平面向量的概念及運(yùn)算
一、 課堂目標(biāo)
1．理解平面向量相關(guān)的概念．
2．熟練掌握向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算．
3．熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算．
二、 知識(shí)講解
1. 向量的概念及幾何表示
知識(shí)精講
（1）向量的概念
既有大小，又有方向的量，叫做向量.注意：
向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量是只有大小，沒有方向的量，可以比較大?。幌蛄渴羌扔写笮。钟蟹较虻?br>量，不能比較大小.
（2）有向線段
①定義：一般地，若規(guī)定線段 的端點(diǎn) 為起點(diǎn)，端點(diǎn) 為終點(diǎn)，則線段 就具有了從起點(diǎn) 到終點(diǎn)
的方向和長(zhǎng)度.這種具有方向和長(zhǎng)度的線段叫做有向線段.
②表示：以 為起點(diǎn)， 為終點(diǎn)的有向線段即為 ，起點(diǎn)寫在終點(diǎn)前面.規(guī)定線段 的長(zhǎng)度為有向線段
的長(zhǎng)度，記為.
③有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
（3）向量的模
①定義：向量 的大小稱為向量 的長(zhǎng)度（或稱模），記作
．
另外，向量 的模即為 .任意向量 的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即.
②零向量：長(zhǎng)度為 的向量叫做零向量．
③單位向量：長(zhǎng)度等于 個(gè)單位的向量，叫做單位向量．
知識(shí)點(diǎn)睛
（1）向量的幾何表示
①用有向線段表示：用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如： ， ．
②用字母表示：向量可用小寫字母，表示．
（2）零向量是有方向的，其方向是任意的. 是一個(gè)實(shí)數(shù)， 是一個(gè)向量，且有
.
（3）單位向量有無數(shù)個(gè)，它們的大小相等，但方向不一定相同.注意：
由于零向量的特殊性，解答問題時(shí)，一定要看清題目中向量的條件是“任意向量”還是“任意非零向量”，若條件是“任意向量”，則要考慮零向量.
經(jīng)典例題
1. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）．
①向量就是有向線段；
②零向量是沒有方向的向量：
③零向量的方向是任意的；
④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
2. 下列說法正確的是（ ）．
A. 零向量是沒有方向的向量
C. 任意兩個(gè)單位向量的方向相同
2. 相等向量與共線向量
知識(shí)精講
B. 零向量的長(zhǎng)度為
D. 同向的兩個(gè)向量可以比較大小
（1）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
如平行四邊形中， 與 就是相等向量，記作．
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
若兩個(gè)非零向量平行,記作．
（3）共線向量如圖，
是一組平行向量，任作一條與 所在直線平行的直線 ，在 上任取一點(diǎn) ，則可在 上分
別作出.即任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量
也叫作共線向量.
規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任意向量 ，都有
．
（4）相反向量
1.定義：與 長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，記作 .
2.性質(zhì)：
①零向量的相反向量仍是零向量，即.
②任意向量與其相反向量的和是零向量，即
③若 ， 互為相反向量，則，
⑤ 與其相反向量 是平行向量.
經(jīng)典例題
（
，
）
；
；
3. 下列結(jié)論中，不正確的是（ ）．
A.
B.
向量 ， 共線與向量
若，則
意義是相同的
C.
D.
若向量 ， 滿足
若向量，則向量
，則
鞏固練習(xí)
4. 下列說法正確的是（ ）．
A. 單位向量一定是平行向量
C. 共線的單位向量一定是相等向量
經(jīng)典例題
B. 相等向量不一定是共線向量
D. 平行向量一定是共線向量
5. 如圖所示， 為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形、都是正方形．
（ 1 ）寫出與 相等的向量．
（ 2 ）寫出與 共線的向量．
（ 3 ）向量 與 是否相等．
鞏固練習(xí)
6. 如圖， ， ， 分別是
（ 1 ）寫出與 相等的向量．
（ 2 ）寫出與 共線的向量．
3. 向量的加法運(yùn)算
知識(shí)精講
各邊上的中點(diǎn)，四邊形
是平行四邊形．
定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．
注意：
①向量的和仍然是一個(gè)向量；
②任意向量與零向量的和為其本身.
（1）向量加法的三角形法則
已知非零向量 、 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，作
，
，
則向量 叫做 與 的和，記作，即．
這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．
（2）向量加法的平行四邊形法則
以同一點(diǎn) 為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量 、 為鄰邊作平行四邊形
，則以 為起點(diǎn)的對(duì)角線 就是
與 的和．
我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．
知識(shí)點(diǎn)睛
一般地，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)等號(hào)成立.
向量的加法運(yùn)算滿足
（1）交換律：
（2）結(jié)合律：
.
經(jīng)典例題
7. 如圖，在平行四邊形
中，
，
．
鞏固練習(xí)
8. 在平面中，化簡(jiǎn)（ ）．
A.B.
C.D.
9. 化簡(jiǎn)：（ 1 ）
．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
4. 向量的減法運(yùn)算
知識(shí)精講
定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.
設(shè)向量，，則，
向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行：減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.
．
在四邊形中，且，所以是平行四邊形.所以.
由此我們得到的作圖方法．
如下圖：
已知 、 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，作
，
，則
．即
可以表示為
從向量 的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義．
經(jīng)典例題
10. 化簡(jiǎn)：（ 1 ）
．
（ 2 ）（ 3 ）
．
．
鞏固練習(xí)
11. 化簡(jiǎn)的結(jié)果等于（ ）．
A.B.
C.D.
