空間中的平行與垂直
一、 課堂目標(biāo)
1．熟練掌握直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行定理及其應(yīng)用．
2．理解線線垂直的含義，熟練掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的定理及其應(yīng)用．
3．理解線面角的含義，會(huì)求線面角的大小．
4．理解二面角的含義，會(huì)求二面角的大?。?br>【備注】【教師指導(dǎo)】
1.本講的重點(diǎn)是熟練掌握空間中的平行、空間中的垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及它們的應(yīng)用；難點(diǎn)是求空間中的線面角和二面角的大小.注意求線面角和二面角在《空間中的角與距離》這一講會(huì)重點(diǎn)講解，這一講需要學(xué)生理解線面角和二面角的概念，了解求線面角和二面角的方法.
2.本講的前置知識(shí)是空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.
二、 知識(shí)講解
1. 直線與直線平行
知識(shí)精講
（1）基本事實(shí)4
文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言
符號(hào)語言
【備注】【教師指導(dǎo)】
①在同一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的直線叫作平行直線．在初中幾何中，有兩個(gè)重要的結(jié)論：
（i）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行；
（ii）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
②用此定理證明空間兩直線平行的步驟：
（i）先找到直線 ；（ii）證明，同時(shí) ；（iii）得到.
③基本事實(shí) 所表述的性質(zhì)，即空間平行線的傳遞性．例如：三棱鏡的三條棱，如果滿足
//
，
C
//
，這時(shí)必有
A1
//
，如下圖所示．
C1
B1
A
B
（2）等角定理
①定理內(nèi)容：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
②圖形語言表示：如圖所示．
C1
E1
A1
D1B1
C
E
ADB
③符號(hào)語言表示為：如果
或互補(bǔ)．
和
的邊
，
，則
與
相等
知識(shí)點(diǎn)睛
此定理包含兩個(gè)結(jié)論：
①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或都相反，那么這兩個(gè)角相等．
②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，那么
這兩個(gè)角互補(bǔ)．
【備注】【教師指導(dǎo)】
老師可以借助畫圖給學(xué)生講解，會(huì)更直觀一些.
經(jīng)典例題
1. 已知在棱長為 的正方體
中， ， 分別為 ， 的中點(diǎn)，則
與
的
位置關(guān)系是．
【備注】【教師指導(dǎo)】
直接考查基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.
【答案】平行
【解析】由題得，，，．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；線線平行的證明問題
2. 若，，且，則（ ）．
A.B.
C.或D. 不能確定
【備注】【教師指導(dǎo)】
直接考查等角定理.
【答案】C
【解析】根據(jù)等角定理，知
．
故選：
與
相等或互補(bǔ)，即
或
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；幾何法求空間角
鞏固練習(xí)
3. 已知，，則 與的位置關(guān)系是（ ）．
A. 相交B. 異面C. 平行D. 以上均有可能
【答案】D
【解析】如圖所示，
，
，則 與
可能平行、相交或異面．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；已知線面位置關(guān)系判定結(jié)論的問題
2. 直線與平面平行
知識(shí)精講
（1）直線與平面平行的判定定理
文字語言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平
行，那么該直線與此平面平行
圖形語言
符號(hào)語言
作用
通過直線與直線平行來判定直線與平面平行
注意：
①定理中的三個(gè)條件“
，
，
”缺一不可；
②要證明平面外的一條直線與此平面平行，關(guān)鍵是在此平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行；
③直線與平面平行的判定定理可簡述為“若線線平行，則線面平行”．定理告訴我們，通過直線間的平行，可以推證直線與平面平行，這是處理空間位置關(guān)系的一種常用方法，即把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
【備注】【教師指導(dǎo)】
直線與平面平行的畫法
在畫直線與平面平行時(shí)，通常把表示直線的線段畫在表示平面的平行四邊形的外面，并且
使它與平行四邊形內(nèi)的一條線段平行或與平行四邊形的一條邊平行，如圖所示．
（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面
與此平面相交，那么該直線與交線平行.
圖形語言
符號(hào)語言
作用
①作為證明線線平行的依據(jù)．當(dāng)證明線線平行
時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩直線平行．
②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù)．如果一條直線平行于一個(gè)平面，在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以通過已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要作的直線．
注意：
①該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”．
②該定理中有三個(gè)條件：，，，這三個(gè)條件缺一不可．
③當(dāng)時(shí)，過 的任意一個(gè)平面與 的交線都與 平行，即 可以與 內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但不是
任意一條．平面 內(nèi)凡是不與 平行的直線，都與 異面．
經(jīng)典例題
4. 給出下列說法：
①若直線 平行于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線，則；
②若直線 在平面 外，則；
③若直線，直線，則；
④若直線，直線，則直線 平行于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線．
其中正確說法的個(gè)數(shù)為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】【教師指導(dǎo)】
考查直線與平面平行的判定定理，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)直線與平面平行判定定理的理解.
