18.2 特殊的平行四邊形第2課時(shí)目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入矩形的 兩條對角線互相平分矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分別平行矩形的四個(gè)角都是直角矩形的兩條對角線相等邊對角線角矩形的性質(zhì)新課精講探索新知1知識點(diǎn)由對角線的關(guān)系判定矩形 我們知道，矩形的對角線相等. 反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？ 工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，不僅要測量兩組對邊的長度是否分別相等，常常還要測量它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.你知道其中的道理嗎？思考探索新知可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個(gè)判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.警示：兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，這個(gè)四邊形必須是平行四邊形才可以.探索新知例1 如圖，在?ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點(diǎn)O， 且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB 的度數(shù).∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴OA=OC= AC，OB=OD= BD.又 OA=OD，∴ AC=BD.∴四邊形ABCD 是矩形.∴ ∠DAB=90°. 又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.解：探索新知 用對角線相等的平行四邊形是矩形判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件： 一是對角線相等， 二是四邊形是平行四邊形．典題精講如圖，?ABCD 的對角線AC，BD 相交于點(diǎn)O，△OAB是 等邊三角形，且AB=4. 求?ABCD 的面積.典題精講因?yàn)樗倪呅蜛BCD 是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC，OB＝OD.又因?yàn)椤鱋AB 是等邊三角形，所以O(shè)A＝OB＝AB.所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD. 所以AC＝BD，所以?ABCD 是矩形．又因?yàn)锳B＝4，所以AC＝8，所以BC＝所以S 矩形ABCD＝AB·BC＝4×解：典題精講2如圖，四邊形ABCD 的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是(　　)A．AB＝CD　B．AD＝BC　C．AB＝BC　D．AC＝BDD典題精講3下列關(guān)于矩形的說法中正確的是(　　)　A．對角線相等的四邊形是矩形B．矩形的對角線相等且互相平分C．對角線互相平分的四邊形是矩形D．矩形的對角線互相垂直且平分B4如圖，要使?ABCD 成為矩形，需添加的條件是(　　)A．AB＝BC B．AO＝BOC．∠1＝∠2 D．AC⊥BDB探索新知2知識點(diǎn)有直角的個(gè)數(shù)判定矩形 前面我們研究了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角. 它的逆命題成立嗎？即四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形嗎？進(jìn)一步，至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形？思考探索新知(1)根據(jù)矩形的定義，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． 如果不通過平行四邊形，能根據(jù)四邊形中直角的個(gè)數(shù)， 直接由四邊形來判定它是矩形嗎?有幾個(gè)角是直角的四 邊形是矩形呢? 矩形的四個(gè)角都是直角.反過來，四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形.探索新知已知：如圖所示，在四邊形ABCD 中， ∠A=∠B=∠C=90°． 求證：四邊形ABCD 是矩形． ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°，∴AD∥BC， AB∥CD.∴四邊形ABCD 是平行四邊形.∵∠A=90°.∴ ?ABCD 是矩形. 證明：探索新知例2 如圖，?ABCD 的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于 點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H. 求證：四邊形EFGH 是矩形.要證明四邊形EFGH 是矩形，由于已知ABCD 的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，因此可選用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來證明．導(dǎo)引：探索新知∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG 平分∠ABC，CG 平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD ＝ ×180°＝90°，∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四邊形EFGH 是矩形．證明：探索新知 本題目中的圖形是建立在四邊形基礎(chǔ)上，而條件中又涉及角的關(guān)系，一般采用“角的方法”來判定矩形．典題精講1如圖，在矩形ABCD 中，AB＞BC，點(diǎn)E、F、G、H 分別是邊DA、AB、BC、CD 的中點(diǎn)，連接EG、FH，則圖中矩形共有(　　)A．5個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)C典題精講2下列說法：①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)；②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的有(　　)A．0個(gè)　　　B．1個(gè)　　　C．2個(gè)　　　D．