復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 一、 課堂目標(biāo) 1．熟練掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及其幾何意義并能熟練運(yùn)用在解題中． 2．熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算并會運(yùn)用在解題中． 3．掌握實(shí)系數(shù)一元二次方程兩根的關(guān)系并會應(yīng)用在解題中． 4．理解復(fù)數(shù)的三角形式并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算． 二、 知識講解 1. 復(fù)數(shù)的概念 知識精講 （1）復(fù)數(shù)的概念 形如 的數(shù)叫復(fù)數(shù).其中 叫做虛數(shù)單位.（ ） 規(guī)定： ①復(fù)數(shù) 中，把 稱為實(shí)部， 稱為虛部. ②全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集.一般用字母 表示.即  . ③復(fù)數(shù)通?？梢杂米帜?表示，記作 ，這一表示形式稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式. （2）復(fù)數(shù)的分類已知復(fù)數(shù) ①當(dāng) 時(shí)，則 ，為實(shí)數(shù)；特別地，當(dāng) ，且 時(shí)， 為實(shí)數(shù). ②當(dāng) 時(shí)， 為虛數(shù)；特別地，當(dāng) ，且 時(shí)， 為純虛數(shù). （3）復(fù)數(shù)的相等 規(guī)定：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等. 若 . . 知識點(diǎn)睛 （1）復(fù)數(shù)的分類歸納：復(fù)數(shù) （2） 且 實(shí)數(shù)虛數(shù)  純虛數(shù) 非純虛數(shù) （3）一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能判斷是否相等，不能比較大?。ㄖ挥袃蓮?fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)時(shí)才比較大?。? 經(jīng)典例題 1. 的實(shí)部是 ，虛部是 ． 2. 復(fù)數(shù) 與復(fù)數(shù) 相等，則實(shí)數(shù) 的值為（ ） A. B. 或 C. D. 鞏固練習(xí) 3. 已知  ，則  ，  ． 經(jīng)典例題 4. 已知復(fù)數(shù) （ 1 ） 為實(shí)數(shù)． （ 2 ） 為虛數(shù)． （ 3 ） 為純虛數(shù)． ，當(dāng)實(shí)數(shù) 為何值時(shí)， 5. 若復(fù)數(shù) ，則實(shí)數(shù) 的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 鞏固練習(xí) 6. 設(shè)  （  ），當(dāng)  時(shí)， 為實(shí)數(shù)；當(dāng) 時(shí)， 為純虛數(shù)． 2. 復(fù)數(shù)的幾何意義 知識精講 （1）幾何意義（一）——復(fù)平面 內(nèi)容：復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 對幾何意義（一）的解釋，如下圖： 一方面，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，復(fù)數(shù) 被它的實(shí)部與虛部唯一確定，即復(fù)數(shù) 被有序 實(shí)數(shù)對 唯一確定；另一方面，有序?qū)崝?shù)對 在平面直角坐標(biāo)系中對應(yīng)著唯一的點(diǎn) .因此， 可以在復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，即： 復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) . 這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面， 軸叫做實(shí)軸， 軸叫做虛軸． （2）共軛復(fù)數(shù) ①概念：一般地，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)記為 ，因此，當(dāng) 時(shí)，有 . ②在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱；反之，如果表示兩個(gè)復(fù)數(shù)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí) 軸對稱，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù). 知識點(diǎn)睛 要注意的地方： （1）“虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)”這種說法是錯(cuò)誤的，原點(diǎn)必須除外； （2）復(fù)平面內(nèi)各象限內(nèi)的點(diǎn)均表示虛數(shù)； （3）復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，而不是 . 經(jīng)典例題 7. 已知復(fù)數(shù) ，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn) 的坐標(biāo)為（ ）． A. B. C. D. 8. 已知 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 9. 復(fù)數(shù) ，則 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）． A. B. C. D. 經(jīng)典例題 11. 若復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是（ ）． A. B. C. D. 12. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn)是 ，則復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) （ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 13. 設(shè) ，則在復(fù)平面內(nèi) 對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 經(jīng)典例題 14. 滿足下列條件的復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn) 的集合分別是什么圖形？ ． 鞏固練習(xí) 15. 滿足下列條件的復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn) 的集合分別是什么圖形？ ． 知識精講 （2）幾何意義（二）——復(fù)數(shù)的向量表示 內(nèi)容：復(fù)數(shù) 平面向量 對幾何意義（二）的解釋，如下圖： 因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的點(diǎn) 能唯一確定一個(gè)以原點(diǎn) 為始點(diǎn)、 為終點(diǎn)的向量 ，所以復(fù)數(shù)也可 用向量 來表示，這樣一來也就能在復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中，以 為始點(diǎn)的向量組成的集合之間 建立一一對應(yīng)關(guān)系，即：復(fù)數(shù) 平面向量 . 知識精講 （3）復(fù)數(shù)的模 一般地，向量  的長度稱為復(fù)數(shù)  的模（或絕對值），復(fù)數(shù) 的模長用 表示，因此 . 特別地： ①當(dāng)  時(shí)， ②一般地，兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的模相等，即 經(jīng)典例題 16. 已知 為虛數(shù)單位，則 （ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 17. 設(shè) 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的模 （ ）． A. B. C. D. 經(jīng)典例題 18. 若復(fù)數(shù) 滿足  ，則  的最大值是  ． 鞏固練習(xí) 19. 設(shè)復(fù)數(shù) 滿足條件  ，那么  的最大值是  ． 3. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算——加減法 知識精講 （1）復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則 設(shè) ， 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則有： ． （2）復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則 ①復(fù)數(shù)的相反數(shù)：一般地復(fù)數(shù)  記作 ，并規(guī)定 ②設(shè) ， 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則有： 知識點(diǎn)睛 （1）加法的運(yùn)算規(guī)律：交換律： 結(jié)合律： （2）關(guān)于復(fù)數(shù)的模的結(jié)論 經(jīng)典例題 20. 若  （  ， 是虛數(shù)單位），則  的值為  ． 21. 設(shè) 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ， ，則 ． 鞏固練習(xí) 22. 復(fù)數(shù)  ，其中 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的虛部是  ． 23. 已知復(fù)數(shù) ，滿足： ，則 的值為 ． 4. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算——乘除法 知識精講 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則 ①乘法運(yùn)算法則：設(shè) ， 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則有： ② 的 次方： 個(gè)相同的復(fù)數(shù) 相乘時(shí)，稱為 的 次方（或 的 次冪），并記作 . 知識點(diǎn)睛 （1）復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律 對于任意的 ，有 = = （2）復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算律 即對于任何復(fù)數(shù) 、 、 及正整數(shù) 、 ，有 經(jīng)典例題 24. 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)  是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為  ． 25. 若 ， ，其中 為虛數(shù)單位，且 ，則 ． 鞏固練習(xí) 26. 設(shè)復(fù)數(shù) 滿足行  ，且  是純虛數(shù)，則  ． 經(jīng)典例題 27. 復(fù)數(shù) 等于（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 28. 復(fù)數(shù)  ． 知識精講 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則 ①除法運(yùn)算法則：設(shè)  ，  是任意兩個(gè)復(fù)數(shù) ②復(fù)數(shù)的倒數(shù)：一般地，給定復(fù)數(shù) ，稱 為 的倒數(shù). 除以 的商 也可以看成 與 的倒數(shù)之積. 知識點(diǎn)睛 同實(shí)數(shù)類似，可以定義非零復(fù)數(shù)的 次冪與負(fù)整數(shù)次冪，即當(dāng) 為非零復(fù)數(shù)且 是正整數(shù)時(shí)，規(guī)定： 經(jīng)典例題 29. 若 (其中 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) 的虛部是（ ）． A. B. C. D. 30. 已知復(fù)數(shù) （ 為虛數(shù)單位），則 ． 鞏固練習(xí) 31. 設(shè)復(fù)數(shù) 滿足  （ 是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) 的虛部為  ． 5. 實(shí)數(shù)系一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解集 知識精講 設(shè)一元二次方程為 當(dāng) 當(dāng) 、 、 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 且 . 引入復(fù)數(shù)后，當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的虛數(shù)根 可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)虛數(shù)根是一對共軛復(fù)數(shù). 知識點(diǎn)睛 一元二次方程的兩個(gè)共軛虛數(shù)根同樣滿足一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，即 引入復(fù)數(shù)后，在復(fù)數(shù)集中，實(shí)系數(shù)的二次三項(xiàng)式 總可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積，即 經(jīng)典例題 32. 若關(guān)于 的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根為 ，則這個(gè)一元二次方程可以是（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 33. 若 是實(shí)系數(shù)一元二次方程 的一個(gè)根，則 ． 6. 復(fù)數(shù)三角形式 知識精講 （1）復(fù)數(shù)的三角形式 復(fù)數(shù) 可表示為 ，稱為復(fù)數(shù)的三角形式． 是復(fù)數(shù) 的模． 是以 軸的非負(fù)半軸為始邊，向量 所在射線為終邊的角，稱作復(fù)數(shù) 的輻角. 顯然，任何一個(gè)非零復(fù)數(shù) 的輻角都有無窮多個(gè)，而且任意兩個(gè)輻角之間都相差 的整數(shù)倍，并且在 范圍內(nèi)的輻角 的值稱為復(fù)數(shù) 的輻角主值，記作 ． 經(jīng)典例題 34. 已知 ，則復(fù)數(shù) 的三角形式為（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 35. 將下列復(fù)數(shù)表示為三角形式：（ 1 ） （ 2 ）（ 3 ） 知識精講 （2）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義①乘法運(yùn)算的三角表示 設(shè) ， ， ． 即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和． ②幾何意義 兩個(gè)復(fù)數(shù) 相乘時(shí)，如下圖，先分別畫出 對應(yīng)的向量 ，然后把向量 繞點(diǎn) 按逆 時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 ，再把它的模變?yōu)樵瓉淼? 倍，得到向量 ， 表示的復(fù)數(shù)就是積 ，這就是 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義. 知識點(diǎn)睛 （1）復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可歸納為：模相乘，輻角相加 （2）根據(jù)上述兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式的乘法幾何意義，可以推廣到有限個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式相乘，特別的， 如果 ，則 知識精講 （3）復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義 ①除法運(yùn)算的三角表示 設(shè) ， ， ． 即兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻 角所得的差． ②幾何意義 與乘法類似，還能得到兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的幾何意義，例如，任意一個(gè)復(fù)數(shù)除以 ，從向量的角度來說，就相當(dāng)于把這個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) . 經(jīng)典例題 36. 設(shè) ， ，則 ． 鞏固練習(xí) 37. 計(jì)算 ． 三、 思維導(dǎo)圖 你學(xué)會了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！ 四、 出門測 38. 在復(fù)平面內(nèi)，若 所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 （ ）． A. B. C. D. 39. 已知復(fù)數(shù) ，則下列說法正確的是（ ）． A. 的虛部為 B. 的共軛復(fù)數(shù)為 C. D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi) 40. 已知復(fù) 滿足 （其中 為虛數(shù)單位），則 ． 11

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