【答案】A
【解析】對(duì)于①，雖然直線 與平面 內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但 可能在平面 內(nèi)，所以 不一定平行
于 ，所以錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)橹本€ 在平面 外，包括兩種情況：和 與 相交，所
以 和 不一定平行，所以錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)橹本€，，只能說明 和 無公共
點(diǎn)，但 可能在平面 內(nèi)，所以 不一定平行于平面 ，所以錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)椋?br>，所以或，所以 與平面 內(nèi)的無數(shù)條直線平行，所以正確．綜上，正確
說法的個(gè)數(shù)為 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問題；直線和平面平行的性質(zhì)；線線平行的證明問題；直線和
平面平行的判定；平面圖形、空間幾何體的直觀圖認(rèn)識(shí)
5. 如圖所示，在三棱柱中， 是棱 的中點(diǎn)， 是棱 的中點(diǎn)，證明：平面
．
【備注】【教師指導(dǎo)】
通過構(gòu)造平行四邊形得到線線平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理得到線面平行.
【答案】證明見解析．
【解析】取 的中點(diǎn) ，連接 ，．
∵ 為棱 的中點(diǎn)，∴，且．
又∵ 為棱的中點(diǎn)，∴．
又，且，∴，且
，∴，且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問題；直線和平面平行的判定
鞏固練習(xí)
6. 如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，
， 分別是棱 ，的中點(diǎn)，設(shè) 是棱 的中點(diǎn)，證明：直線平面．
【答案】證明見解析．
【解析】如圖，
取
的中點(diǎn)為 ，連接 ，
，
易知，所以平面，
因此平面即為平面，
連接， ，
由題意得，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又易知，
所以，又平面，
平面，
所以平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問題；直線和平面平行的判定
經(jīng)典例題
7. 下列說法中正確的是（ ）
①一條直線如果和一個(gè)平面平行，他就和這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行；②一條直線和一個(gè)平面平
行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn)；③過直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知直線平
行；④如果直線 和平面 平行，那么過平面 內(nèi)一點(diǎn)和直線 平行的直線在 內(nèi)．
A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①②④
【備注】【教師指導(dǎo)】
直接考查直線與平面平行的定義和性質(zhì)定理，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)直線與平面平行性質(zhì)定理
的理解.
【答案】D
【解析】由線面平行的性質(zhì)定理可知①④正確；由直線與平面平行的定義可知②正確；因?yàn)檫^一
點(diǎn)可以作一條直線與已知直線平行，而經(jīng)過這條直線可做無數(shù)個(gè)平面，故③錯(cuò)誤．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面平行的性質(zhì)
8. 如圖， 是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，在 上取一點(diǎn) ，過點(diǎn) 和
作平面，交平面于 ．求證：．
【備注】【教師指導(dǎo)】
先考查直線與平面平行的判定定理：
平面
；
再根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：.
【答案】證明見解析．【解析】
如圖，連接 ，交 于點(diǎn) ，連接
．
∵四邊形是平行四邊形，
∴點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，
∴．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；已知線面位置關(guān)系判定結(jié)論的問題；線面平
行的證明問題；直線和平面平行的判定；直線和平面平行的性質(zhì)
鞏固練習(xí)
9. 如圖，四棱錐中， ， 分別為 ， 上的點(diǎn)，且平面，則（ ）．
A.B.C.D. 以上均有可能
【答案】B
【解析】四棱錐
中， ， 分別為 ， 上的點(diǎn)，且
平面
，
平面，平面平面，
由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面平行的性質(zhì)
10. 已知 ， ， ， 為空間四邊形
的邊 ， ， ， 上的點(diǎn)，且
．求證：
．
【答案】證明見解析．
【解析】，則由線面平行的判定定理，有平面，又平面且平面
平面，故由線面平行的性質(zhì)定理可知，．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面平行的性質(zhì)；線線平行的證明問題
3. 平面與平面平行
知識(shí)精講
（1）平面與平面平行的判定定理
文字語言
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平
行，那么這兩個(gè)平面平行
圖形語言
符號(hào)語言
，
，
，且
，
?