12. 化簡(jiǎn)下列各式．
．
經(jīng)典例題
13. 如圖，等于（ ）．
A.B.
C.D.
鞏固練習(xí)
14. 如圖所示，在梯形
中，
， 與 交于 點(diǎn)，則
．
5. 向量的數(shù)乘運(yùn)算
知識(shí)精講
（1）定義：一般地，實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①；
②當(dāng)時(shí)， 的方向與 的方向相同；
當(dāng)時(shí)， 的方向與 的方向相反；
當(dāng)時(shí)，．
（2）向量的數(shù)乘運(yùn)算律
設(shè) 、 為實(shí)數(shù)，那么：
①；
②；
③．
特別地：
①
；
②．
（3）共線向量基本定理①向量共線的判定定理：
對(duì)于、 ，若存在實(shí)數(shù) ，使，則 與 共線．
②向量共線的性質(zhì)定理
若 與非零 共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使
.
所以，共線向量的基本定理為：
向量與 共線的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù) ，使．
根據(jù)這一定理，設(shè)非零向量 位于直線 上，那么對(duì)于直線 上的任意一個(gè)向量 ，都存在唯一的一個(gè)實(shí)
數(shù) ，使.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示.
知識(shí)點(diǎn)睛
利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，其一般步驟為：
①以三點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)構(gòu)造有一個(gè)共同端點(diǎn)的向量
，
；
②證明兩個(gè)向量滿足向量共線定理，即存在唯一實(shí)數(shù) ，使或成立；
③由兩個(gè)向量有共同的端點(diǎn)得出結(jié)論：三點(diǎn)共線.
經(jīng)典例題
15. 如圖，若，，，則向量 可用向量 ， 表示為．
16. 已知兩個(gè)非零向量 、 不共線．
（ 1 ）若，，，求證： 、 、 三點(diǎn)共線；
（ 2 ）求實(shí)數(shù) ，使與共線．
鞏固練習(xí)
17. 已知 與 是兩個(gè)不共線向量，且向量
與
共線，則 的值為
．
6. 向量的數(shù)量積
知識(shí)精講
（1）平面向量的夾角
如圖，已知兩個(gè)非零向量
，作
，
，則
稱作向量 和向量 的夾角，記作
，并規(guī)定.
特別地，當(dāng)時(shí)，我們說向量 和向量 互相垂直，記作．
（2）平面向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角為 .我們把數(shù)量
叫做 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），
記作，即.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
（3）平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
①若，則；
②若，則；
③若，即 ，則.
因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量的數(shù)量積為 ，即
，對(duì)于非零向量來說 和 來說，
與
是等價(jià)的.注意：
數(shù)量積是向量間的一種特殊運(yùn)算，它與數(shù)量的乘法是有區(qū)別的，不能用乘號(hào)“×”連接，需用實(shí)心點(diǎn)“· ”連接.
（4）平面向量數(shù)量積的幾何意義① 在 方向上的投影
對(duì)于數(shù)量積的運(yùn)算公式，我們把叫做向量 在 方向上的投影，顯然此
投影值可正可負(fù)也可為 ．
如圖，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，作
，過點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，
則就是向量 在向量 上的投影向量.
②數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于 的模長(zhǎng) 與 在 方向上的投影的乘積，
或 的模長(zhǎng) 與 在 方向上的投影的乘積.
（5）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①交換律：；
②數(shù)乘結(jié)合律：；
③分配律：．
知識(shí)點(diǎn)睛
（1）向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，作是非零向量，它們的夾角是 ， 是與 方向相同的單位向量，則：
①；
②；
③當(dāng) 與 同向時(shí)，；當(dāng) 與 反向時(shí)，.特別地，
或；
④.
（2）應(yīng)用運(yùn)算律的兩個(gè)重要結(jié)論：①
；
②．
經(jīng)典例題
18. 已知向量 ， 滿足
， 與 的夾角為 ，則 在 方向上的投影是
．
鞏固練習(xí)
19. 已知非零向量 ， 滿足
， 與 的夾角為 ，則 在 方向上的投影的數(shù)量
為．
經(jīng)典例題
20. 設(shè)向量 ， 滿足
，
，且
，則向量 在向量 方向上的投影
為．
鞏固練習(xí)
21. 已知， 在 方向上的正射影的數(shù)量為 ，則等于（ ）．
A.B.C.D. 不確定
22. 已知向量 與 的夾角為 ，，，則在 方向上的投影為（ ）．
A.B.
C.D.
經(jīng)典例題
23. 已知向量 ， 滿足
，且
，
，則 與 的夾角
為．
鞏固練習(xí)
24. 若非零向量 ， 滿足，且，則 與 的夾角為（ ）．
A.B.C.D.
經(jīng)典例題
25. 已知向量 ， 的夾角為 ，且，，則．
鞏固練習(xí)
26. 已知 ， 為單位向量，其夾角為 ，則（ ）．
A.B.C.D.
三、 思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！
四、 出門測(cè)
27. 已知向量 ， 滿足， 在 方向上的投影是 ，則．
28. 在下列判斷中，正確的是（ ）．
①長(zhǎng)度為 的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；
④單位向量都是同方向；
⑤任意向量與零向量都共線．
A. ①②③B. ②③④C. ①②⑤D. ①③⑤
29.化簡(jiǎn)后等于（ ）．
A.B.
C.D.
30. 如圖，在中，線段 ， 交于點(diǎn) ，設(shè)向量，，，，
，則向量 可以表示為（ ）．
A.
B. C. D.
13

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.1 平面向量的概念

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