人教版八年級下冊第十八章平行四邊形18.1 平行四邊形18.1.2 平行四邊形的判定說課ppt課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

　為了測量一個(gè)池塘的寬BC,在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)A,再分別找出線段AB,AC的中點(diǎn)D,E,若測出DE的長,就能求出池塘的寬BC,你知道為什么嗎?今天這堂課我們就來探究其中的學(xué)問.
　如圖,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),連接DE,像DE這樣,連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn), ∴DE為△ABC的中位線.
三角形有幾條中位線?你能畫出來嗎?
∵DE為△ABC的中位線, ∴D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).
　　說出三角形的中位線與中線有何相同點(diǎn)和不同點(diǎn).
相同之處:都是和邊的中點(diǎn)有關(guān)的線段.
不同之處:三角形中位線的兩個(gè)端點(diǎn)都是邊的中點(diǎn);三角形中線只有一個(gè)端點(diǎn)是邊的中點(diǎn),另一端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).
　　探索:如圖,三角形的中位線DE與BC有什么樣的關(guān)系?為什么?
猜想：DE∥BC 2DE=BC
　已知:如圖,點(diǎn)D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點(diǎn).求證:DE∥BC且DE= BC.　
〔解析〕　所證明的結(jié)論既有位置關(guān)系,又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已學(xué)過的知識,可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個(gè)平行四邊形中,利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立,從而使問題得到解決,這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形.
如圖,延長DE到F,使EF=DE,連接CF,由題意易得△ADE≌△CFE,從而可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DF∥BC,DF=BC,由作圖知2DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.
如圖,延長DE到F,使EF=DE,連接CF,CD和AF,因?yàn)锳E=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形.所以AD∥FC,且AD=FC.因?yàn)锳D=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DF∥BC,且DF=BC,因?yàn)?DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.
如圖,過E點(diǎn)作AB的平行線交BC于N,交過A點(diǎn)與BC平行的直線于M,由題意及作圖易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因?yàn)锳M∥BC,AB∥MN,所以四邊形AMNB是平行四邊形,所以AB=MN,AM=BN.又因?yàn)?BD=AB,2EN=MN,所以BD=EN,所以四邊形BDEN是平行四邊形,則DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即2DE=BC.
如圖,過A,B,C三點(diǎn)分別作DE的垂線,分別交直線DE于點(diǎn)P,M,N.因?yàn)锳P,BM,CN都垂直于DE,所以AP∥BM∥CN.可證明△APE≌△CNE,則AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM，則AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,2DE=MN,所以四邊形BMNC是平行四邊形,所以DE∥BC,2DE=MN=BC.
三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),　∴DE∥BC,DE= BC.
(1)三角形的中位線所構(gòu)成的三角形的周長是原三角形周長的一半.
(2)三角形三條中位線可以把三角形分成三個(gè) 平行四邊形,分成的四個(gè)三角形全等.
(3)三角形三條中位線所構(gòu)成的三角形的面積等于原三角形面積的四分之一.
　例：如圖,△ABC的中位線DE=5 cm,把△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處,若A,F兩點(diǎn)間的距離是8 cm,求△ABC的面積.
　解:連接AF,如圖所示.∵DE是△ABC的中位線,　∴BC=2DE=10 cm,DE∥BC.　由折疊可知AF⊥DE,∴AF⊥BC,　∴AF是△ABC的邊BC上的高.　∵AF=8 cm,　∴S△ABC= BC·AF= ×10×8=40(cm2).
　 [歸納拓展]　本題還可以這樣解:△ABC的面積是四邊形ADFE面積的2倍,而四邊形ADFE的對角線互相垂直,因此它的面積等于對角線乘積的一半,所以△ABC的面積等于AF·DE.
　例：如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證四邊形EFGH是平行四邊形.
　〔解析〕因?yàn)橐阎c(diǎn)E,F,G,H分別是線段的中點(diǎn),所以可以設(shè)法應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.由于四邊形的一條對角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形,所以考慮添加輔助線,連接AC或BD,構(gòu)造含有三角形中位線的基本圖形后,此題便可得證.
　證明:連接AC,如圖所示.　在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,　∴HG∥AC,HG= AC(三角形中位線性質(zhì)).　同理可得EF∥AC,EF= AC. ∴HG∥EF,且HG=EF.　∴四邊形EFGH是平行四邊形.
[歸納總結(jié)]順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形.
三角形的中位線的定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
①∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn), ∴DE為△ABC的中位線;
②∵DE為△ABC的中位線, ∴D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).　
三角形中位線的性質(zhì):　三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
特點(diǎn):在一個(gè)題設(shè)下,有兩個(gè)結(jié)論.一個(gè)表示位置關(guān)系,另一個(gè)表示數(shù)量關(guān)系.
結(jié)論:有兩個(gè),一個(gè)表明中位線與第三邊的位置關(guān)系,另一個(gè)表明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系.
三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴DE∥BC, DE=BC.
作用:在已知兩邊中點(diǎn)的條件下,證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
1.如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,在AB外選一點(diǎn)C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M,N,如果測得MN=20 m,那么A,B兩點(diǎn)間的距離是　　m,理由是　 .
解析:因?yàn)镸,N分別是AC和BC的中點(diǎn),所以2MN=AB,所以AB=2MN=40 m.理由是:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,點(diǎn)D,E,F分別是△ABC三邊的中點(diǎn),則△DEF的周長是　　　　,面積是　　　　.?
解析:△DEF的三條邊分別是Rt△ABC的三條中位線,所以△DEF的三條邊長分別是Rt△ABC的三邊長的一半,所以△DEF的周長是Rt△ABC的周長的一半,△ABC的周長是24,則△DEF的周長是12.三角形的三條中位線在三角形中可以構(gòu)成三個(gè)平行四邊形和四個(gè)全等的三角形,所以△DEF的面積是Rt△ABC的面積的四分之一,△ABC的面積= 8× 6=24,因此△DEF的面積為6.