作用用來證明兩平面平行
注意：
①用該定理判定平面 和平面 平行時(shí)，必須具備：
一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個(gè)平面；這兩條直線必須相交．
②平面與平面平行的判定定理可簡述為“若線面平行，則面面平行”．該定理把兩個(gè)平面平行的問題轉(zhuǎn)化為線面平行的問題．
（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
文字語言
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相
交，那么兩條交線平行
圖形語言
符號(hào)語言
， ∩ = ， ∩
作用可以用來證明線線平行
注意：
①該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”．
②該定理中有三個(gè)條件：， ∩， ∩，這三個(gè)條件缺一不可．
③已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面，但是一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不一定互相平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．
④該定理提供了證明線線平行的一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣“兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交”．
（3）兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)
①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面．
②夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長度相等．
③經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
④兩平行平面間的兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．
經(jīng)典例題
11. 如圖，正方體中， ， ， ， 分別是，，，的中
點(diǎn)．求證：平面平面．
【備注】【教師指導(dǎo)】
直接考查面面平行的判定定理，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)面面平行判定定理的理解.
【答案】證明見解析
【解析】連結(jié) ，∵ ， 是，的中點(diǎn)，四邊形為正方形，
∴，，又，，
∴，，∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵面，面
∴面，
同理由，，可得,
∴面，
又 ，平面，，
∴平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面和平面平行的判定；面面平行的證明問題
鞏固練習(xí)
12. 如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，， ， ，
分別是 ， ， 的中點(diǎn)．求證：平面平面．
【答案】證明見解析．
【解析】∵ ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，
∴，
由正方形可得：
∴，
又平面，
∴平面，
∵ ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，
∴，
可得平面，
又，
∴平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】面面平行的證明問題；直線和平面平行的判定；平面和平面平行的判定
經(jīng)典例題
13. 如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交
于點(diǎn) ．
求證：
．
【備注】【教師指導(dǎo)】
直接考查面面平行的性質(zhì)定理，屬于?？碱}，學(xué)生須熟練掌握.
【答案】證明見解析
【解析】因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面．
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面．
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面平面．
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?br>．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面平行的判定；線面平行的證明問題
14. 已知四棱錐，，， 為 的中點(diǎn)．
求證：平面．
【備注】【教師指導(dǎo)】
通過面面平行證線面平行，考查兩平面平行的其他性質(zhì)1.
【答案】證明見解析．
【解析】由題設(shè)可知：取 中點(diǎn) ，連接 ， ，
則由，，
由 為 中點(diǎn)，則．
故四邊形為平行四邊形，
則，
又由 ， 分別為 ， 的中點(diǎn)，
則，
故由，，
知面面，
故面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問題；直線和平面平行的判定
鞏固練習(xí)
15.
在如圖所示的幾何體中， 是 的中點(diǎn)，， ， 分別是 和 的中點(diǎn)．求證：
平面．
【答案】證明見解析．
【解析】取 的中點(diǎn) ，連接 ， ，
則有，．
又，
所以，
∴平面，平面，
∵，∴平面平 面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面平行的判定；線面平行的證明問題
4. 直線、平面平行的綜合應(yīng)用
知識(shí)精講
（1）證明直線與平面平行的常見方法
①利用定義．證明直線 與平面 沒有公共點(diǎn)．這時(shí)直接證明往往較困難，一般是結(jié)合反證法來證明．
②利用直線與平面平行的判定定理．
③利用平面與平面平行的性質(zhì)，把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．
證明直線與平面平行的常見輔助線
①利用中位線法證明線面平行
②構(gòu)造平行四邊形證明線面平行
（2）證明兩平面平行常用的方法
①根據(jù)定義：證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，但有時(shí)直接證明非常困難．
②根據(jù)判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于
另一個(gè)平面，于是這兩個(gè)平面平行．
③根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行．
④利用反證法．
利用判定定理證明兩平面平行的一般步驟
第一步：在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線；
第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；
