復數(shù) 類型1　復數(shù)的概念 (1)本考點多為基礎題，一般出現(xiàn)在選擇題的前兩題位置，分值為5分．主要考查復數(shù)的實部與虛部的概念，難度偏?。?(2)求一個復數(shù)的實部或虛部需將復數(shù)化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式． 【例1】　(1)復數(shù)eq \f(1,－2＋i)＋eq \f(1,1－2i)的虛部是(　　) A．eq \f(1,5)i　　　B．eq \f(1,5)　　　C．－eq \f(1,5)i　　　D．－eq \f(1,5) (2)若復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 (1)B　(2)B　[(1)eq \f(1,－2＋i)＋eq \f(1,1－2i)＝eq \f(－2－i,?－2＋i??－2－i?)＋eq \f(1＋2i,?1－2i??1＋2i?)＝eq \f(－2－i,5)＋eq \f(1＋2i,5)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)i，故虛部為eq \f(1,5)． (2)由純虛數(shù)的定義，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2．] eq \o([跟進訓練]) 1．(1)若復數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，eq \x\to(z)是z的共軛復數(shù)，則z2＋eq \x\to(z)2的虛部為(　　) A．0　　　B．－1　　　C．1　　　D．－2 (2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，若z1－z2＝0，則m的值為(　　) A．4 B．－1 C．6 D．－1或6 (1)A　(2)B　[(1)因為z＝1＋i，所以eq \x\to(z)＝1－i，所以z2＋eq \x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故選A． (2)由題意可得z1＝z2， 即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i， 根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m＝4，,m2＝5m＋6，)) 解得m＝－1，故選B．] 類型2　共軛復數(shù) (1)本考點多為基礎題，一般出現(xiàn)在選擇題的前兩題位置，分值為5分．主要考查復數(shù)中的共軛復數(shù)的概念，考查分析和解決問題的能力，運算求解的能力． (2)解決此類問題應利用共軛復數(shù)的概念，求出共軛復數(shù)，再根據(jù)題目條件求解． 【例2】　(1)(2019·全國卷Ⅱ)設z＝－3＋2i，則在復平面內(nèi)eq \x\to(z)對應的點位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋eq \r(3)i，z·eq \o(z,\s\up6(－))＝4，則a＝(　　) A．1或－1 B．eq \r(7)或－eq \r(7) C．－eq \r(3) D．eq \r(3) (1)C　(2)A　[(1)由題意，得eq \x\to(z)＝－3－2i，其在復平面內(nèi)對應的點為(－3，－2)，位于第三象限，故選C． (2)由題可得eq \o(z,\s\up6(－))＝a－eq \r(3)i，則z·eq \o(z,\s\up6(－))＝(a＋eq \r(3)i)(a－eq \r(3)i)＝a2＋3＝4，所以a＝±1．故選A．] eq \o([跟進訓練]) 2．(多選題)設z1，z2是復數(shù)，則下列命題中的真命題是(　　) A．若|z1－z2|＝0，則eq \o(z,\s\up6(－))1＝eq \o(z,\s\up6(－))2 B．若z1＝eq \o(z,\s\up6(－))2，則eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \o(z,\s\up6(－))2 D．若|z1|＝|z2|，則zeq \o\al(2,1)＝zeq \o\al(2,2) ABC　[對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?eq \o(z,\s\up6(－))1＝eq \o(z,\s\up6(－))2，是真命題； 對于B，若z1＝eq \o(z,\s\up6(－))2，則z1和z2互為共軛復數(shù)，所以eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2，是真命題； 對于C，設z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，則eq \r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1))＝eq \r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))，z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝aeq \o\al(2,1)＋beq \o\al(2,1)，z2·eq \o(z,\s\up6(－))2＝aeq \o\al(2,2)＋beq \o\al(2,2)，所以z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \o(z,\s\up6(－))2，是真命題； 對于D，若z1＝2，z2＝1＋eq \r(3)i，則|z1|＝|z2|，但zeq \o\al(2,1)＝4，zeq \o\al(2,2)＝－2＋2eq \r(3)i，故D是假命題．] 類型3　復數(shù)的模 (1)本考點多為基礎題，一般出現(xiàn)在選擇題的前兩題位置，分值為5分．主要考查復數(shù)的模的計算，考查分析與解決問題的能力，運算求解能力． (2)求解此類問題時，應先將題目中的式子進行變形，求出復數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi，然后求模． 【例3】　(2020·全國卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．eq \r(2)　　　　D．2 C　[因為z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故選C．] eq \o([跟進訓練]) 3．(2019·全國卷Ⅰ)設z＝eq \f(3－i,1＋2i)，則|z|＝(　　) A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1 C　[∵z＝eq \f(3－i,1＋2i)＝eq \f(?3－i??1－2i?,?1＋2i??1－2i?)＝eq \f(1－7i,5)， ∴|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))eq \s\up12(2))＝eq \r(2)． 