平面向量基本定理及坐標表示
一、 課堂目標
1．掌握平面向量基本定理及其應(yīng)用．
2．掌握平面向量的坐標表示及運算．
3．掌握平面向量的數(shù)量積的坐標表示和應(yīng)用．
二、 知識講解
1. 平面向量基本定理
知識精講
（1）平面向量基本定理
如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù)
、 ，使．
（2）基底的定義
把不共線的非零向量 、 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
（3）向量的分解
一個平面向量 用一組基底 、 表示成（ 、）的形式，我們稱它為向量的分
解．
知識點睛
①同一平面內(nèi)，只要是一組不共線的非零向量，都可以作為基底，基底不同，那么同一向量對基底的分
解結(jié)果就是不同的．
②平面內(nèi)任意一個向量都可以用該平面內(nèi)的一組不共線的非零向量線性表示，這是平面向量基本定理的
語言表述．
③若給定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是說，當 、 、 給定，則 、 有唯一解．
④平面向量基本定理還可以稍加拓展為如下結(jié)論：
對于平面內(nèi)任意三個不共線的向量中，任何一個向量都可表示為其余兩個向量的線性組合且形式唯一．
經(jīng)典例題
1. 設(shè)點 是平行四邊形兩條對角線的交點，給出下列向量組：
① 與 ；② 與 ；③ 與 ；④ 與 ．
其中可作為該平面其他向量基底的是（ ）．
A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④
鞏固練習
2. 已知向量 ， ，是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的
是（ ）．
A.，
B. C. D.
，
，
，
經(jīng)典例題
3. 如圖,在中,,,若,則的值為（）．
A.B.C.D.
鞏固練習
4. 如圖，在中，點 在線段 上，且，若，則（ ）．
A.B.C.D.
2. 平面向量的正交分解及坐標表示
知識精講
如下圖：
在平面直角坐標系中，分別取與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量 、 作為基底．對于平面內(nèi)的一個向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù) 、 ，
使得：
這樣，平面內(nèi)的任一向量 都可以由 、 唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量 的坐標，
記作：．
由于，則稱互相垂直的一組基底為正交基底，在正交基底下的向量分解叫做正交分解．
規(guī)定：零向量與任意向量垂直．
3. 平面向量的坐標運算
知識精講
已知向量
（1）平面向量加法運算坐標表示：
（2）平面向量減法運算坐標表示：
即兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和（差）．
（3）平面向量數(shù)乘運算坐標表示：
即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標．
知識點睛
若，，
根據(jù)向量的減法運算，則，
因此，一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標．
經(jīng)典例題
5. 設(shè)平面向量，，則等于（ ）．
A.B.
C.D.
6. 如圖，正方形中， 、 分別是 、 的中點，若，則（
）．
A.B.C.D.
鞏固練習
7. 已知向量
，
，那么向量
的坐標是
．
8. 已知點，，向量，則向量（ ）．
A.B.C.D.
9. 如圖，在正方形中， 是 的中點，若，則（ ）．
A.B.C.D.
4. 平面向量共線的坐標表示
知識精講
設(shè)，，其中．
由共線向量基本定理可知： 、 共線，當且僅當存在實數(shù) ，使．
如果用坐標表示，可寫為，即，消去 后得，
即當且僅當時，向量 、共線.
當時，此時上述表達式仍然成立．
因此有向量，（）共線的充要條件是．
知識點睛
如圖，已知 ， 是不平行的兩個向量， 是實數(shù)，
，
則
．
一個結(jié)論：若 、 、 三點滿足
，其中
，則 、 、 三點共線．
經(jīng)典例題
10. 已知向量，，若與共線，則實數(shù)（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習
11. 已知向量，，，若向量與 共線，則 的值為（ ）．
A.B.C.D.
經(jīng)典例題
12. 已知向量
，
，若
，則實數(shù)
．
鞏固練習
13. 已知向量，向量，若，則實數(shù) （ ）．
A.B.C.D.
14. 已知向量，，，若 為實數(shù)，，則 （ ）．
A.B.C.D.
經(jīng)典例題
15. 已知向量，，，且 、 、 三點共線，則．
鞏固練習
16. 若三點
、
、
共線，則 的值為
．
經(jīng)典例題
17. 如圖，在中，， 是 上的一點，若，則實數(shù) 的值為
（ ）．
A.B.C. 1D. 3
鞏固練習
18. 如圖，在中，， 是 上的一點，若，則實數(shù) 的值為
（ ）．
A.B.C.D.
5. 平面向量數(shù)量積的坐標表示
知識精講
（1）平面向量數(shù)量積的坐標表示
已知，，．
即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和.
（2）平面向量模的坐標表示
已知，則，即向量的長度等于它的坐標平方和的算術(shù)平方根．
（3）平面向量夾角的坐標表示
已知非零向量 、 ，若，， 是 與 的夾角，則
（4）向量垂直的坐標表示
若，，
則 ⊥，且⊥ .
經(jīng)典例題
19. 已知平面向量，，若與垂直，則實數(shù) 值為（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習
20. 已知，，且，則 （ ）．
A.B.C.D.
經(jīng)典例題
21. 設(shè) ，
，向量
，
，
，且
，
，則
．
鞏固練習
22. 如果向量，，那么（ ）．
A.B.C.D.
23. 設(shè)平面向量，，若，則等于（ ）．
A.B.C.D.
6. 平面幾何中的向量方法
知識精講
由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
①建立平面幾何和向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
②通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
經(jīng)典例題
24. 在平行四邊形中，若，判斷四邊形的形狀．
鞏固練習
25. 若 是所在平面內(nèi)一點，且滿足則的形狀是（
）．
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等邊三角形
26. 若，且，則四邊形是（ ）．
A. 平行四邊形B. 菱形C. 等腰梯形D. 非等腰梯形
三、 思維導圖
你學會了嗎？畫出思維導圖總結(jié)本課所學吧！
四、 出門測
27. 如圖， 是的邊 的中點，則向量 等于（ ）．
A. B. C. D.
28. 已知向量，，且，則（ ）．
A.B.C.D.
29. 已知向量，，．若向量 與向量共線，則實數(shù)
．
30. 已知等腰三角形
的底邊 的長是 ，則
．
9

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6.3 平面向量基本定理及坐標表示

版本： 人教A版 (2019)

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