第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論．
知識(shí)點(diǎn)睛
平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用
①常見的平行關(guān)系有線線平行．線面平行和面面平行．這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系相互
轉(zhuǎn)化的．
線線平行
判定
性質(zhì)
線面平行
判定
性質(zhì)
面面平行
②一般地，證明線面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線線平行；證明面面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線面平行；證明線線
平行可以利用線面平行或面面平行的性質(zhì)定理來實(shí)現(xiàn)．
③從思維方法的角度來看，要進(jìn)行平行的證明，往往先從題目的結(jié)論出發(fā)去選擇相應(yīng)的判定方法并進(jìn)行“逆向思維”．當(dāng)逆推出現(xiàn)困難時(shí)，應(yīng)進(jìn)行“正向思維”，即根據(jù)題目的已知去聯(lián)想和推導(dǎo)有關(guān)的性質(zhì)，使題設(shè)和結(jié)論逐步靠近，并最終產(chǎn)生聯(lián)系和溝通，找到證明思路．這種“兩頭湊”的方法其實(shí)也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為常用的思維方法和證明方法．
④對(duì)較復(fù)雜的綜合論證問題往往需要反復(fù)運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來進(jìn)行證明，可有如下思
路：
在平面內(nèi)找經(jīng)過直線找或作平面
線線平行線面平行線線平行
或作一條直線與平面相交的交線
⑤應(yīng)用位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化研究立體圖形的性質(zhì)是一種很重要的思維方法，在立體幾何中，往往通過線線、線面、面面之間的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明新的位置關(guān)系，掌握這種思維方法，就能尋找出許多平行問題的解題思路．
【備注】【教師指導(dǎo)】
（1）有關(guān)線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)，可按下面的口訣去記憶：判斷線和面平行，面中找條平行線；
要證面和面平行，面中找出兩交線；
線面平行若成立，面面平行是必然．
（2）證明線線平行的常用方法：①利用線線平行的定義；
②利用空間中直線平行的傳遞性；
③利用三角形的中位線；
④利用平行四邊形；
⑤利用線面平行的性質(zhì)定理；
⑥利用面面平行的性質(zhì)定理．
經(jīng)典例題
16. 如圖所示，在平行六面體中， ， ， ， 分別是， ， ，
的中點(diǎn)，求證：
（ 1 ）
（ 2 ）平面
（ 3 ）平面
．
．
平面
．
【備注】 【教師指導(dǎo)】
對(duì)空間中直線、平面平行的綜合考查，屬于綜合題型，也屬于月考、期中、期末?？碱}
型，學(xué)生要熟練掌握.
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）證明見解析．
（ 3 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）連結(jié)，
∵ 、 分別是 、 的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴．
∵在平行六面體
中，有
，
，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴
（ 2 ）連結(jié)
．
，設(shè)與連結(jié)
交于點(diǎn) ，
∵四邊形為平行四邊形，
∴點(diǎn) 是的中點(diǎn)，
又∵ 是的中點(diǎn)，
∴ 是的中位線，
∴．
又∵面，面，
∴平面．
（ 3 ）連結(jié) ，與 交于點(diǎn) ，則 是 中點(diǎn)，連結(jié) ，
在平行六面體中，有，
∵平面，平面，
∴平面．
由（ ）得，
∵ 、 分別是 、的中點(diǎn)，
∴，
∴．
∵平面，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面平行的判定；面面平行的證明問題；線線平行的證明問題；平面和
平面平行的判定；線面平行的證明問題；三個(gè)公理、三個(gè)推論
鞏固練習(xí)
17. 如圖，四棱錐
（ 1 ）求證：
（ 2 ）求證：面
平面
的底面為平行四邊形， 為 的中點(diǎn)， 為 中點(diǎn)， 為 中點(diǎn)．
．
平面．
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）∵在平行四邊形
中，
．
又∵面，面．
∴面．
（ 2 ）連接 ，交 與點(diǎn) ，連接.
t
∵ 為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)．∴ 為 的中點(diǎn)．
又∵ 為 的中點(diǎn)．
∴為中位線．
可得．
∵ 為 中點(diǎn)， 為 中點(diǎn)，
∴．
∵面，面,
面，面,
,,
∴面平面．
∴平面，平面，
∵面，面， 且，
∴平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面和平面平行的判定；直線和平面平行的性質(zhì)
5. 直線與直線垂直
知識(shí)精講
（1）異面直線所成的角的定義：
如圖所示， 與 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn) ，作直線
，
，我們把直線 和 所成的
銳角（或直角）叫作異面直線 ， 所成的角．
O
（ ）（ ）
注意：
①由“等角定理”可知， 與 所成角的大小與點(diǎn) 的位置無關(guān)．
②研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問題轉(zhuǎn)化為求平面
角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路．
（2）異面直線所成角的范圍：異面直線所成的角必須是銳角或直角，其范圍是．
（3）兩條異面直線垂直的定義：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互
相垂直．兩條互相垂直的異面直線 ， ，記作 ．
（4）兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．
（5）當(dāng)兩條直線 ， 相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為 °．所以空間兩條直線所成角 的取值范
圍是．
經(jīng)典例題
18. 已知正方體的棱長為 ， 是底面的中心，則異面直線與所
成的角為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】【教師指導(dǎo)】
通過作平行線找出異面直線的夾角，兩條直線垂直其夾角為90°.
