專題7.4 復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用大題專項(xiàng)訓(xùn)練【四大題型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 題型一 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 1．（2023下·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2i=5，z=a+3?aia>0. (1)求a； (2)若復(fù)數(shù)z1滿足z1z1+2=a+2i，求z1. 【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求解. （2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可列方程組求解. 【解答過(guò)程】（1）由題意得z=a+a?3i， z+2i=a+a?1i 所以a2+a?12=25?a=4或a=?3（舍去）， 故a=4 （2）設(shè)z1=x+yix,y∈R， 則z1z1=x2+y2，x2+y2+2x+yi=4+2i 所以x2+y2+2x=4,2y=2,解得x=1,y=1或x=?3,y=1, 所以z1=1+i或?3+i. 2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算： (1)1+2i+7?11i?5+6i； (2)5i?6+8i??1+3i； (3)a+bi?2a?3bi?3ia，b∈R. 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解 【解答過(guò)程】（1）1+2i+7?11i?5+6i=1+7?5+2?11?6i=3?15i； （2）5i?6+8i??1+3i=5i?7+5i=?7； （3）a+bi?2a?3bi?3i=a?2a+b??3b?3i=?a+4b?3ia，b∈R. 3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)f(z)=z?2i，z1=3+4i，z2=?2?i， 求：（1）f(z1?z2)的值； （2）f(z1+z2)的值． 【解題思路】直接利用復(fù)數(shù)的加法，結(jié)合函數(shù)的解析式，求解即可． 【解答過(guò)程】z1=3+4i，z2=?2?i，則z1?z2=5+5i，z1+z2=1+3i． ∵f(z)=z?2i， ∴（1）f(z1?z2)=z1?z2?2i=5+5i?2i=5+3i， （2）f(z1+z2)=z1+z2?2i=1+3i?2i=1+i. 4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)a1+b1i，a2+b2i，a3+b3ia1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，分別記作z1，z2，z3，即z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，求證： (1)z1z2=z2z1； (2)z1z2z3=z1z2z3； (3)z1z2+z3=z1z2+z1z3． 【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則即可證明（1）（2）（3） 【解答過(guò)程】（1）z1z2=a1+b1ia2+b2i=a1a2?b1b2+(a1b2+a2b1)i， z2z1=a2+b2ia1+b1i=a1a2?b1b2+(a1b2+a2b1)i， 則z1z2=z2z1. （2）z1z2z3=a1+b1ia2+b2ia3+b3i=a1a2?b1b2+(a1b2+a2b1)ia3+b3i =a1a2?b1b2a3?(a1b2+a2b1)b3+b3a1a2?b1b2+a3(a1b2+a2b1)i， z1z2z3=a1+b1ia2+b2ia3+b3i=a1+b1ia2a3?b2b3+(a3b2+a2b3)i =a1a2a3?b2b3?b1(a3b2+a2b3)+a1(a3b2+a2b3)+b1a2a3?b2b3i =a1a2?b1b2a3?(a1b2+a2b1)b3+b3a1a2?b1b2+a3(a1b2+a2b1)i， 則z1z2z3=z1z2z3. （3）z1z2+z3=a1+b1ia2+a3+b2+b3i =a1a2+a3?b1b2+b3+a1b2+b3+b1a2+a3i， z1z2+z1z3=a1+b1ia2+b2i+a1+b1ia3+b3i =a1a2?b1b2+(a1b2+a2b1)i+a1a3?b1b3+(a1b3+a3b1)i =a1a2?b1b2+a1a3?b1b3+(a1b2+a2b1)+(a1b3+a3b1)i =a1a2+a3?b1b2+b3+a1b2+b3+b1a2+a3i， 則z1z2+z3=z1z2+z1z3. 5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=cosα+isinα,z2=cosβ?isinβ,α,β均為銳角，且z1?z2=255. (1)求cosα+β的值； (2)若cosα=45，求cosβ的值. 【解題思路】（1）先求出z1?z2=cosα?cosβ+isinα+sinβ，利用z1?z2=255即可求出cosα+β的值；（2）利用平方關(guān)系求出sinα+β=45，sinα=35，再利用和差角公式即可求得. 【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=cosα+isinα,z2=cosβ?isinβ，所以z1?z2=cosα?cosβ+isinα+sinβ. 所以z1?z2=cosα?cosβ2+sinα+sinβ2 =2?2cosαcosβ?sinαsinβ =2?2cosα+β 因?yàn)閦1?z2=255，所以2?2cosα+β=255，解得：cosα+β=35. （2）因?yàn)棣?β均為銳角，所以0

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本章綜合與測(cè)試

版本： 人教A版 (2019)

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