3個(gè)A典題精講3下列命題中，真命題有(　　)(1)對角線互相平分的四邊形是矩形(2)三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3 ：4的三角形是直角三角形(3)對角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形(4)三邊之比為1： ：2的三角形是直角三角形A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)C易錯(cuò)提醒在一組對邊平行的四邊形中，添加下列條件中的哪一個(gè)，可判定這個(gè)四邊形是矩形(　　)A．另一組對邊相等，對角線相等B．另一組對邊相等，對角線互相垂直C．另一組對邊平行，對角線相等D．另一組對邊平行，對角線互相垂直C易錯(cuò)提醒 此題易因?qū)匦蔚呐卸ǚ椒ɡ斫忮e(cuò)誤而出錯(cuò)．在一組對邊平行的前提下，再找該組對邊相等或另一組對邊平行即可判定這個(gè)四邊形為平行四邊形，再結(jié)合對角線相等即可判定這個(gè)四邊形是矩形．易錯(cuò)點(diǎn)：對矩形的判定方法理解錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò).學(xué)以致用小試牛刀1如圖，順次連接四邊形ABCD 各邊中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH 為矩形，應(yīng)添加的條件是(　　)A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DCC小試牛刀2已知平行四邊形ABCD，AC、BD 是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個(gè)平行四邊形為矩形的是(　　)A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADBC小試牛刀3如圖，在?ABCD 中，延長AD 到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，請你添加一個(gè)條件______________________，使四邊形DBCE 是矩形．EB＝DC (答案不唯一)小試牛刀如圖，在平行四邊形ABCD 中，點(diǎn)O 是邊BC 的中點(diǎn)，連接DO 并延 長，交AB 延長線于點(diǎn)E，連接BD，E C. (1)求證：四邊形BECD 是平行四邊形； (2)若∠A＝50°，則當(dāng)∠BOD＝________°時(shí)，四邊形BECD是矩形．100小試牛刀(1)在平行四邊形ABCD 中，AB∥CD， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵點(diǎn)O 是邊BC 的中點(diǎn)，∴OB＝OC， ∵∠BOE＝∠COD， ∴△BOE ≌ △COD，∴OE＝OD， ∴四邊形BECD 是平行四邊形．證明：小試牛刀5 如圖，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足為E. (1)求證：△DCA ≌ △EAC； (2)只需添加一個(gè)條件，即___________，可使四邊形 ABCD 為矩形．請加以證明．小試牛刀(1)證明：在△DCA 和△EAC 中， ∴△DCA ≌ △EAC (SSS)．(2)解：AD＝BC 證明：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四邊形ABCD 是平行四邊形． ∵CE⊥AE，∴∠E＝90°. 由(1)得△DCA ≌ △EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四邊形ABCD 為矩形．小試牛刀如圖，在矩形ABCD 中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，點(diǎn)P 從A 開始沿折線A→B→C→D 以4 cm/s的速度移動，點(diǎn)Q 從C 開始沿CD 邊以2 cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q 分別 從A、C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D 時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停 止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t s．當(dāng)t 為何值時(shí)，四邊形QPBC 為矩形？小試牛刀根據(jù)題意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm，則BP＝(24－4t )cm，∵四邊形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB.∴只有CQ＝BP 時(shí)，四邊形QPBC 是矩形，即2t＝24－4t.解得t＝4，∴當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形QPBC 是矩形．解：小試牛刀如圖，在△ABC 中，點(diǎn)O 是邊AC 上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)O 作直 線EF∥BC 分別交∠ACB、外角∠ACD 的平分線于點(diǎn)E、F. (1)若CE＝8，CF＝6，求OC 的長； (2)連接AE、AF. 問：當(dāng)點(diǎn)O 在邊AC上運(yùn)動到什么位置時(shí)， 四邊形AECF 是矩形？并說明理由．小試牛刀(1)∵EF 交∠ACB、外角∠ACD 的平分線于點(diǎn)E、F， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF. ∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. ∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF. ∴OE＝OC，OF＝OC. ∴OE＝OF＝ EF. ∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°， ∴∠ECF＝90°. 在Rt△CEF 中，由勾股定理得EF＝ ＝10， ∴OC＝OE＝ EF＝5.解：小試牛刀(2)當(dāng)點(diǎn)O 在邊AC上運(yùn)動到AC 中點(diǎn)時(shí)， 四邊形AECF 是矩形． 理由如下： 如圖所示． 當(dāng)O 為AC 的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四邊形AECF 是平行四邊形． ∵∠ECF＝90°， ∴平行四邊形AECF 是矩形． 課堂小結(jié)課堂小結(jié)1. 有一個(gè)角是直角的平行四邊形2. 對角線相等的平行四邊形3. 有三個(gè)角是直角的四邊形矩形. 矩形的判定方法：矩形. 矩形. 同學(xué)們，下節(jié)課見！

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