【答案】A【解析】
如圖作中點(diǎn) 連，，
有，
故，
∴與，所成角即為與所成角，
連
，
知
為等邊三角形，
∴，
∴所成角為 ．故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】幾何法求空間角；點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
鞏固練習(xí)
19. 如圖，在直三棱柱中， 為的中點(diǎn)，，，
則異面直線 與 所成的角為（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如圖，取
的中點(diǎn) ，連接 ， ，則
，則
（或其補(bǔ)角）
即為異面直線 與 所成的角．由條件可知
，所以
．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】幾何法求空間角；點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
6. 直線與平面垂直
知識(shí)精講
（一）直線與平面垂直
（1）定義：一般地，如果直線 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 與平面 互相垂直，
記作．直線 叫作平面 的垂線，平面 叫作直線 的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)
叫作垂足．
（2）畫法：
畫直線 與平面 垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．若平面水平放置，則將直線畫成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直，如圖①所示；若平面豎直放置，則將直線畫成與表示平面的平行四邊形的豎直邊垂直，如圖②所示．
PP
（3）符號(hào)表示：任意，都有 ?．
（4）應(yīng)用：
若直線與平面垂直，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線都垂直，從而可判斷直線與平面內(nèi)的直線互相垂
直，即“若，，則 ”．因此直線與平面垂直的定義不僅是直線與平面垂直的判定方法，也
是證明直線與直線垂直的重要且常用的方法．
【備注】【教師指導(dǎo)】
定義的剖析：
①定義中的“任意一條直線“與“所有直線”是同義詞，但與“無數(shù)條直線”不同．定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直．
②直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況．
③運(yùn)用直線與平面垂直的定義來判定直線與平面垂直時(shí)，要緊扣定義——“一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直”，若在平面內(nèi)能找到一條直線與已知直線不垂直，則這條直線與這個(gè)平面不垂直．
④雖然這樣的定義給線面垂直的判定帶來困難，但已知直線與平面垂直時(shí)，卻可以得到直
線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，給判定兩條直線垂直帶來方便，如：若，
，則 ，簡述為“線面垂直，則線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂直時(shí)經(jīng)常使用的一種重要方法．
（二）直線與平面垂直的判定定理
文字語言
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂
直，那么該直線與此平面垂直
圖形語言
符號(hào)語言
，
，
，
，
作用
通過判定直線和直線垂直來判定直線和平面垂
直．要判定一條直線與一個(gè)平面垂直，只需在該
平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可.
知識(shí)點(diǎn)睛
定理的剖析：
①該定理可簡記為：“若線線垂直，則線面垂直”．
②該定理有五個(gè)條件： ，，，，，這五個(gè)條件缺一不可．
③“兩條相交直線”是定理的關(guān)鍵詞，應(yīng)用定理時(shí)不能忽略．例如：若一條直線與一個(gè)平面的兩條不相交的直線都垂直，則該直線與此平面不一定垂直．
④要判斷一條直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直．
至于這兩條相交直線是否與已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的．
經(jīng)典例題
20. 如圖，在三棱錐中，， 是 的中點(diǎn)，且．
（ 1 ）求證：平面．
（ 2 ）若，求證：平面．
【備注】【教師指導(dǎo)】
通過證明
≌
來證明
，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得證.
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）因?yàn)?br>， 是 的中點(diǎn)，
所以．
在中，，
由已知，所以易證≌．
所以．所以，
又，
所以
（ 2 ）因?yàn)?br>平面
．
， 為 的中點(diǎn)，
所以．由（ ）知．
又因?yàn)椋?br>所以平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的證明問題
鞏固練習(xí)
21. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，
，， 為 的中點(diǎn)．
（ 1 ）求證：平面.
（ 2 ）若點(diǎn) 在棱 上，設(shè)，試確定 的值，使得平面．
【答案】（ 1 ）證明過程見解析．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ），， 為 的中點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形，
，
，
, 即
，
， 為 的中點(diǎn)，，
，
（ 2 ）當(dāng)
平面
時(shí)，
．
平面
，
連接 ，交 于 ，連接，
，
四邊形為平行四邊形，且 為 中點(diǎn)，
點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，
平面，平面，
平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面垂直的判定；線面垂直的證明問題；平行的探索性問題；直線和平
面平行的判定
知識(shí)精講
（三）直線與平面所成的角
（1）平面的斜線、斜線段、垂線段的定義：
一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫作斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．如圖所示，點(diǎn) 是點(diǎn) 在平面 上的正投影（簡稱射影）； 是點(diǎn) 到平面的垂線段；直線 是平面的一條斜線； 是斜足；線段 是斜線段．
（2）斜線在平面上的射影
如上圖所示，過垂足 和斜足 的直線 叫作斜線在這個(gè)平面上的射影．
（3）直線與平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角.
如上圖所示，即為直線 與平面 所成的角．
②直線與平面所成的角 的范圍：
直線與平面相交
不垂直時(shí)，垂直時(shí)，
，
直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，．
故直線與平面所成的角的范圍是．
③最小角定理：斜線和平面所成的角，是斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，它是這條斜線和平面內(nèi)
經(jīng)過斜足的一切直線所成角中最小的角．
經(jīng)典例題
22.
