相等.4.正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.同學(xué)們，下節(jié)課見(jiàn)！

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