人教A版 (2019)必修 第二冊第八章 立體幾何初步8.6 空間直線、平面的垂直課后測評

這是一份人教A版 (2019)必修 第二冊第八章 立體幾何初步8.6 空間直線、平面的垂直課后測評，共12頁。試卷主要包含了定義等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一．直線與平面垂直
（一）定義
垂線段：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離.
（二）直線與平面垂直的判定定理
（三）直線與平面垂直的性質(zhì)定理
二．平面與平面垂直
（一）定義
1.定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
(2)畫法：
(3)記作：α⊥β.
（二）判定定理
（三）性質(zhì)定理
知識簡用
題型一 線線垂直
【例1-1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（ ）
A．2條B．4條
C．6條D．8條
題型二 線面垂直
【例2-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點(diǎn)． 求證：
(1)平面；
(2)平面．
【例2-2】（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
求證：
(1)平面；
(2).
題型三 面面垂直
【例3-1】（2022春·上海奉賢·高一?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面．
【例3-2】（2022秋·陜西渭南·高一校考期末）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直線A1F∥平面ADE．
題型四 判斷與性質(zhì)定理的辨析
【例4-1】（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【例4-2】（2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，，則
定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法
l⊥α
有關(guān)概念
直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足
圖示
畫法
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
文字語言
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
圖形語言
文字語言
垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
圖形語言
文字語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
符號語言
l⊥α，l?β?α⊥β
圖形語言
文字語言
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言
α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β
圖形語言
8.6.1 空間直線、平面的垂直（學(xué)案）
知識自測
一．直線與平面垂直
（一）定義
垂線段：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離.
（二）直線與平面垂直的判定定理
（三）直線與平面垂直的性質(zhì)定理
二．平面與平面垂直
（一）定義
1.定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
(2)畫法：
(3)記作：α⊥β.
（二）判定定理
（三）性質(zhì)定理
知識簡用
題型一 線線垂直
【例1-1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（ ）
A．2條B．4條
C．6條D．8條
【答案】D
【解析】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.
題型二 線面垂直
【例2-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點(diǎn)． 求證：
(1)平面；
(2)平面．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】（1）連接，
四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四邊形為正方形，，
又，平面，平面.
【例2-2】（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
求證：
(1)平面；
(2).
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】（1）∵底面為矩形，∴，
∵底面，底面，∴，
又∵，平面，
∴平面.
（2）∵平面，平面，∴，
∵，是的中點(diǎn)，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴.
題型三 面面垂直
【例3-1】（2022春·上海奉賢·高一校考期末）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，
四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四邊形為正方形，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
【例3-2】（2022秋·陜西渭南·高一?？计谀┤鐖D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直線A1F∥平面ADE．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴直線A1F∥平面ADE．
題型四 判斷與性質(zhì)定理的辨析
【例4-1】（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【答案】D
【解析】對于A，若，，則或或與相交，故A錯誤．
對于B，若，，，則或或與相交，故B錯誤．
對于C，若，，則或與相交，故C錯誤．
對于D，利用線面垂直，及面面垂直的位置關(guān)系，可知D正確．
故選：D
【例4-2】（2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【答案】D
【解析】利用正方體確定線面之間的位置關(guān)系，如圖所示，
對于A選項(xiàng)，設(shè)AD為m，BC為n，面為，
則滿足，，，故A錯誤；
對于B選項(xiàng)，設(shè)AD為m，BC為n，AB為l，面為，
滿足，，，，，故B錯誤；
對于C選項(xiàng)，面為，面為，AD為l,
滿足，，，故C錯誤；
對于D選項(xiàng)，由面面平行性質(zhì)定理：
兩個平行平面，分別和第三個平面相交，交線平行，
所以，，，可得.
故D正確.
故選：D.
定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法
l⊥α
有關(guān)概念
直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足
圖示
畫法
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
文字語言
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
圖形語言
文字語言
垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
圖形語言
文字語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
符號語言
l⊥α，l?β?α⊥β
圖形語言
文字語言
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言
α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β
圖形語言