如圖所示， 是 的直徑，所在的平面， 是圓上一點(diǎn)，且，
，求直線 與平面所成角的正切值．
【備注】【教師指導(dǎo)】
本題重點(diǎn)是找出平面與直線所成的角：找出垂線段，斜線段，斜線段在平面的投影，從而
找到對(duì)應(yīng)的線面角.
【答案】 ．
【解析】因?yàn)槠矫?，所? 為斜線 在平面上的射影，
所以為 與平面所成的角．
在中，，
所以．
所以直線 與平面所成角的正切值為 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面垂直的性質(zhì)；線線垂直的證明問題；幾何法求空間角；點(diǎn)、直線、
平面之間的位置關(guān)系
鞏固練習(xí)
23. 如圖，在棱長為 的正方體中， 是 的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，則直線
與平面所成角的正切值為．
【答案】
【解析】連接 ，由平面知即為直線 與平面所成的角，在
中，，，則．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；幾何法求空間角
知識(shí)精講
（四）直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
圖形語言
符號(hào)語言
，
作用通過判定直線與平面垂直來判定兩直線平行.
知識(shí)點(diǎn)睛
定理的剖析：
①直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了一個(gè)證明兩直線平行的方法，即只需證明兩條直線均與同一個(gè)平面
垂直即可，反映了線線平行與線面垂直邏輯上的相互轉(zhuǎn)化，即“線面垂直，則線線平行”．
②利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理可構(gòu)造平行線，即讓這些直線都垂直于同一個(gè)平面．
直線與平面垂直的其他性質(zhì)和結(jié)論
①一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；
②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；
③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面；
④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也和另一個(gè)平面垂直；
⑤如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么它與這個(gè)平面的平行線垂直．
經(jīng)典例題
24. 如圖，在長方體中，，，點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)．
（ 1 ）求證：．
（ 2 ）求三棱錐的體積．
【備注】【教師指導(dǎo)】
本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的綜合.這里對(duì)于利用勾股定理逆定理來證明線線垂直的方法要重點(diǎn)講解，這是證明線線垂直的一種重要方法.
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵平面，
平面，
∴．
如圖，連接 ，在
中，
∵，，
∴，
同理，又，
∴，
即，
又，
∴平面．
又平面，
∴
（ 2 ）∵
．
底面
，
∴ 到平面的距離為．
∵，
∴．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】組合體求體積、表面積問題；空間幾何體的體積；直線和平面垂直的判定；直
線和平面垂直的性質(zhì)；線線垂直的證明問題
鞏固練習(xí)
25. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形， ， 交于點(diǎn) ，平面，
， ， ， 分別是 ， ， 的中點(diǎn)．
（ 1 ）求證：（ 2 ）求證：（ 3 ）求證：
平面
；
平面
；
．
【答案】（ 1 ）見解析．
（ 2 ）見解析．
（ 3 ）見解析．
【解析】（ 1 ）因?yàn)辄c(diǎn) ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，所以
．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br>（ 2 ）因?yàn)樗倪呅问钦叫危?br>因?yàn)槠矫?，平面，所?br>因?yàn)?，所以平面?br>所以．
（ 3 ）由（Ⅱ）知，且，所以．
設(shè) 與 的交點(diǎn)為 ，連結(jié) ，
因?yàn)辄c(diǎn) ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，所以
設(shè)，由題意得，
所以在中，．所以是直角三角形．
所以．所以．
因?yàn)?，所以平面?br>【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的證明問題
7. 二面角
知識(shí)精講
（1）二面角的定義
①半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面．
②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角．這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)
半平面叫作二面角的面．
（2）二面角的表示方法
①棱為 ，面為 ， 的二面角記作二面角，如圖（1）所示．
②棱為 ，面為 ， 的二面角記作二面角，如圖（2）所示．
③若在 ， 面內(nèi)分別取點(diǎn)如圖（2）所示．
P
（ ）
，
（ ）
（不在棱上），這個(gè)二面角可記作二面角
Q
，
【備注】【教師指導(dǎo)】
二面角與平面幾何中的角的對(duì)比：
二面角角
半平面棱
A
圖形
半平面
O
頂點(diǎn)
邊
邊
B
定義 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖
從平面內(nèi)一定點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組
成的圖形
表示法
形由“半平面—棱—半平面”構(gòu)成，表示為二面角
由“射線—頂點(diǎn)—射線”構(gòu)成，表示為
理解 二面角是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的 角是一條射線沿著頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量
（3）二面角的平面角必須具備以下三個(gè)條件：①角的頂點(diǎn)在二面角的棱上；
②角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)；
③角的兩條邊分別與二面角的棱垂直．
知識(shí)點(diǎn)睛
二面角的平面角
自然語言
在二面角的棱 上任取一點(diǎn) ，以點(diǎn) 為
垂足，在半平面 和 內(nèi)分別作垂直于棱 的射線和 ，則射線 和 構(gòu)成的叫作二
面角的平面角.
