人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 18.2.5 正方形 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)目標(biāo)： 1.理解正方形的概念; 2.探索正方形的性質(zhì)與判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別; 3.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)與判定解決相關(guān)證明及計(jì)算問題. 二、教學(xué)重、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：正方形的定義及正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系. 難點(diǎn)：正方形與矩形、菱形的關(guān)系及正方形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用. 三、教學(xué)過程： 情境引入 觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在. 知識(shí)精講 正方形的四個(gè)角都是_____，四條邊都_____.因此，正方形既是______，又是______，它既有______的性質(zhì)，又有______的性質(zhì). 正方形是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？ 正方形有哪些性質(zhì)？ 實(shí)驗(yàn)探究 實(shí)驗(yàn)一：利用手中矩形紙片用最快的方法剪出一個(gè)正方形. 實(shí)驗(yàn)二：如何將一個(gè)活動(dòng)的菱形框變成一個(gè)正方形？ 思考 1.如果四邊形ABCD已經(jīng)是一個(gè)矩形，那么再加上什么條件就可以變?yōu)檎叫危?2.如果四邊形ABCD已經(jīng)是一個(gè)菱形，那么再加上什么條件就可以變?yōu)檎叫危? 3.如果四邊形ABCD是一般的平行四邊形，那么再加上什么條件就可以變?yōu)檎叫危? 有一組鄰邊相等的矩形是正方形：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形. 思考：正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？與同學(xué)們討論一下，能列表或用框圖表示出來嗎？ 典例解析 例1.求證：正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形. 已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 證明：∵ 四邊形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 例2.如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形.求證：∠EAD＝∠EDA＝15°. 證明：∵ΔBEC是等邊三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 【針對(duì)練習(xí)】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小． 解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°. 【點(diǎn)睛】因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部． 例3.如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.試說明：AP=EF. 解:連接PC，AC. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴AP=PC. 又∵PE⊥BC ，PF⊥DC, ∴四邊形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=EF. 【點(diǎn)睛】在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對(duì)角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明. 【針對(duì)練習(xí)】如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. 延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. 例4.在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么? 分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可. 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四邊形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°. ∴四邊形EFMN是正方形 . 【針對(duì)練習(xí)】如圖，EG,FH過正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形. 證明：∵四邊形ABCD為正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可證：OE=OF=OG, ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四邊形EFGH為菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四邊形EFGH為正方形. 例5.如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE． （1）求證：BF=DE； （2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由． （1）證明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF , ∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE； （2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFBE是正方形， 理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE=12AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴得平行四邊形AFBE， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四邊形AFBE是正方形． 課堂小結(jié) 1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是( ) A.對(duì)角線互相平分 B.四個(gè)角都是直角 C.四條邊都相等 D.對(duì)角線互相垂直 2.已知四邊形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°， 如果再添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形,那么這個(gè)條件可以是( ) A.∠D=90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD 3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是( ) A.當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 C.當(dāng)∠ABC=90°時(shí)， 它是矩形 D.當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形 4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).如果Q點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)R從B點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止，在這個(gè)過程中，線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為( ) A.2 B.4-π C.π D.π-1 5.正方形的一條邊長(zhǎng)是3，那么它的對(duì)角線長(zhǎng)是_______. 6.如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD上，且BE=CD， 則∠BEC的度數(shù)為_________. 7.如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為________. 8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，D，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上,且DE//CA，DF//BA. (1)四邊形AEDF是______________； (2)如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是_________； (3)如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是_________； (4)如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是__________. 9.如圖，在AB上取一點(diǎn)C,以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連接AF、BD，延長(zhǎng)BD交AF于H.求證:BH⊥AF. 10.如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求證: AQ平分∠DAP. 11.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)(E與A，D不重合)，G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn). (1)證明四邊形EGFH是平行四邊形; (2)在(1)的條件下，若EF⊥BC，且EF=12BC，證明平行四邊形EGFH是正方形. 【參考答案】 B D D B 32 67.5° 23 (1)平行四邊形；(2)矩形；(3)菱形；(4)正方形 9.證明:∵四邊形AEDC和BCFG是正方形∴AC=DC，CF=CB， ∠ACF=∠BCF=90° ∴△ACF≌△DCB (SAS) ∴∠AFC=∠DBC 又∵∠AFC+∠CAF=90° ∴∠DBC+ ∠CAF=90° ∴∠AHB=90° 即 BH⊥AF 10.證明:延長(zhǎng)AQ交BC延長(zhǎng)線與E. ∵四邊形ABCD是正方形 ∴AD=CD，AD// BC ∵∠D=∠QCE，∠DAQ=∠E 又∵DQ=CQ ∴△ADQ≌△ECQ (AAS) ∴AD=CE ∴CD=CE ∴AP=CD+CP=CE+CP=EP ∴∠PAQ=∠E ∴∠PAQ=∠DAQ，即AQ平分∠DAP 11.證明:(1)∵G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)∴GF//CE，F(xiàn)H//BE ∴GF//EH，F(xiàn)H//GE ∴四邊形EGFH是平行四邊形 證明:(2)連接EF. ∵BF=CF，EF⊥BC ∴BE=CE ∴GE=EH ∴四邊形EGFH是菱形 ∵EF=12BC,EF⊥BC ∴BF=EF=CF ∴∠BEF=∠CEF=45° ∴∠BEC=90° ∴四邊形EGFH是菱形且∠BEC=90° ∴四邊形EGFH是正方形 四、教學(xué)反思： 從本節(jié)課的授課過程來看，靈活運(yùn)用了多種教學(xué)方法，既有教師的講解，又有討論，在教師指導(dǎo)下的自學(xué)，組織學(xué)生活動(dòng)等. 調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用. 課堂拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，給學(xué)生充分發(fā)表意見的自由度.

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