高中數(shù)學(xué)6.4 平面向量的應(yīng)用優(yōu)秀學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

平面向量的綜合應(yīng)用
一、課堂目標(biāo)
1．熟練掌握用向量解決實(shí)際問題的兩種方法：基底法和坐標(biāo)法．
2．掌握向量在物理中的應(yīng)用．
3．掌握三角形的“五心”及應(yīng)用．
二、知識(shí)講解
1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用
知識(shí)精講
（1）兩種方法
①基底法：根據(jù)圖形之間的關(guān)系，選擇一組基底，再用基底分別表示出目標(biāo)向量，然后再根據(jù)平面向量
的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解．
②坐標(biāo)法：若圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系，則可建立坐標(biāo)系，先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示向量的坐標(biāo)，通
過坐標(biāo)運(yùn)算法則求解．
（2）用向量方法解決平面幾何問題的基本步驟
①表示：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量
問題；
②運(yùn)算：通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；
③翻譯：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)睛
（1）平面向量坐標(biāo)法的解題思路：
①首先需要考慮如何建立合適的坐標(biāo)系以便更有利于問題的解決，一般遵循的原則是：讓盡可能多的點(diǎn)的坐標(biāo)形式簡(jiǎn)單．比如，盡量讓更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，一般優(yōu)先考慮將原點(diǎn)取在已知線段的中點(diǎn)處(或互相垂直的線段的交點(diǎn)處)等等．
②建立坐標(biāo)系后，要標(biāo)出坐標(biāo)已知的點(diǎn)，對(duì)于坐標(biāo)未知的點(diǎn)，要分析它們與已知點(diǎn)的關(guān)系，確實(shí)沒有聯(lián)系的未知點(diǎn)，要大膽地設(shè)出坐標(biāo)，這樣未知參數(shù)雖然比較多，看上去似乎有些凌亂，但一般不影響解答和最終結(jié)果．
③相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出之后，就可以將題目中的向量關(guān)系和運(yùn)算用坐標(biāo)來表示了，此時(shí)結(jié)合解析幾何、代
數(shù)知識(shí)可使問題獲解．
（2）常見應(yīng)用形式
①證明線段相等：要證明，只要證明或或．
②證明直線或線段平行：要證明，只要證明存在實(shí)數(shù)λ，使得或
，即利用向量共線定理或向量共線的坐標(biāo)表示證明．
③證明三點(diǎn)共線：要證明，，三點(diǎn)共線，只要證明存在實(shí)數(shù)λ，使得
或，即利用向量共線定理先說明共線，而后說明有一個(gè)公共點(diǎn)即可．
④證明線段垂直（證明四邊形是矩形或正方形，證明三角形是直角三角形等）：
或
要證明，只要證明或．
⑤求與夾角有關(guān)的問題：
逆用向量的數(shù)量積公式
，或利用坐標(biāo)表示為
．
⑥求線段的長(zhǎng)度：
利用公式
或
．
經(jīng)典例題
1. 在平行四邊形中，，，，點(diǎn) ，分別在，邊上，且
，，則（）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
2. 已知
中，
，
，
，
，
，則
（
）．
A.B.C.D.
3. 如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，則（）．
A.B.
C.D.
經(jīng)典例題
4. 如圖，在中，，，．是邊上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則
的取值范圍是．
D
鞏固練習(xí)
5. 如圖，在梯形
中，
，
，
，
，是線段上一點(diǎn)，（可與
，重合），若，則的取值范圍是．
6. 如圖，在三角形中，已知，，，點(diǎn) 為的三等分點(diǎn)．則
的取值范圍為（）．
A.B.
C.D.
經(jīng)典例題
7. 在邊長(zhǎng)為的正方形
中，
，的中點(diǎn)為，
，則
．
鞏固練習(xí)
8. 如圖，在矩形
中，
，
，點(diǎn) 為的中點(diǎn)，點(diǎn) 在邊上，若
，則的值是．
經(jīng)典例題
9. 如圖，四邊形是正方形，延長(zhǎng) 至，使得，若點(diǎn) 為的中點(diǎn)，且
,則（）
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
10. 在
中，
，若
，則
.