故選C．] 類型4　復數(shù)的四則運算 (1)本考點多為基礎題，考查頻率較高，常與前面兩個考點綜合考查，一般出現(xiàn)在選擇題的前兩題的位置，分值為5分．主要考查復數(shù)的加減乘除運算，常以除法運算為主．考查分析與解決問題的能力，運算求解能力． (2)解決此類問題的關鍵是復數(shù)乘法、乘法運算法則的熟練應用． 【例4】　計算： (1)(1－i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(1＋i)； (2)(1＋i)2 020； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)． [解]　(1)原式＝(1－i)(1＋i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) ＝(1－i2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) ＝－1＋eq \r(3)i． (2)原式＝[(1＋i)2]1 010＝(1＋2i＋i2)1 010＝(2i)1 010＝21 010·i1 010＝21 010·(i2)505＝－21 010． (3)原式＝eq \f(－2＋3i,1＋2i) ＝eq \f(?－2＋3i??1－2i?,?1＋2i??1－2i?) ＝eq \f(?－2＋6?＋?3＋4?i,12＋22) ＝eq \f(4,5)＋eq \f(7,5)i． eq \o([跟進訓練]) 4．(1)計算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(6)＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________． (2)計算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(3)·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2 019)＝________． (3)設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(1－i)2－eq \f(4＋2i,1－2i)－4i2 019＝________． (1)－1＋i　(2)－1　(3)0　[(1)由eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝i， 可得原式＝i6＋i＝－1＋i． (2)因為eq \f(1＋i,1－i)＝i， 所以原式＝i·i2·i3·…·i2 019 ＝i1＋2＋3＋…＋2 019 ＝i1 010×2 019 ＝(i2)505×2 019 ＝－1． (3)原式＝－2i－eq \f(?4＋2i??1＋2i?,?1－2i??1＋2i?)＋4i ＝－2i－eq \f(10i,5)＋4i ＝－2i－2i＋4i ＝0．] 1．(2020·新高考全國卷Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)＝(　　) A．1　　　　 B．－1　　　　 C．i　　　　 D．－i D　[eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(?2－i??1－2i?,?1＋2i??1－2i?)＝eq \f(2－2－5i,5)＝－i，選D．] 2．(2020·全國卷Ⅲ)復數(shù)eq \f(1,1－3i)的虛部是(　　) A．－eq \f(3,10) B．－eq \f(1,10) C．eq \f(1,10) D．eq \f(3,10) D　[eq \f(1,1－3i)＝eq \f(1＋3i,?1＋3i??1－3i?)＝eq \f(1＋3i,10)＝eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)i，所以虛部為eq \f(3,10)．] 3．(2018·全國卷Ⅰ)設z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B．eq \f(1,2) C．1 D．eq \r(2) C　[法一：因為z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C． 法二：因為z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(1－i＋2i?1＋i?,1＋i)＝eq \f(－1＋i,1＋i)， 所以|z|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋i,1＋i)))＝eq \f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq \f(\r(2),\r(2))＝1，故選C．] 4．(2020·全國卷Ⅱ)(1－i)4＝(　　) A．－4　　　 B．4　　　 C．－4i　　　 D．4i A　[(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4，故選A．] 5．(2019·全國卷Ⅰ)設復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 C　[法一：∵z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1．故選C． 法二：∵|z－i|＝1表示復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點(x，y)到點(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1．故選C．] 6．(2020·全國卷Ⅱ)設復數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，則|z1－z2|＝________． 2eq \r(3)　[設z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，則由|z1|＝|z2|＝2，得xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＝xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＝4． 因為z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝eq \r(3)＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(eq \r(3))2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝ eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)－2x1x2－2y1y2)＝eq \r(8＋4)＝2eq \r(3)．]

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