符號(hào)語言
，
為二面角
，
，
的平面角.
，
，
B
圖形語言O(shè)
A
【備注】【教師指導(dǎo)】
二面角和它的平面角的畫法
畫二面角和它的平面角，常用以下兩種形式：
①直立式，如圖所示．
（ ）（ ）
②平臥式，如圖所示．
（ ）
（ ）
知識(shí)精講
（4）二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．
平面角是直角的二面角叫作直二面角．
注意：
①二面角的大小與垂直平面的位置無關(guān)．一個(gè)二面角的平面角有無數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的．
②構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”，即二面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可．這些要素決定了二面角的平面角大小的唯一性．
③當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是 °；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面在同一個(gè)平面時(shí)，規(guī)
定二面角的大小是．所以二面角的范圍是．
經(jīng)典例題
26. 如圖 是圓 的直徑， 垂直于圓 所在的平面， 是圓 上一點(diǎn)（不同于 ， ），且
，則二面角的大小為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】【教師指導(dǎo)】
本題的重點(diǎn)找出二面角的平面角，然后在直角三角形中去求解.
【答案】C
【解析】由條件得，．
又，
所以平面．
所以．
所以為二面角的平面角．
在中，由得．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】幾何法求空間角；點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；直線和平面垂直的判定；
線面垂直的證明問題
鞏固練習(xí)
27. 如圖，在三棱錐中，平面，，則二面角的大小為
（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵平面，
∴且，
∴為二面角的平面角，
又∵，
∴二面角的大小為 ．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】幾何法求空間角；向量法解決二面角問題
8. 平面與平面與垂直
知識(shí)精講
（1）兩個(gè)平面垂直的定義
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．如教室內(nèi)的墻
面與地面就是垂直關(guān)系，平面角是直角．
（2）兩個(gè)互相垂直的平面的畫法
在畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平面的平行四邊
形的橫邊垂直，如圖所示，平面 與平面 垂直，記作．
（ ）（ ）
（3）平面與平面垂直的判定定理
文字語言
如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)
平面垂直
圖形語言
符號(hào)語言
作用
用來證明兩平面垂直
知識(shí)點(diǎn)睛
定理的剖析：
①該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”，因此要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直．
②兩個(gè)平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù)，也是找出一個(gè)平面的垂面的依據(jù)．
注意：
要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，需要固定其中一個(gè)平面，找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第一個(gè)平面垂直．
知識(shí)精講
（4）兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言
兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.
圖形語言
BA
符號(hào)語言，，，
作用①證明線面垂直、線線垂直；②構(gòu)造面的垂線．
知識(shí)點(diǎn)睛
（1）定理的剖析：
①兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理也可簡述為“面面垂直，則線面垂直”．
②平面與平面垂直的性質(zhì)定理成立的條件有 個(gè)：
兩個(gè)平面垂直；有一條直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；這條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線．
③此定理給出了線面垂直的又一種證明方法．
④常用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)過一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線．
⑤要注意垂直于同一平面的兩平面不一定平行．如下圖，
（ ）（ ）
（2）平面與平面垂直的其他性質(zhì)和結(jié)論：
①如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即
，，，．
②如果兩個(gè)平面垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面，即，
．
③如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi)，即，
或．
④如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面，即
，
，
．
⑤三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即
， ∩
，
， ∩
，
， ∩
，，．
經(jīng)典例題
28. 如圖，在平行四邊形中，，，將沿 折起，使得
，在三棱錐的四個(gè)面中，下列關(guān)于垂直關(guān)系的敘述錯(cuò)誤的是（ ）．
A. 面面B. 面面
C. 面面D. 面面
【備注】【教師指導(dǎo)】
先判斷線面垂直：
平面
，再根據(jù)
平面
，得到面面垂直.