2. 向量在物理中的應(yīng)用
知識(shí)精講
（1）常見物理量的解題思路
①力向量：求作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，可用向量求和的平行四邊形法則求解．
（i）當(dāng)受力物體被看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，往往對(duì)作用力進(jìn)行正交分解；
（ii）在同一平面上，作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力，或三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，可分別用等式
，來表示．
②速度向量：可用求向量和的平行四邊形法則求兩個(gè)速度的合速度．在具體問題中有時(shí)需要對(duì)速度進(jìn)行
分解，這時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選擇平行四邊形法則或正交分解法．
③力做功：力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量
積，（為和的夾角）．
(2)用向量法解決物理問題的步驟
①抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；
②建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；
③通過向量的線性運(yùn)算或數(shù)量運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；
④用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋物理問題．
知識(shí)點(diǎn)睛
（1）向量是既有大小又有方向的量，物理中有許多量，比如力，速度、加速度、位移等都是向量，本節(jié)就是用向量來研究物理問題，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象．
（2）須明確和掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)．①力，速度、加速度、位移都是向量；
②力，速度，加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成；
③動(dòng)量是數(shù)乘向量；
④功即是力與所產(chǎn)生位移的數(shù)量積．
經(jīng)典例題
11. 如圖，一質(zhì)點(diǎn)在平面上的三個(gè)力、、的作用下處于平衡狀態(tài)，已知
，
，與的夾角為，求的大?。?br>鞏固練習(xí)
12. 兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力、，當(dāng)它們的夾角為時(shí)，合力大小為，當(dāng)它們的夾角為
時(shí)，合力大小為（）．
A.B.
C.D.
13. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力、、（單位：）的作用處于平衡狀態(tài)．已知、成角，且，的大小分別為和，則的大小為（）．
A.B.
C.D.
經(jīng)典例題
14.年巴西夏季奧運(yùn)會(huì)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)，如果一帆
船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫| ，速度為，此時(shí)水的流向是正東，流速為，若不考慮
其他因素，求帆船行駛的速度與方向．
鞏固練習(xí)
15. 一條河寬為，一船從出發(fā)垂直到達(dá)河正對(duì)岸的處，船速為，水速為，則船
到達(dá) 處所需時(shí)間為．
經(jīng)典例題
16. 質(zhì)量
的物體，在平行于斜面向上的拉力
的作用下，沿斜面角
的光滑斜
面向上滑行的距離（如圖所示）．
（ 1 ）分別求物體所受各力在這一過程中對(duì)物體做的功．
（ 2 ）在這一過程中，物體所受各力對(duì)物體做的功的代數(shù)和是多少？
鞏固練習(xí)
17. 已知一物體在共點(diǎn)力，的作用下產(chǎn)生位移，則這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)
物體做的總功為．
3. 三角形的“五心”
知識(shí)精講
（1）三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心、旁心①三角形三條中線的交點(diǎn)是重心；
②三角形三條高線的交點(diǎn)為垂心；
③與三角形三個(gè)頂點(diǎn)都相交的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心（是三邊垂直平
分線的交點(diǎn)）；
④與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心（是三條內(nèi)角平分線
的交點(diǎn)）；
⑤與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁
心（是其一內(nèi)角的平分線所在直線和其他兩角的外角平分線的交點(diǎn)）．
（2）“奔馳”定理
已知為三角形內(nèi)一點(diǎn)，則
其中，，分別是、、的面積．
由于這個(gè)定理和奔馳的很相似，我們把它稱為“奔馳”定理．根據(jù)這個(gè)定理，我們很容易得到三角形的五心的向量表達(dá)式.
知識(shí)點(diǎn)睛
（1）重心的向量表示式
表達(dá)式①：是的重心
表達(dá)式②：是的重心
（2）垂心的向量表達(dá)式
表達(dá)式①：是的垂心
表達(dá)式②：是的垂心
（3）外心的向量表達(dá)式
表達(dá)式①：是的外心
表達(dá)式②：是的外心
（4）內(nèi)心的向量表達(dá)式
表達(dá)式①：是的內(nèi)心
表達(dá)式②：是的內(nèi)心
（5）旁心的向量表達(dá)式
一個(gè)三角形的旁心有三個(gè)，若是
的位于的平分線上的一個(gè)旁心，則有：
．反之也成立．
經(jīng)典例題
18. 已知為的重心，為的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）．
A. B. C. D.
鞏固練習(xí)
19. 已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，其重心為，則（）．
A.B.C.D.
經(jīng)典例題
20. 已知的垂心為，且，，是的中點(diǎn)，則（）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
21. 已知是
的垂心（三角形三條高所在的直線的交點(diǎn)），
，則
的值為．
經(jīng)典例題
22. 在中，，，，且是的外心，則（）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
23. 已知
中
，
，若為
的外心，則
．
經(jīng)典例題
24. 在
中，
，
，
．若是
的內(nèi)心，且
，則
，．
鞏固練習(xí)
25. 在中，，，設(shè) 為的內(nèi)心，若，則的值為（
）．
A.B.C.D.
三、思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！
四、出門測(cè)
26. 已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn) 是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為；的取
值范圍是．
27. 河水的流速為，若一艘小船沿垂直于河岸方向以的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速
度大小為（）．
A.B.C.D.
28. 已知，，在所在平面內(nèi)，，，且
，則點(diǎn) ，，依次是的（）．
A. B. C. D.
重心外心垂心重心外心內(nèi)心外心重心垂心
外心重心內(nèi)心（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角形的垂心）
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