【答案】A
【解析】∵平行四邊形
中，
，
將沿 折起，使得，
∴，．
∵，，
∴平面．
∵面，面，
∴面面，面面．
∵，，，
∴面．
∵面，
∴面面．
∴ ， ， 選項(xiàng)正確．
若面面，
∵面面，
∴面面，顯然不成立．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】垂直的探索性問題；點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；面面垂直的證明問題；
平面和平面垂直的判定
鞏固練習(xí)
29.垂直于正方形所在平面，連接 ， ， ， ， ，則下列垂直關(guān)系正確的是（
）．
①面
面
②面面
③面面
④面面．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】由于
，由 垂直于正方形
所在平面，
所以，
易證平面，則平面平面，
又，故平面，
則平面平面．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面和平面垂直的判定；直線和平面垂直的性質(zhì)；面面垂直的證明問題
經(jīng)典例題
30. 在四棱錐中，底面為正方形，平面
，
（ 1 ）求證：
（ 2 ）求三棱錐
（ 3 ）求證：平面
平面
， ， 分別是 ， 的中點(diǎn)．
．
的體積．
平面．
【備注】【教師指導(dǎo)】
本題屬于立體幾何的綜合題型，屬于?？碱}型，對(duì)于第（2）問建議老師選擇解法1.
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）連接 ，與 交于點(diǎn) ，連接 ，
在中， ， 分別是 ， 中
點(diǎn)，
所以
，
又因?yàn)槠矫?，平?br>，
所以平面．
（ 2 ）法1：因?yàn)槠矫妫? ，平面，
所以，
又因?yàn)?，? ，平面，
所以平面，
在直角中，， 為 中點(diǎn)，
所以，
所以三棱錐的體積為．
法2:因?yàn)槠矫?，所? 為棱錐的高．
因?yàn)?，底面是正方形?br>所以，
因?yàn)?為 中點(diǎn)，所以，
所以．
（ 3 ）因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
在等腰直角中，，
又， ，平面，
所以平面，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的體積；等體積法；平面和平面垂直的判定；面面垂直的證明問
題；線面平行的證明問題；直線和平面平行的判定
鞏固練習(xí)
31. 如圖，四棱錐中，底面是邊長為 的菱形，，，
為 中點(diǎn)．
（ 1 ）求證：
平面
；
（ 2 ）求證：平面平面；
（ 3 ）若，求三棱錐的體積．
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）證明見解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）設(shè)，連結(jié) ，
∵ 為 中點(diǎn)， 為 中點(diǎn)，
∴．
又∵平面，
平面，
∴平面．
（ 2 ）連結(jié) ，
∵
， 為 中點(diǎn)，
∴．
又∵底面為菱形，
∴．
∵，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（ 3 ）
．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的體積；直線和平面平行的判定；平面和平面垂直的判定
經(jīng)典例題
32. 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且側(cè)面平面，點(diǎn)
是棱 的中點(diǎn)．
（ 1 ）求證：（ 2 ）求證：（ 3 ）若
平面；
；
，求證：平面
平面
．
【備注】【教師指導(dǎo)】
本題屬于立體幾何的綜合題型，難度不大，屬于?？碱}.（1）問考查線面平行的判定定理，第（2）問考查面面垂直的性質(zhì)定理，第（3）問考查面面垂直的判定定理.
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）證明見解析．
（ 3 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）
底面
是菱形，
．
又平面，平面，
平面．
（ 2 ）因?yàn)椋c(diǎn) 是棱 的中點(diǎn)，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
平面，
（ 3 ）
．
，點(diǎn) 是棱 的中點(diǎn)，
，
由（Ⅱ）可得，
平面，
又平面，
平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問題；直線和平面平行的判定；直線和平面垂直的性質(zhì)；平面
和平面垂直的判定；面面垂直的證明問題；線線垂直的證明問題
鞏固練習(xí)
33. 如圖，在三棱錐中，平面，平面平面．求證：．
【答案】證明見解析．
【解析】在平面內(nèi)，作于 ．
∵平面平面，
且平面平面，
∴平面．
又平面，
∴．
∵平面，平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
∴．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面和平面垂直的性質(zhì)；線線垂直的證明問題
三、 思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！
【備注】
四、 出門測
34. 已知 、 、 、 分別是四面體的棱 、 、 、 的中點(diǎn)．求證：平面
．
【答案】證明見解析．
【解析】∵ ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
同理平面，
，
∴平面平面，
且平面，
∴平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問題；平面和平面平行的性質(zhì)
35. 如圖，四棱錐的底面是正方形， 垂直于底面，求證：
（ 1 ）（ 2 ）
．
平面
．
（ 3 ）平面平面．
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）證明見解析．
（ 3 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）∵平面，
平面，
∴
（ 2 ）∵
．
，
，
、平面，
，
∴
（ 3 ）∵
平面
平面
．
，
平面，
∴，
∵，
、平面，
，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】直線和平面垂直的判定；線線垂直的證明問題；線面垂直的證明問題；平面和
平面垂直的判定；面面垂直的證明問題；直線和平面垂直的性質(zhì)
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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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